Equilibrio hidrostático

Las leyes del movimiento de Newton establecen que un volumen de fluido en reposo o con velocidad constante experimenta una fuerza neta nula. Esto significa que la suma de las fuerzas en una dirección determinada debe ser contrarrestada por una suma igual de fuerzas en la dirección opuesta. Este equilibrio de fuerzas se denomina equilibrio hidrostático.

El fluido se puede dividir en un gran número de elementos de volumen cúbicos ; al considerar un solo elemento, se puede deducir la acción del fluido.

Hay tres fuerzas: la fuerza hacia abajo sobre la parte superior del cuboide debido a la presión, P , del fluido que está encima es, por definición de presión , $${\displaystyle F_{\text{superior}}=-P_{\text{superior}}A}$$ De manera similar, la fuerza sobre el elemento de volumen debida a la presión del fluido que empuja hacia arriba es $${\displaystyle F_{\text{fondo}}=P_{\text{fondo}}A}$$

Finalmente, el peso del elemento de volumen produce una fuerza hacia abajo. Si la densidad es ρ , el volumen es V y g es la gravedad estándar , entonces: $${\displaystyle F_{\text{peso}}=-\rho gV}$$ El volumen de este paralelepípedo es igual al área de la parte superior o inferior, multiplicada por la altura  ; esta es la fórmula para calcular el volumen de un cubo. $${\displaystyle F_{\text{peso}}=-\rho gAh}$$

Al equilibrar estas fuerzas, la fuerza total sobre el fluido es $${\displaystyle \sum F=F_{\text{inferior}}+F_{\text{superior}}+F_{\text{peso}}=P_{\text{inferior}}A-P_{\text{superior}}A-\rho gAh}$$ Esta suma es igual a cero si la velocidad del fluido es constante. Dividiendo por A, $${\displaystyle 0=P_{\text{inferior}}-P_{\text{superior}}-\rho gh}$$ O, $${\displaystyle P_{\text{superior}}-P_{\text{inferior}}=-\rho gh}$$La diferencia entre P _superior y P _inferior representa el cambio de presión, y h es la altura del elemento de volumen, es decir, el cambio en la distancia sobre el suelo. Al considerar que estos cambios son infinitesimalmente pequeños, la ecuación puede expresarse en forma diferencial . $${\displaystyle dP=-\rho g\,dh}$$ La densidad cambia con la presión y la gravedad cambia con la altura, por lo que la ecuación sería: $${\displaystyle dP=-\rho (P)\,g(h)\,dh}$$

Finalmente, cabe señalar que esta última ecuación puede derivarse resolviendo las ecuaciones tridimensionales de Navier-Stokes para la situación de equilibrio donde $${\displaystyle u=v={\frac {\partial p}{\partial x}}={\frac {\partial p}{\partial y}}=0}$$ Entonces la única ecuación no trivial es la${\displaystyle z}$-ecuación, que ahora se lee $${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}+\rho g=0}$$ Por lo tanto, el equilibrio hidrostático puede considerarse una solución de equilibrio particularmente simple de las ecuaciones de Navier-Stokes.

Al sustituir el tensor energía-momento para un fluido perfecto$${\displaystyle T^{\mu \nu }=\left(\rho c^{2}+P\right)u^{\mu }u^{\nu }+Pg^{\mu \nu }}$$ en las ecuaciones de campo de Einstein$${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)}$$ y utilizando la condición de conservación $${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0}$$ Se puede derivar la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff para la estructura de una estrella relativista estática y esféricamente simétrica en coordenadas isotrópicas: $${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}\left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}}$$ En la práctica, Ρ y ρ están relacionadas por una ecuación de estado de la forma f ( Ρ , ρ )  =  0, donde f es específica de la composición de la estrella. M ( r ) es una foliación de esferas ponderadas por la densidad de masa ρ ( r ), donde la esfera más grande tiene radio r : $${\displaystyle M(r)=4\pi \int _{0}^{r}dr'\,r'^{2}\rho (r').}$$ Según el procedimiento estándar para tomar el límite no relativista, hacemos c → ∞ , de modo que el factor $${\displaystyle \left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}\rightarrow 1}$$ Por lo tanto, en el límite no relativista, la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff se reduce al equilibrio hidrostático de Newton: $${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}=-g(r)\,\rho (r)\longrightarrow dP=-\rho (h)\,g(h)\,dh}$$ (Hemos realizado el cambio de notación trivial h  = r y hemos utilizado f ( Ρ , ρ ) = 0 para expresar ρ en términos de P ). ^{[ 4 ]} Se puede calcular una ecuación similar para estrellas rotatorias con simetría axial, que en su forma independiente del calibre se lee:    $${\displaystyle {\frac {\partial _{i}P}{P+\rho }}-\partial _{i}\ln u^{t}+u_{t}u^{\varphi }\partial _{i}{\frac {u_{\varphi }}{u_{t}}}=0}$$ A diferencia de la ecuación de equilibrio TOV, estas son dos ecuaciones (por ejemplo, si como es habitual al tratar estrellas, se eligen coordenadas esféricas como coordenadas base${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi )}$, el índice i corre para las coordenadas r y${\displaystyle \theta }$).

El equilibrio hidrostático se relaciona con la hidrostática y los principios de equilibrio de fluidos . Una balanza hidrostática es una balanza específica para pesar sustancias en agua. El equilibrio hidrostático permite determinar sus densidades relativas . Este equilibrio es estrictamente aplicable cuando un fluido ideal se encuentra en flujo laminar horizontal constante, y cuando cualquier fluido está en reposo o en movimiento vertical a velocidad constante. También puede ser una aproximación satisfactoria cuando las velocidades de flujo son lo suficientemente bajas como para que la aceleración sea despreciable.

Desde la época de Isaac Newton, se ha investigado ampliamente el equilibrio que se alcanza cuando un fluido gira en el espacio. Esto se aplica tanto a las estrellas como a objetos como los planetas, que pudieron haber sido fluidos en el pasado o en los que el material sólido se deforma como un fluido al ser sometido a tensiones muy elevadas.

En cualquier capa de una estrella, existe un equilibrio hidrostático entre el gradiente de presión que empuja hacia afuera y el peso del material superior que presiona hacia adentro. También se pueden estudiar los planetas bajo la suposición de equilibrio hidrostático. Una estrella o planeta en rotación en equilibrio hidrostático suele ser un esferoide oblato , un elipsoide en el que dos de los ejes principales son iguales y más largos que el tercero.

Un ejemplo de este fenómeno es la estrella Vega , que tiene un período de rotación de 12,5 horas. En consecuencia, Vega es aproximadamente un 20 % más grande en el ecuador que de polo a polo.

En su obra Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica de 1687 , Newton afirmó correctamente que un fluido en rotación de densidad uniforme bajo la influencia de la gravedad tomaría la forma de un esferoide y que la gravedad (incluido el efecto de la fuerza centrífuga ) sería más débil en el ecuador que en los polos en una cantidad igual (al menos asintóticamente ) a cinco cuartos de la fuerza centrífuga en el ecuador. ^{[ 5 ]} En 1742, Colin Maclaurin publicó su tratado sobre fluxiones en el que demostró que el esferoide era una solución exacta. Si designamos el radio ecuatorial por${\displaystyle r_{e},}$el radio polar por${\displaystyle r_{p},}$y la excentricidad por${\displaystyle \epsilon ,}$con

${\displaystyle \epsilon ={\sqrt {1-r_{p}^{2}/r_{e}^{2}}},}$

descubrió que la gravedad en los polos es ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{p}&=4\pi {\frac {r_{p}}{r_{e}}}{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}}}G\rho \\&=3{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}r_{e}^{3}}}GM\\\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle G}$es la constante gravitacional,${\displaystyle \rho }$es la densidad (uniforme), y${\displaystyle M}$es la masa total. La relación de esta a${\displaystyle g_{0},}$la gravedad si el fluido no está girando, es asintótica a

${\displaystyle g_{p}/g_{0}\sim 1+{\frac {1}{15}}\epsilon ^{2}\sim 1+{\frac {2}{15}}f}$

como${\displaystyle \epsilon }$va a cero, donde${\displaystyle f}$es el aplanamiento:

${\displaystyle f={\frac {r_{e}-r_{p}}{r_{e}}}.}$

La atracción gravitatoria en el ecuador (sin incluir la fuerza centrífuga) es

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{e}&={\frac {3}{2}}\left({\frac {1}{r_{e}r_{p}}}-{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}r_{e}^{2}r_{p}}}\right)GM\\&={\frac {3}{2}}{\frac {r_{e}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})-\epsilon r_{p}}{\epsilon ^{3}r_{e}^{3}}}GM\\\end{aligned}}}$

Asintóticamente, tenemos:

${\displaystyle g_{e}/g_{0}\sim 1-{\frac {1}{30}}\epsilon ^{2}\sim 1-{\frac {1}{15}}f}$

Maclaurin demostró (aún en el caso de densidad uniforme) que la componente de la gravedad hacia el eje de rotación dependía solo de la distancia al eje y era proporcional a esa distancia, y la componente en la dirección hacia el plano del ecuador dependía solo de la distancia a ese plano y era proporcional a esa distancia. Newton ya había señalado que la gravedad que se siente en el ecuador (incluido el alumbramiento debido a la fuerza centrífuga) tiene que ser${\displaystyle {\frac {r_{p}}{r_{e}}}g_{p}}$para tener la misma presión en el fondo de los canales desde el polo o desde el ecuador hasta el centro, por lo que la fuerza centrífuga en el ecuador debe ser

${\displaystyle g_{e}-{\frac {r_{p}}{r_{e}}}g_{p}\sim {\frac {2}{5}}\epsilon ^{2}g_{e}\sim {\frac {4}{5}}fg_{e}.}$

Definiendo la latitud como el ángulo entre una tangente al meridiano y el eje de rotación, la gravedad total que se siente en latitud${\displaystyle \phi }$(incluido el efecto de la fuerza centrífuga) es

${\displaystyle g(\phi )={\frac {g_{p}(1-f)}{\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi }}}.}$

Esta solución esferoidal es estable hasta un cierto momento angular (crítico) (normalizado por${\displaystyle M{\sqrt {G\rho r_{e}}}}$), pero en 1834, Carl Jacobi demostró que se vuelve inestable una vez que la excentricidad alcanza 0,81267 (o${\displaystyle f}$alcanza 0,3302). Por encima del valor crítico, la solución se convierte en un elipsoide de Jacobi o escaleno (uno con los tres ejes diferentes). Henri Poincaré en 1885 descubrió que a un momento angular aún mayor ya no sería elipsoidal sino oviforme o piriforme . La simetría cae del grupo puntual D _{2h de 8 pliegues al C 2v} de 4 pliegues , con su eje perpendicular al eje de rotación. ^{[ 7 ]} Otras formas satisfacen las ecuaciones más allá de eso, pero no son estables, al menos no cerca del punto de bifurcación . ^{[ 7 ] [ 8 ]} Poincaré no estaba seguro de lo que sucedería a un momento angular mayor, pero concluyó que eventualmente la gota se dividiría en dos.

La suposición de densidad uniforme puede aplicarse más o menos a un planeta fundido o a un planeta rocoso, pero no se aplica a una estrella o a un planeta como la Tierra, que tiene un núcleo metálico denso. En 1737, Alexis Clairaut estudió el caso de la densidad que varía con la profundidad. ^{[ 9 ]} El teorema de Clairaut establece que la variación de la gravedad (incluida la fuerza centrífuga) es proporcional al cuadrado del seno de la latitud, y la proporcionalidad depende linealmente del achatamiento (${\displaystyle f}$) y la relación en el ecuador entre la fuerza centrífuga y la atracción gravitatoria. (Compárese con la relación exacta anterior para el caso de densidad uniforme). El teorema de Clairaut es un caso especial para un esferoide oblato de una conexión hallada posteriormente por Pierre-Simon Laplace entre la forma y la variación de la gravedad. ^{[ 10 ]}

Si la estrella tiene un objeto compañero masivo cercano, o una luna está en rotación síncrona, las fuerzas de marea también entran en juego, deformando la estrella o la luna hasta darle una forma escalena, incluso si la rotación por sí sola la convertiría en un esferoide. Ejemplos de esto son Beta Lyrae y Mimas .

El equilibrio hidrostático también es importante para el medio intracúmulo , donde restringe la cantidad de fluido que puede estar presente en el núcleo de un cúmulo de galaxias .

También podemos utilizar el principio de equilibrio hidrostático para estimar la dispersión de velocidad de la materia oscura en cúmulos de galaxias. Solo la materia bariónica (o, mejor dicho, sus colisiones) emite radiación de rayos X. La luminosidad absoluta de rayos X por unidad de volumen toma la forma${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=\Lambda (T_{B})\rho _{B}^{2}}$dónde${\displaystyle T_{B}}$y${\displaystyle \rho _{B}}$son la temperatura y la densidad de la materia bariónica, y${\displaystyle \Lambda (T)}$es una función de la temperatura y de constantes fundamentales. La densidad bariónica satisface la ecuación anterior.${\displaystyle dP=-\rho g\,dr}$:$${\displaystyle p_{B}(r+dr)-p_{B}(r)=-dr{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.}$$ La integral es una medida de la masa total del cúmulo, con${\displaystyle r}$siendo la distancia adecuada al centro del grupo. Utilizando la ley de los gases ideales${\displaystyle p_{B}=kT_{B}\rho _{B}/m_{B}}$(${\displaystyle k}$es la constante de Boltzmann y${\displaystyle m_{B}}$es una masa característica de las partículas de gas bariónico) y reordenando, llegamos a $${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)=-{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.}$$ Multiplicando por${\displaystyle r^{2}/\rho _{B}(r)}$y diferenciando con respecto a${\displaystyle r}$rendimientos $${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{B}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).}$$ Si asumimos que las partículas de materia oscura fría tienen una distribución de velocidad isotrópica, la misma derivación se aplica a estas partículas y a su densidad.${\displaystyle \rho _{D}=\rho _{M}-\rho _{B}}$satisface la ecuación diferencial no lineal $${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{D}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{D}(r)\rho _{D}(r)}{m_{D}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).}$$ Con datos perfectos de rayos X y distancias, pudimos calcular la densidad bariónica en cada punto del cúmulo y, por lo tanto, la densidad de materia oscura. Luego pudimos calcular la dispersión de velocidad.${\displaystyle \sigma _{D}^{2}}$de la materia oscura, que viene dada por $${\displaystyle \sigma _{D}^{2}={\frac {kT_{D}}{m_{D}}}.}$$ La relación de densidad central${\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)}$depende del desplazamiento al rojo${\displaystyle z}$del grupo y viene dado por $${\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)\propto (1+z)^{2}\left({\frac {\theta }{s}}\right)^{3/2}}$$ dónde${\displaystyle \theta }$es el ancho angular del grupo y${\displaystyle s}$la distancia adecuada al grupo. Los valores de la relación varían de 0,11 a 0,14 para diferentes estudios. ^{[ 11 ]}

El concepto de equilibrio hidrostático también se ha vuelto importante para determinar si un objeto astronómico es un planeta , un planeta enano o un cuerpo pequeño del Sistema Solar . Según la definición de planeta adoptada por la Unión Astronómica Internacional en 2006, una característica definitoria de los planetas y planetas enanos es que son objetos que tienen suficiente gravedad para superar su propia rigidez y asumir el equilibrio hidrostático. Dicho cuerpo a menudo tiene el interior diferenciado y la geología de un mundo (un planemo ), pero los cuerpos casi hidrostáticos o anteriormente hidrostáticos, como el protoplaneta 4 Vesta, también pueden estar diferenciados y algunos cuerpos hidrostáticos (en particular Calisto ) no se han diferenciado completamente desde su formación. A menudo, la forma de equilibrio es un esferoide oblato , como es el caso de la Tierra. Sin embargo, en el caso de las lunas en órbita síncrona , las fuerzas de marea casi unidireccionales crean un elipsoide escaleno . Además, el supuesto planeta enano Haumea es escaleno debido a su rápida rotación, aunque actualmente no se encuentre en equilibrio.

Anteriormente se creía que los objetos helados necesitaban menos masa para alcanzar el equilibrio hidrostático que los objetos rocosos. El objeto más pequeño que parece tener una forma de equilibrio es la luna helada Mimas a 396  km, pero el objeto helado más grande conocido con una forma obviamente fuera de equilibrio es la luna helada Proteo a 420  km, y los cuerpos rocosos más grandes con una forma obviamente fuera de equilibrio son los asteroides Palas y Vesta a unos 520  km. Sin embargo, Mimas no está realmente en equilibrio hidrostático para su rotación actual. El cuerpo más pequeño confirmado que está en equilibrio hidrostático es el planeta enano Ceres , que es helado, a 945  km, y el cuerpo más grande conocido que tiene una desviación notable del equilibrio hidrostático es Jápeto , que está hecho principalmente de hielo permeable y casi no tiene roca. ^{[ 12 ]} A 1469  km Jápeto no es ni esférico ni elipsoidal. En cambio, tiene una extraña forma parecida a una nuez debido a su cresta ecuatorial única . ^{[ 13 ]} Algunos cuerpos helados pueden estar en equilibrio al menos parcialmente debido a un océano subsuperficial, que no es la definición de equilibrio utilizada por la IAU (la gravedad vence las fuerzas internas de cuerpo rígido). Incluso los cuerpos más grandes se desvían del equilibrio hidrostático, aunque sean elipsoidales: ejemplos son la Luna de la Tierra con 3474  km (principalmente roca), ^{[ 14 ]} y el planeta Mercurio con 4880  km (principalmente metal). ^{[ 15 ]}

En 2024, Kiss et al. descubrieron que Quaoar tiene una forma elipsoidal incompatible con el equilibrio hidrostático para su rotación actual. Plantearon la hipótesis de que Quaoar originalmente tenía una rotación rápida y estaba en equilibrio hidrostático, pero que su forma se "congeló" y no cambió a medida que disminuía su velocidad de rotación debido a las fuerzas de marea de su luna Weywot . ^{[ 16 ]} De ser así, esto se asemejaría a la situación de Jápeto, que es demasiado achatado para su rotación actual. ^{[ 17 ] [ 18 ]} Sin embargo , Jápeto generalmente todavía se considera una luna de masa planetaria ^{[ 19 ]} aunque no siempre. ^{[ 20 ]}

Los cuerpos sólidos tienen superficies irregulares, pero las irregularidades locales pueden ser compatibles con el equilibrio global. Por ejemplo, la enorme base de la montaña más alta de la Tierra, Mauna Kea , ha deformado y hundido el nivel de la corteza circundante, por lo que la distribución general de la masa se aproxima al equilibrio.

En la atmósfera, la presión del aire disminuye con la altitud. Esta diferencia de presión genera una fuerza ascendente denominada gradiente de presión . La fuerza descendente de la gravedad la equilibra, manteniendo la atmósfera unida a la Tierra y las diferencias de presión con la altitud. Estas fuerzas se mantienen equilibradas a gran escala , lo que permite una estimación razonable de la presión atmosférica dada la altitud. ^{[ 21 ]} Esto permite el uso de la presión como coordenada vertical . ^{[ 22 ]} Este equilibrio implica que los movimientos verticales a gran escala en la atmósfera terrestre son insignificantes en comparación con los movimientos horizontales, y las observaciones muestran que este equilibrio se mantiene dentro del 1% a dichas escalas. ^{[ 23 ]} La suposición de equilibrio hidrostático sirve de base para la aproximación hidrostática de las ecuaciones de Navier-Stokes y se utiliza en muchos modelos atmosféricos . ^{[ 24 ]} A escalas menores, como dentro de las tormentas eléctricas , las desviaciones del flujo respecto al equilibrio hidrostático se vuelven significativas. ^{[ 21 ]}