IEEE 754

Algunos números pueden tener varias representaciones posibles de punto flotante. Por ejemplo, si b  =  10 y p  =  7, entonces −12,345 se puede representar como −12345×10 ⁻³ , −123450×10 ⁻⁴ y −1234500×10 ⁻⁵ . Sin embargo, para la mayoría de las operaciones, como las aritméticas, el resultado (valor) no depende de la representación de los datos de entrada.

Para los formatos decimales, cualquier representación es válida, y el conjunto de estas representaciones se denomina cohorte . Cuando un resultado puede tener varias representaciones, el estándar especifica qué miembro de la cohorte se elige.

Para los formatos binarios, la representación se hace única. La mayoría de los números de punto flotante, aquellos con un valor absoluto mayor que 2 ^emin , se denominan normales . Tienen una mantisa que está entre 1 (incluido) y 2 (excluido), que por lo tanto siempre tiene un bit 1 inicial; este bit no se almacena explícitamente en la representación, sino que se deja implícito; esta regla se denomina convención del bit inicial , convención del bit implícito o convención del bit oculto , y permite que el formato tenga un bit adicional de precisión. Al exponente de un número normal se le agrega un " sesgo ", y el exponente sesgado resultante siempre es un entero positivo. Los números menores que 2 ^emin se denominan números subnormales . Estos números se representan mediante el exponente sesgado 0, que representa emin . Para los números subnormales, ya no hay un bit 1 inicial implícito, y la mantisa se encuentra entre 0 y 1.

Debido a la posibilidad de múltiples codificaciones (al menos en formatos llamados formatos de intercambio ), un NaN puede contener otra información: un bit de signo (que no tiene significado, pero puede ser utilizado por algunas operaciones) y una carga útil , que está destinada a información de diagnóstico que indica la fuente del NaN (pero la carga útil puede tener otros usos, como el NaN-boxing ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} ).

El estándar define cinco formatos básicos que reciben su nombre de su base numérica y del número de bits utilizados en su codificación de intercambio. Existen tres formatos básicos binarios de punto flotante (codificados con 32, 64 o 128 bits) y dos formatos básicos decimales de punto flotante (codificados con 64 o 128 bits). Los formatos binary32 y binary64 corresponden a los formatos simple y doble de la norma IEEE 754-1985 , respectivamente. Una implementación conforme debe implementar completamente al menos uno de los formatos básicos.

El estándar especifica formatos de intercambio con un rango de anchos, incluidos los formatos básicos, para admitir el intercambio de datos de punto flotante entre implementaciones. Los tamaños de los campos de exponente y mantisa para cada ancho se determinan mediante reglas definidas en función del ancho. ^{[ 13 ]} La siguiente tabla resume algunos de los posibles formatos de intercambio (incluidos los formatos básicos).

En la tabla anterior, los valores enteros son exactos, mientras que los valores en notación decimal (por ejemplo, 1.0) son valores redondeados. Los exponentes mínimos enumerados son para números normales; la representación especial de números subnormales permite representar números aún más pequeños (en magnitud) con cierta pérdida de precisión. Por ejemplo, el número positivo más pequeño que se puede representar en binary64 es 2 ⁻¹⁰⁷⁴ ; las contribuciones a la cifra de −1074 incluyen el valor emin −1022 y todos menos uno de los 53 bits de mantisa (2 ^{−1022  −  (53  −  1)}  =  2 ⁻¹⁰⁷⁴ ).

La precisión del formato se expresa en términos de un número equivalente de dígitos decimales. Se calcula multiplicando el número de dígitos por el logaritmo en base _10. Por ejemplo, el formato binario 128 tiene aproximadamente la misma precisión que un número decimal de 34 dígitos.

log ₁₀ MAXVAL es una medida del rango de la codificación. Su parte entera es el exponente más grande que se muestra en la salida de un valor en notación científica con un dígito principal en la mantisa antes del punto decimal (por ejemplo, 1,698 × 10 ³⁸ está cerca del valor más grande en binary32, 9.999999 × 10⁹⁶ es el valor más grande en decimal32).

Los formatos binary32 (simple) y binary64 (doble) son dos de los más comunes en la actualidad. La siguiente figura muestra la precisión absoluta de ambos formatos en un rango de valores. Esta figura permite seleccionar el formato adecuado según el valor esperado de un número y la precisión requerida.

Un ejemplo de diseño para punto flotante de 32 bits es

y la disposición de 64 bits es similar.

El estándar especifica formatos de precisión extendida y extensible opcionales, que proporcionan mayor precisión que los formatos básicos. ^{[ 14 ]} Un formato de precisión extendida amplía un formato básico utilizando mayor precisión y mayor rango de exponente. Un formato de precisión extensible permite al usuario especificar la precisión y el rango de exponente. Una implementación puede utilizar la representación interna que elija para dichos formatos; lo único que necesita definirse son sus parámetros ( b , p y emax ). Estos parámetros describen de forma única el conjunto de números finitos (combinaciones de signo, mantisa y exponente para la base dada) que puede representar.

El estándar recomienda que los estándares de lenguaje proporcionen un método para especificar p y emax para cada base b admitida . ^{[ 15 ]} El estándar recomienda que los estándares e implementaciones de lenguaje admitan un formato extendido que tenga una precisión mayor que el formato básico más grande admitido para cada base b . ^{[ 16 ]} Para un formato extendido con una precisión entre dos formatos básicos, el rango del exponente debe ser tan grande como el del siguiente formato básico más amplio. Así, por ejemplo, un número binario de precisión extendida de 64 bits debe tener un 'emax' de al menos 16383. El formato extendido de 80 bits de x87 cumple este requisito.

El estándar original IEEE 754-1985 también tenía el concepto de formatos extendidos , pero sin ninguna relación obligatoria entre emin y emax . Por ejemplo, el formato de 80 bits Motorola 68881 , ^{[ 17 ]} donde emin = − emax , era un formato extendido conforme, pero se convirtió en no conforme en la revisión de 2008.

Los formatos de intercambio están diseñados para el intercambio de datos de punto flotante mediante una cadena de bits de longitud fija para un formato determinado.

• Redondeo al más cercano, empates al par  : redondea al valor más cercano; si el número cae a mitad de camino, se redondea al valor más cercano con un dígito menos significativo par.
• Redondeo al más cercano, empates lejos de cero (o empates lejos de cero ) : redondea al valor más cercano; si el número cae a medio camino, se redondea al valor más cercano arriba (para números positivos) o abajo (para números negativos).

En los extremos, un valor con una magnitud estrictamente menor que${\displaystyle k=b^{\text{emax}}\left(b-{\tfrac {1}{2}}b^{1-p}\right)}$se redondeará al número finito mínimo o máximo (dependiendo del signo del valor). Cualquier número con exactamente esta magnitud se considera un empate; esta elección de empate puede conceptualizarse como el punto medio entre${\displaystyle \pm b^{\text{emax}}(bb^{1-p})}$y${\displaystyle \pm b^{{\text{emax}}+1}}$, que, si el exponente no estuviera limitado, serían los siguientes números de coma flotante representables de mayor magnitud. Los números con una magnitud estrictamente mayor que k se redondean al infinito correspondiente. ^{[ 18 ]}

"Redondear al más cercano, empates al par" es la opción predeterminada para coma flotante binaria y la opción recomendada para decimal. "Redondear al más cercano, empates al opuesto" solo es necesario para implementaciones decimales. ^{[ 19 ]}

• Redondeo hacia 0  : redondeo dirigido hacia cero (también conocido como truncamiento ).
• Redondeo hacia +∞  : redondeo dirigido hacia el infinito positivo (también conocido como redondeo hacia arriba o hacia el techo ).
• Redondeo hacia −∞  : redondeo dirigido hacia el infinito negativo (también conocido como redondeo hacia abajo o redondeo hacia el piso ).

Salvo que se especifique lo contrario, el resultado de punto flotante de una operación se determina aplicando la función de redondeo al resultado (matemático) de precisión infinita. Se dice que dicha operación está correctamente redondeada . Este requisito se denomina redondeo correcto . ^{[ 20 ]}

El estándar proporciona predicados de comparación para comparar un dato de punto flotante con otro en el formato aritmético admitido. ^{[ 32 ]} Cualquier comparación con un NaN se trata como no ordenada. −0 y +0 se comparan como iguales.

El estándar proporciona un predicado totalOrder , que define un orden total en los miembros canónicos del formato aritmético admitido. ^{[ 33 ]} El predicado coincide con los predicados de comparación (véase la sección §  Predicados de comparación ) cuando un número de punto flotante es menor que el otro. Las principales diferencias son: ^{[ 34 ]}

• NaN es ordenable.
  • NaN se trata como si tuviera un valor absoluto mayor que Infinito (o cualquier otro número de coma flotante). (−NaN < −Infinito; +Infinito < +NaN).
  • qNaN y sNaN se tratan como si qNaN tuviera un valor absoluto mayor que sNaN. (−qNaN < −sNaN; +sNaN < +qNaN.)
  • Los valores NaN se ordenan según su carga útil. En la norma IEEE 754-2008, un valor NaN con una carga útil menor se considera de menor valor absoluto. En la norma IEEE 754-2019, se acepta cualquier ordenación definida por la implementación.
• El cero negativo se considera menor que el cero positivo.
• Si ambos lados de la comparación se refieren al mismo dato de punto flotante, se considera que el que tiene el exponente menor tiene un valor absoluto menor. ^{[ 33 ]}

El predicado totalOrder no impone un orden total a todas las codificaciones en un formato. En particular, no distingue entre diferentes codificaciones de la misma representación de punto flotante, como cuando una o ambas codificaciones no son canónicas. ^{[ 33 ]} IEEE 754-2019 incorpora aclaraciones sobre totalOrder .

Para los formatos de intercambio binario cuya codificación sigue la recomendación IEEE 754-2008 sobre la ubicación del bit de señalización NaN , la comparación es idéntica a una que convierte los números de punto flotante a un entero de magnitud de signo (suponiendo un orden de carga útil consistente con esta comparación), un viejo truco para la comparación de FP sin una FPU. ^{[ 35 ]}

En el estándar IEEE 754, el cero tiene signo, lo que significa que existe un "cero positivo" (+0) y un "cero negativo" (−0). En la mayoría de los entornos de ejecución , el cero positivo se suele imprimir como " 0" y el cero negativo como " -0". Los dos valores se comportan como iguales en comparaciones numéricas, pero algunas operaciones devuelven resultados diferentes para +0 y −0. Por ejemplo, 1/(−0) devuelve infinito negativo, mientras que 1/(+0) devuelve infinito positivo (de modo que se mantiene la identidad 1/(1/±∞) = ±∞ ). Otras funciones comunes con una discontinuidad en x = 0 que podrían tratar +0 y −0 de forma diferente incluyen Γ( x ) y la raíz cuadrada principal de y + xi para cualquier número negativo y . Como con cualquier esquema de aproximación, las operaciones que involucran "cero negativo" pueden causar confusión ocasionalmente. Por ejemplo, en IEEE 754, x = y no siempre implica 1/ x = 1/ y , ya que 0 = −0 pero 1/0 ≠ 1/(−0) . ^{[ 38 ]} Además, la raíz cuadrada recíproca ^{[ h ]} de ±0 es ±∞ mientras que la función matemática${\displaystyle 1/{\sqrt {x}}}$Sobre los números reales no tiene ningún valor negativo.

Los valores subnormales rellenan el hueco de desbordamiento inferior con valores cuya distancia absoluta entre ellos es la misma que la de los valores adyacentes justo fuera de dicho hueco. Esto supone una mejora respecto a la práctica anterior de tener simplemente cero en el hueco de desbordamiento inferior, donde los resultados de desbordamiento inferior se sustituían por cero (vaciado a cero). ^{[ 39 ]}

El hardware moderno de punto flotante suele manejar valores subnormales (así como valores normales) y no requiere emulación por software para los valores subnormales.

Los infinitos de la recta numérica real extendida se pueden representar en tipos de datos de punto flotante IEEE, al igual que los valores de punto flotante comunes como 1, 1.5, etc. No son valores de error, aunque a menudo se utilizan (dependiendo del redondeo) como valores de reemplazo cuando hay un desbordamiento. Ante una excepción de división por cero, se devuelve un infinito positivo o negativo como resultado exacto. Un infinito también se puede introducir como un numeral (como la macro "INFINITY" de C, o " ∞ " si el lenguaje de programación permite esa sintaxis).

IEEE 754 requiere que los infinitos se manejen de una manera razonable, como por ejemplo:

• (+∞) + (+7) = (+∞)
• (+∞) × (−2) = (−∞)
• (+∞) × 0 = NaN – no hay nada significativo que hacer

IEEE 754 especifica un valor especial llamado "No es un número" (NaN) que se devuelve como resultado de ciertas operaciones "inválidas", como 0/0, ∞×0 o sqrt(−1). En general, los NaN se propagan, es decir, la mayoría de las operaciones que involucran un NaN darán como resultado un NaN, aunque las funciones que devuelven un resultado definido para cualquier valor de punto flotante también lo harán para los NaN, por ejemplo, NaN ^ 0 = 1. Hay dos tipos de NaN: los NaN silenciosos predeterminados y, opcionalmente, los NaN de señalización . Un NaN de señalización en cualquier operación aritmética (incluidas las comparaciones numéricas) provocará que se señalice una excepción de "operación inválida".

La representación de NaN especificada por el estándar tiene algunos bits no especificados que podrían usarse para codificar el tipo o la fuente del error; pero no hay un estándar para esa codificación. En teoría, un sistema de tiempo de ejecución podría usar la señalización de NaN para marcar variables no inicializadas o extender los números de punto flotante con otros valores especiales sin ralentizar los cálculos con valores ordinarios, aunque tales extensiones no son comunes. Una variante de este enfoque (a veces llamada "NaN-boxing") es utilizada por algunos entornos de ejecución de JavaScript ^{[ 40 ]} y LuaJIT ^{[ 41 ]} para almacenar valores de puntero de 64 bits y valores de punto flotante de doble precisión IEEE 754 en el mismo tipo de datos, lo que permite a los entornos de ejecución eliminar la sobrecarga de asignaciones de memoria adicionales e indirecciones para valores de punto flotante.

La norma recomienda el manejo opcional de excepciones en diversas formas, incluyendo la sustitución previa de valores predeterminados definidos por el usuario, trampas (excepciones que modifican el flujo de control de alguna manera) y otros modelos de manejo de excepciones que interrumpen el flujo, como try/catch. Las trampas y otros mecanismos de excepción siguen siendo opcionales, como ocurría en la norma IEEE 754-1985.

La cláusula 9 del estándar recomienda operaciones matemáticas adicionales ^{[ 46 ]} que los estándares de lenguaje deberían definir. ^{[ 47 ]} Ninguna es necesaria para cumplir con el estándar.

Las siguientes son operaciones aritméticas recomendadas, que deben redondearse correctamente: ^{[ 48 ]}

• ${\displaystyle e^{x}}$,${\displaystyle 2^{x}}$,${\displaystyle 10^{x}}$
• ${\displaystyle e^{x}-1}$,${\displaystyle 2^{x}-1}$,${\displaystyle 10^{x}-1}$
• ${\displaystyle \ln x}$,${\displaystyle \log _{2}x}$,${\displaystyle \log _{10}x}$
• ${\displaystyle \ln(1+x)}$,${\displaystyle \log _{2}(1+x)}$,${\displaystyle \log _{10}(1+x)}$
• ${\estilo de texto {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$
• ${\displaystyle 1{\big /}{\sqrt {x{\vphantom {t}}}}}$
• ${\displaystyle (1+x)^{n}}$para${\displaystyle x\geq -1}$( compuesto denominado y utilizado para calcular un crecimiento exponencial , cuya tasa no puede ser menor que −1) ^{[ 49 ]}
• ${\displaystyle x^{\frac {1}{n}}}$
• ${\displaystyle x^{n}}$,${\displaystyle x^{y}}$
• ${\displaystyle \sin x}$,${\displaystyle \cos x}$,${\displaystyle \tan x}$
• ${\displaystyle \arcsin x}$,${\displaystyle \arccos x}$,${\displaystyle \arctan x}$,${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$
• ${\displaystyle \operatorname {sinPi} x=\sin \pi x}$,${\displaystyle \operatorname {cosPi} x=\cos \pi x}$,${\displaystyle \operatorname {tanPi} x=\tan \pi x}$(véase también: Múltiplos de π )
• ${\displaystyle \operatorname {asinPi} x={\tfrac {1}{\pi }}\arcsin x}$,${\displaystyle \operatorname {acosPi} x={\tfrac {1}{\pi }}\arccos x}$,${\displaystyle \operatorname {atanPi} x={\tfrac {1}{\pi }}\arctan x}$,${\displaystyle \operatorname {atan2Pi} (y,x)={\tfrac {1}{\pi }}\operatorname {atan2} (y,x)}$(véase también: Múltiplos de π )
• ${\displaystyle \sinh x}$,${\displaystyle \cosh x}$,${\displaystyle \tanh x}$
• ${\displaystyle \operatorname {arsinh} x}$,${\displaystyle \operatorname {arcosh} x}$,${\displaystyle \operatorname {artanh} x}$

El${\displaystyle \operatorname {asinPi} }$,${\displaystyle \operatorname {acosPi} }$y${\displaystyle \operatorname {tanPi} }$Las funciones no formaban parte del estándar IEEE 754-2008 porque se consideraban menos necesarias. ^{[ 50 ]}${\displaystyle \operatorname {asinPi} }$y${\displaystyle \operatorname {acosPi} }$Se mencionaron, pero esto se consideró un error. ^{[ 5 ]} Los tres se añadieron en la revisión de 2019.

Las operaciones recomendadas también incluyen la configuración y el acceso a la dirección de redondeo en modo dinámico, ^{[ 51 ]} y operaciones de reducción de vectores definidas por la implementación, como suma, producto escalar y producto escalar (no se requiere un redondeo correcto). El estándar admite que los resultados numéricos de estas operaciones de reducción pueden diferir entre implementaciones debido al ancho del resultado intermedio y al orden de las operaciones. ^{[ 52 ]}

A partir de 2019También se recomiendan las operaciones aritméticas aumentadas ^{[ 53 ]} para los formatos binarios. Estas operaciones , especificadas para la suma, la resta y la multiplicación, producen un par de valores que consisten en un resultado correctamente redondeado al entero más cercano en el formato y el término de error, que se puede representar exactamente en el formato. En el momento de la publicación del estándar, no se conocen implementaciones de hardware, pero ya se habían implementado operaciones muy similares en software utilizando algoritmos bien conocidos. La historia y la motivación para su estandarización se explican en un documento de antecedentes. ^{[ 54 ] [ 55 ]}

Las operaciones minNum , maxNum , minNumMag y maxNumMag , anteriormente requeridas por IEEE 754-2008, se eliminaron en la revisión de 2019 debido a su falta de asociatividad . ^{[ 56 ]} En su lugar, se recomiendan dos conjuntos de nuevas operaciones de mínimo y máximo. ^{[ 57 ]} El primer conjunto contiene minimum , minimumNumber , maximum y maximumNumber . El segundo conjunto contiene minimumMagnitude , minimumMagnitudeNumber , maximumMagnitude y maximumMagnitudeNumber . La historia y la motivación de este cambio se explican en un documento de antecedentes. ^{[ 58 ]}

El estándar recomienda cómo los estándares de lenguaje deben especificar la semántica de las secuencias de operaciones y señala las sutilezas de los significados literales y las optimizaciones que modifican el valor de un resultado. Por el contrario, la versión anterior de 1985 del estándar dejaba aspectos de la interfaz del lenguaje sin especificar, lo que provocaba un comportamiento inconsistente entre compiladores o diferentes niveles de optimización en un compilador optimizador .

Los lenguajes de programación deberían permitir al usuario especificar una precisión mínima para los cálculos intermedios de expresiones para cada base. Esto se denomina `preferredWidth` en el estándar, y debería ser posible configurarlo por bloque. Los cálculos intermedios dentro de las expresiones deberían realizarse, y los valores temporales deberían guardarse, utilizando el máximo entre el ancho de los operandos y el ancho preferido, si se ha definido. Por ejemplo, un compilador dirigido a hardware de punto flotante x87 debería tener un mecanismo para especificar que los cálculos intermedios deben usar el formato de doble extensión . El valor almacenado de una variable siempre debe usarse al evaluar expresiones posteriores, en lugar de cualquier valor anterior al redondeo y la asignación a la variable.

La versión IEEE 754-1985 del estándar permitía muchas variaciones en las implementaciones (como la codificación de algunos valores y la detección de ciertas excepciones). La versión IEEE 754-2008 redujo estas tolerancias, pero aún persisten algunas variaciones (especialmente en formatos binarios). La cláusula de reproducibilidad recomienda que los estándares de lenguaje proporcionen un medio para escribir programas reproducibles (es decir, programas que produzcan el mismo resultado en todas las implementaciones de un lenguaje) y describe lo que se debe hacer para lograr resultados reproducibles.

Ejemplos concretos de comportamiento potencialmente no reproducible se pueden encontrar en C y C++ , que permiten el uso de mayor precisión para los resultados de operaciones de punto flotante y la contracción de expresiones de punto flotante, como la multiplicación y suma regulares en FMA y 1.0/sqrt(x)en una raíz cuadrada recíproca como una sola instrucción. ^{[ 59 ]} Los compiladores de C/C++ como GCC y cl.exe generalmente permiten ambos por defecto a menos que se les pida específicamente que no lo hagan, ya que estos cambios pueden generar código más rápido sin una pérdida obvia de precisión. Los compiladores también ofrecen optimizaciones "rápidas" más abiertamente no conformes. ^{[ 60 ] [ 61 ]} Las funciones matemáticas de C generalmente no se implementan para ser "redondeadas correctamente" y se suman al problema. ^{[ 62 ]} El entorno de punto flotante también puede ser cambiado inesperadamente por código de terceros.

Para formatos binarios, el estándar recomienda proporcionar conversiones hacia y desde secuencias de caracteres hexadecimales con significantes externos , basadas en los literales de punto flotante hexadecimales de C99 . Dicho literal consta de un signo opcional ( +o -), el indicador "0x", un número hexadecimal con o sin punto, un indicador de exponente "p" y un exponente decimal con signo opcional. La sintaxis no distingue entre mayúsculas y minúsculas. ^{[ 69 ]} El exponente decimal se escala por potencias de 2. Por ejemplo, 0x0.1p0es 1/16 y 0x0.1p-4es 1/256. ^{[ 70 ]}

La norma no menciona los literales hexadecimales para los formatos decimales, ya que las secuencias de caracteres decimales pueden representar con precisión todos los valores de punto flotante decimal.

• Norma IEEE para aritmética binaria de punto flotante . ANSI/IEEE STD 754-1985. IEEE. 12 de octubre de 1985. págs. 1–20 . doi : 10.1109/IEEESTD.1985.82928 . ISBN  0-7381-1165-1.
• IEEE Computer Society (29 de agosto de 2008). Norma IEEE para aritmética de punto flotante . IEEE STD 754-2008. IEEE. págs. 1–58 . doi : 10.1109/IEEESTD.2008.4610935 . ISBN  978-0-7381-5753-5Norma IEEE 754-2008.
• IEEE Computer Society (22 de julio de 2019). Norma IEEE para aritmética de punto flotante . IEEE STD 754-2019. IEEE. págs. 1–82 . doi : 10.1109/IEEESTD.2019.8766229 . ISBN  978-1-5044-5924-2Norma IEEE 754-2019.
• ISO/IEC JTC 1/SC 25 (junio de 2011). ISO/IEC/IEEE 60559:2011 — Tecnología de la información — Sistemas de microprocesadores — Aritmética de punto flotante . ISO. págs. 1–58 . {{cite book}}: CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )
• ISO/IEC JTC 1/SC 25 (mayo de 2020). ISO/IEC 60559:2020 — Tecnología de la información — Sistemas de microprocesadores — Aritmética de punto flotante . ISO. págs. 1–74 . {{cite book}}: CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )

• Aritmética de punto flotante decimal , preguntas frecuentes, bibliografía y enlaces
• Comparación de números de coma flotante binarios
• Material de referencia IEEE 754
• IEEE 854-1987  – Historia y actas
• Lecturas complementarias para IEEE 754. Incluye perspectivas históricas.