cuaternión de Hurwitz

En matemáticas , un cuaternión de Hurwitz (o entero de Hurwitz ) es un cuaternión cuyos componentes son todos enteros o todos semi-enteros (mitades de enteros impares ; se excluye una mezcla de enteros y semi-enteros). El conjunto de todos los cuaterniones de Hurwitz es

${\displaystyle H=\left\{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} \;{\mbox{ o }}\,a,b,c,d\in \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\right\}.}$

Es decir, o bien a , b , c , d son todos enteros, o bien son todos mitades de enteros impares. H es cerrado bajo la multiplicación y la suma de cuaterniones, lo que lo convierte en un subanillo del anillo de todos los cuaterniones H. Los cuaterniones de Hurwitz fueron introducidos por Adolf Hurwitz ( 1919 ) . 

Un cuaternión de Lipschitz (o entero de Lipschitz ; llamado así en honor a Rudolf Lipschitz ) es un cuaternión cuyos componentes son todos enteros. El conjunto de todos los cuaterniones de Lipschitz

${\displaystyle L=\left\{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} \right\}}$

forma un subanillo de los cuaterniones de Hurwitz H. Los enteros de Hurwitz tienen la ventaja sobre los enteros de Lipschitz de que es posible realizar la división euclidiana sobre ellos, obteniendo un resto pequeño.

Tanto los cuaterniones de Hurwitz como los de Lipschitz son ejemplos de dominios no conmutativos que no son anillos de división .

Como grupo aditivo , H es abeliano libre con generadores {(1 + i + j + k ) / 2, i , j , k }. Por lo tanto, forma un retículo en R ⁴ . Este retículo se conoce como el retículo F ₄ ya que es el retículo raíz del álgebra de Lie semisimple F ₄ . Los cuaterniones de Lipschitz L forman un subretículo de índice 2 de H .

El grupo de unidades en L es el grupo de cuaterniones de orden 8 Q = {±1, ± i , ± j , ± k }. El grupo de unidades en H es un grupo no abeliano de orden 24 conocido como el grupo tetraédrico binario . Los elementos de este grupo incluyen los 8 elementos de Q junto con los 16 cuaterniones {(±1 ± i ± j ± k ) / 2}, donde los signos pueden tomarse en cualquier combinación. El grupo de cuaterniones es un subgrupo normal del grupo tetraédrico binario U( H ). Los elementos de U( H ), que tienen todos norma 1, forman los vértices de la 24-celda inscrita en la 3-esfera .

Los cuaterniones de Hurwitz forman un orden (en el sentido de la teoría de anillos ) en el anillo de división de cuaterniones con componentes racionales . De hecho, es un orden maximal ; esto explica su importancia. Los cuaterniones de Lipschitz, que son el candidato más obvio para la idea de un cuaternión integral , también forman un orden. Sin embargo, este último orden no es maximal y, por lo tanto (como se ha demostrado), es menos adecuado para desarrollar una teoría de ideales izquierdos comparable a la de la teoría algebraica de números . Lo que Adolf Hurwitz comprendió, por lo tanto, fue que esta definición de cuaternión integral de Hurwitz es la mejor para trabajar. Para un anillo no conmutativo como H , los órdenes maximales no tienen por qué ser únicos, por lo que es necesario fijar un orden maximal, al trasladar el concepto de un entero algebraico .

La norma (aritmética o de campo) ^de un cuaternión de Hurwitz a + bi + cj + dk , dada por a² + b² + c² + d² , es siempre un entero. Según un teorema de Lagrange, ^todo entero no negativo puede escribirse como suma de, como máximo, cuatro ^{cuadrados .} Por lo tanto, todo entero no negativo es la norma de algún cuaternión de Lipschitz (o de Hurwitz). Más precisamente, el número c ( n ) de cuaterniones de Hurwitz de norma positiva n dada es 24 veces la suma de los divisores impares de n . La función generadora de los números c ( n ) viene dada por la forma modular de nivel 2 y peso 2.

${\displaystyle 2E_{2}(2\tau )-E_{2}(\tau )=\sum _{n}c(n)q^{n}=1+24q+24q^{2}+96q^{3}+24q^{4}+144q^{5}+\dots }$(secuencia A004011 en el OEIS )

dónde

${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

y

${\displaystyle E_{2}(\tau )=1-24\sum _{n}\sigma _{1}(n)q^{n}}$

es la serie de Eisenstein de peso 2 nivel 1 (que es una forma cuasimodular ) y σ ₁ ( n ) es la suma de los divisores de n .

Un entero de Hurwitz se llama irreducible si no es 0 ni una unidad y no es producto de números distintos de unidades. Un entero de Hurwitz es irreducible si y solo si su norma es un número primo . Los cuaterniones irreducibles a veces se denominan cuaterniones primos, pero esto puede ser engañoso, ya que no son primos en el sentido habitual del álgebra conmutativa : es posible que un cuaternión irreducible divida un producto ab sin dividir ni a ni b . Todo cuaternión de Hurwitz puede factorizarse como producto de cuaterniones irreducibles. Esta factorización no es única en general, ni siquiera salvo unidades y orden, porque un primo impar positivo p puede escribirse de 24( p +1) maneras como producto de dos cuaterniones de Hurwitz irreducibles de norma p , y para valores grandes de p, estos no pueden ser todos equivalentes bajo la multiplicación por unidades por la izquierda y por la derecha, ya que solo hay 24 unidades. Sin embargo, si se excluye este caso, existe una versión de factorización única. Más precisamente, todo cuaternión de Hurwitz puede escribirse de forma única como el producto de un entero positivo y un cuaternión primitivo (un cuaternión de Hurwitz no divisible por ningún entero mayor que 1). La factorización de un cuaternión primitivo en irreducibles es única salvo orden y unidades en el siguiente sentido: si

p ₀ p ₁ ... p _n

y

q ₀ q ₁ ... q _n

son dos factorizaciones de algún cuaternión de Hurwitz primitivo en cuaterniones irreducibles donde p _k tiene la misma norma que q _k para todo k , entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{0}&=p_{0}u_{1}\\q_{1}&=u_{1}^{-1}p_{1}u_{2}\\&\,\,\,\vdots \\q_{n}&=u_{n}^{-1}p_{n}\end{aligned}}}$

para algunas unidades u _k .

Los números enteros ordinarios y los enteros gaussianos permiten una división con resto o división euclidiana .

Para enteros positivos M y D , siempre existe un cociente Q y un resto no negativo R tales que

• M = QD + R donde R < D .

Para enteros complejos o gaussianos M = a + i b y D = c + i d , con la norma N( D ) > 0, siempre existen Q = p + i q y R = r + i s tales que

• M = QD + R , donde N( R ) < N( D ).

Sin embargo, para los enteros de Lipschitz M = ( a , b , c , d ) y D = ( e , f , g , h ) puede ocurrir que N( R ) = N( D ). Esto motivó un cambio a los enteros de Hurwitz, para los cuales se garantiza la condición N( R ) < N( D ). ^{[ 1 ]}

Muchos algoritmos dependen de la división con resto, por ejemplo, el algoritmo de Euclides para el máximo común divisor .

• entero gaussiano
• Entero de Eisenstein
• Los icosianos
• El grupo de Lie F ₄
• La red E ₈

• Conway, John Horton ; Smith, Derek A. (2003). Sobre cuaterniones y octoniones: su geometría, aritmética y simetría . AK Peters. ISBN 1-56881-134-9.
• Hurwitz, Adolf (2013) [1919]. Vorlesungen Über die Zahlentheorie der Quaternionen . Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-47536-8. JFM 47.0106.01 .