Ecuaciones primitivas

Las ecuaciones primitivas son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales que se utilizan para aproximar el flujo atmosférico global y se emplean en la mayoría de los modelos atmosféricos . Constan de tres conjuntos principales de ecuaciones de balance:

Una ecuación de continuidad : Representa la conservación de la masa.
Conservación del momento : Consiste en una forma de las ecuaciones de Navier-Stokes que describen el flujo hidrodinámico en la superficie de una esfera bajo la suposición de que el movimiento vertical es mucho menor que el movimiento horizontal (hidroestasis) y que la profundidad de la capa de fluido es pequeña en comparación con el radio de la esfera.
Una ecuación de energía térmica : que relaciona la temperatura global del sistema con las fuentes y sumideros de calor.

Las ecuaciones primitivas pueden linealizarse para obtener las ecuaciones de mareas de Laplace , un problema de valores propios a partir del cual se puede determinar la solución analítica a la estructura latitudinal del flujo.

En general, casi todas las formas de las ecuaciones primitivas relacionan las cinco variables u , v , ω, T , W y su evolución en el espacio y el tiempo.

Las ecuaciones fueron escritas por primera vez por Vilhelm Bjerknes . ^{[ 1 ]}

Definiciones

$u$ es la velocidad zonal (velocidad en la dirección este-oeste tangente a la esfera)
$v$ es la velocidad meridional (velocidad en la dirección norte-sur tangente a la esfera)
$\omega$ es la velocidad vertical en coordenadas isobáricas
$T$ es la temperatura
$\Phi$ es el geopotencial
$f$ es el término correspondiente a la fuerza de Coriolis , y es igual a $2\Omega \sin(\phi)$ , dónde $\Omega$ es la velocidad de rotación angular de la Tierra ( $2\pi /24$ radianes por hora sideral), y $\phi$ es la latitud
$R$ es la constante de los gases
$p$ es la presión
$\rho$ es la densidad
$c_{p}$ es el calor específico en una superficie de presión constante
$J$ es el flujo de calor por unidad de tiempo por unidad de masa
$W$ es el agua precipitable
$\Pi$ es la función Exner
$\theta$ es la temperatura potencial
$\eta$ es la vorticidad absoluta

Fuerzas que provocan el movimiento atmosférico

Las fuerzas que provocan el movimiento atmosférico incluyen la fuerza del gradiente de presión , la gravedad y la fricción viscosa . En conjunto, crean las fuerzas que aceleran nuestra atmósfera.

La fuerza del gradiente de presión provoca una aceleración que fuerza el aire desde regiones de alta presión hacia regiones de baja presión. Matemáticamente, esto se puede escribir como:

{\frac {f}{m}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{dx}}.

La fuerza gravitatoria acelera los objetos a aproximadamente 9,8 m/s² ^directamente hacia el centro de la Tierra.

La fuerza debida a la fricción viscosa se puede aproximar como:

f_{r}={f \over a}{1 \over \rho }\mu \left(\nabla \cdot (\mu \nabla v)+\nabla (\lambda \nabla \cdot v)\right).

Utilizando la segunda ley de Newton, estas fuerzas (a las que se hace referencia en las ecuaciones anteriores como las aceleraciones debidas a estas fuerzas) pueden sumarse para obtener una ecuación de movimiento que describe este sistema. Esta ecuación puede escribirse de la siguiente forma:

{\frac {dv}{dt}}=-({\frac {1}{\rho }})\nabla pg({\frac {r}{r}})+f_{r}

g=g_{e}.\,

Por lo tanto, para completar el sistema de ecuaciones y obtener 6 ecuaciones y 6 variables:

${\frac {dv}{dt}}=-({\frac {1}{\rho }})\nabla pg({\frac {r}{r}})+({\frac {1}{\rho }})\left[\nabla \cdot (\mu \nabla v)+\nabla (\lambda \nabla \cdot v)\right]$
$c_{v}{\frac {dT}{dt}}+p{\frac {d\alpha }{dt}}=q+f$
${\frac {d\rho }{dt}}+\rho \nabla \cdot v=0$
$p=nT.$

donde n es la densidad numérica en mol, y T:=RT es el valor equivalente de temperatura en julios/mol.

Formas de las ecuaciones primitivas

La forma precisa de las ecuaciones primitivas depende del sistema de coordenadas verticales elegido, como coordenadas de presión , coordenadas logarítmicas de presión o coordenadas sigma . Además, las variables de velocidad, temperatura y geopotencial pueden descomponerse en componentes medias y de perturbación mediante la descomposición de Reynolds .

Coordenada de presión en el plano tangencial cartesiano vertical.

En esta forma, la presión se selecciona como coordenada vertical y las coordenadas horizontales se escriben para el plano tangente cartesiano (es decir, un plano tangente a algún punto de la superficie terrestre). Esta forma no tiene en cuenta la curvatura de la Tierra, pero resulta útil para visualizar algunos de los procesos físicos involucrados en la formulación de las ecuaciones debido a su relativa simplicidad.

Nótese que las derivadas temporales con D mayúscula son derivadas materiales . El sistema consta de cinco ecuaciones con cinco incógnitas.

las ecuaciones de momento sin viscosidad (sin fricción):

{\frac {Du}{Dt}}-fv=-{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}

{\frac {Dv}{Dt}}+fu=-{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}

la ecuación hidrostática , un caso especial de la ecuación de momento vertical en la que la aceleración vertical se considera despreciable:

0=-{\frac {\partial \Phi }{\partial p}}-{\frac {RT}{p}}

la ecuación de continuidad , que conecta la divergencia/convergencia horizontal con el movimiento vertical bajo la aproximación hidrostática ( $dp=-\rho \,d\Phi$ ):

{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial \omega }{\partial p}}=0

y la ecuación de energía termodinámica, una consecuencia de la primera ley de la termodinámica.

{\frac {\partial T}{\partial t}}+u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}+\omega \left({\frac {\partial T}{\partial p}}-{\frac {RT}{pc_{p}}}\right)={\frac {J}{c_{p}}}

Cuando se incluye una declaración sobre la conservación de la sustancia de vapor de agua, estas seis ecuaciones pueden constituir la base de un sistema numérico de predicción meteorológica.

Ecuaciones primitivas utilizando el sistema de coordenadas sigma, proyección estereográfica polar

Según el Manual n.° 1 del Servicio Meteorológico Nacional – Productos de facsímil , las ecuaciones primitivas se pueden simplificar en las siguientes ecuaciones:

Viento zonal:

{\frac {\partial u}{\partial t}}=\eta v-{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}-c_{p}\theta {\frac {\partial \pi }{\partial x}}-z{\frac {\partial u}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial ({\frac {u^{2}+v^{2}}{2}})}{\partial x}}

Viento meridional:

{\frac {\partial v}{\partial t}}=-\eta {\frac {u}{v}}-{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}-c_{p}\theta {\frac {\partial \pi }{\partial y}}-z{\frac {\partial v}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial ({\frac {u^{2}+v^{2}}{2}})}{\partial y}}

Temperatura:

{\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\partial T}{\partial t}}+u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}+w{\frac {\partial T}{\partial z}}

El primer término es igual al cambio de temperatura debido a la radiación solar incidente y la radiación saliente de onda larga, que varía con el tiempo a lo largo del día. El segundo, tercer y cuarto términos se deben a la advección. Además, la variable T con subíndice es el cambio de temperatura en ese plano. Cada T es diferente y está relacionada con su plano respectivo. Esto se divide por la distancia entre los puntos de la cuadrícula para obtener el cambio de temperatura con el cambio de distancia. Al multiplicarlo por la velocidad del viento en ese plano, las unidades de kelvin por metro y metros por segundo dan kelvin por segundo. La suma de todos los cambios de temperatura debidos a los movimientos en las direcciones x , y y z da el cambio total de temperatura con el tiempo.

Agua precipitable:

{\frac {\delta W}{\partial t}}=u{\frac {\partial W}{\partial x}}+v{\frac {\partial W}{\partial y}}+w{\frac {\partial W}{\partial z}}

Esta ecuación y notación funcionan de manera muy similar a la ecuación de temperatura. Describe el movimiento del agua de un lugar a otro en un punto, sin tener en cuenta el agua que cambia de estado. Dentro de un sistema dado, el cambio total de agua con el tiempo es cero. Sin embargo, se permite que las concentraciones varíen con el viento.

Espesor de presión:

{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}=u{\frac {\partial }{\partial x}}x{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}+v{\frac {\partial }{\partial y}}y{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}+w{\frac {\partial }{\partial z}}z{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}

Estas simplificaciones facilitan enormemente la comprensión del modelo. Parámetros como la temperatura (temperatura potencial), el agua precipitable y, en cierta medida, el espesor de presión, simplemente se desplazan de un punto a otro de la cuadrícula con el viento. El pronóstico del viento es ligeramente diferente. Utiliza el geopotencial, el calor específico, la función de Exner π y el cambio en la coordenada sigma.

Solución a las ecuaciones primitivas linealizadas

La solución analítica de las ecuaciones primitivas linealizadas implica una oscilación sinusoidal en el tiempo y la longitud, modulada por coeficientes relacionados con la altura y la latitud.

{\begin{Bmatrix}u,v,\Phi \end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}{\hat {u}},{\hat {v}},{\hat {\Phi }}\end{Bmatrix}}e^{i(s\lambda +\sigma t)}

donde s y $\sigma$ son el número de onda zonal y la frecuencia angular , respectivamente. La solución representa las ondas atmosféricas y las mareas .

Cuando los coeficientes se separan en sus componentes de altura y latitud, la dependencia de la altura toma la forma de ondas propagantes o evanescentes (dependiendo de las condiciones), mientras que la dependencia de la latitud viene dada por las funciones de Hough .

Esta solución analítica solo es posible cuando las ecuaciones primitivas se linealizan y simplifican. Desafortunadamente, muchas de estas simplificaciones (por ejemplo, ausencia de disipación, atmósfera isotérmica) no se corresponden con las condiciones de la atmósfera real. Por consiguiente, a menudo se calcula una solución numérica que tenga en cuenta estos factores utilizando modelos de circulación general y modelos climáticos .

Véase también

Referencias

↑ Antes de 1955: Modelos numéricos y la prehistoria de los AGCM

Beniston, Martin. De la turbulencia al clima: investigaciones numéricas de la atmósfera con una jerarquía de modelos. Berlín: Springer, 1998. ISBN 3-540-63495-9
Firth, Robert. Construcción y precisión de la cuadrícula de modelos meteorológicos de mesoescala y microescala. LSMSA, 2006.
Thompson, Philip. Análisis y predicción numérica del tiempo. Nueva York: The Macmillan Company, 1961.
Pielke, Roger A. Modelado meteorológico a mesoescala. Orlando: Academic Press, Inc., 1984. ISBN 0-12-554820-6
Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Administración Nacional Oceánica y Atmosférica, Servicio Meteorológico Nacional. Manual del Servicio Meteorológico Nacional n.° 1 : Productos facsímiles. Washington, D.C.: Departamento de Comercio, 1979.

Enlaces externos

Servicio Meteorológico Nacional – Centro de Investigación y Capacitación Colaborativa de la NCSU, Revisión de las Ecuaciones Primitivas .

[1] Antes de 1955: Modelos numéricos y la prehistoria de los AGCM

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