Horizonte

Para calcular la mayor distancia D _BL a la que un observador B puede ver la parte superior de un objeto L sobre el horizonte, simplemente sume las distancias al horizonte desde cada uno de los dos puntos:

D _BL = D _B + D _L

_{Por ejemplo, para un observador B} de 1,70 m de altura, situado en el suelo, el horizonte se encuentra a _{4,65 km} de distancia. Para una torre de 100 m de altura _, la distancia al horizonte es de 35,7 _km . Por lo tanto, un observador en la playa puede ver la parte superior de la torre siempre que no esté a más de 40,35 km _{de distancia.} En cambio, si un observador en un barco ( 1,7 m _{de altura} ) apenas alcanza a ver las copas de los árboles en una orilla cercana ( 10 m _{de altura} ) , es probable que los árboles se encuentren a unos 16 km de _distancia .        

Haciendo referencia a la figura de la derecha y utilizando la aproximación anterior , la parte superior del faro será visible para un vigía en un puesto de observación en la parte superior de un mástil del barco si

${\displaystyle D_{\mathrm {BL} }<3.57\,({\sqrt {h_{\mathrm {B} }}}+{\sqrt {h_{\mathrm {L} }}})\,,}$

donde D _BL está en kilómetros y h _B y h _L están en metros.

Como otro ejemplo, supongamos que un observador, cuyos ojos están a dos metros del suelo, usa binoculares para mirar un edificio lejano que sabe que tiene treinta pisos, cada uno de 3,5 metros de altura. Cuenta los pisos que puede ver y descubre que solo hay diez. Por lo tanto, veinte pisos, o 70 metros del edificio, están ocultos para él debido a la curvatura de la Tierra. A partir de esto, puede calcular su distancia al edificio:

${\displaystyle D\approx 3.57({\sqrt {2}}+{\sqrt {70}})}$

lo que equivale a unos 35 kilómetros.

De forma similar, es posible calcular qué parte de un objeto distante es visible por encima del horizonte. Supongamos que el ojo de un observador se encuentra a 10 metros sobre el nivel del mar y que está viendo un barco a 20  km de distancia. Su horizonte es:

${\displaystyle 3.57{\sqrt {10}}}$

kilómetros de él, lo que equivale a unos 11,3 kilómetros de distancia. El barco se encuentra a otros 8,7  km de distancia. La altura de un punto del barco que es apenas visible para el observador viene dada por:

${\displaystyle h\approx \left({\frac {8.7}{3.57}}\right)^{2}}$

que equivale a casi exactamente seis metros. Por lo tanto, el observador puede ver la parte del barco que está a más de seis metros por encima del nivel del agua. La parte del barco que está por debajo de esta altura le queda oculta por la curvatura de la Tierra. En esta situación, se dice que el barco está hundido .

Debido a la refracción atmosférica, la distancia al horizonte visible es mayor que la calculada mediante una simple fórmula geométrica. Si la superficie del suelo (o del agua) está más fría que el aire que la cubre, se forma una capa de aire frío y denso cerca de la superficie, lo que provoca que la luz se refracte hacia abajo al viajar y, por lo tanto, en cierta medida, rodee la curvatura de la Tierra. Lo contrario ocurre si el suelo está más caliente que el aire que lo cubre, como suele suceder en los desiertos, produciendo espejismos . Para compensar aproximadamente la refracción, los topógrafos que miden distancias superiores a 100 metros restan un 14 % al error de curvatura calculado y se aseguran de que las líneas de visión estén al menos a 1,5 metros del suelo, para reducir los errores aleatorios causados ​​por la refracción.

Si la Tierra fuera un mundo sin aire como la Luna, los cálculos anteriores serían precisos. Sin embargo, la Tierra tiene una atmósfera de aire , cuya densidad e índice de refracción varían considerablemente según la temperatura y la presión. Esto hace que el aire refracte la luz en diferentes grados, afectando la apariencia del horizonte. Por lo general, la densidad del aire justo sobre la superficie de la Tierra es mayor que su densidad a mayores altitudes. Esto hace que su índice de refracción sea mayor cerca de la superficie que a mayores altitudes, lo que hace que la luz que viaja aproximadamente horizontalmente se refracte hacia abajo. ^{[ 8 ]} Esto hace que la distancia real al horizonte sea mayor que la distancia calculada con fórmulas geométricas. Con condiciones atmosféricas estándar, la diferencia es de aproximadamente el 8%. Esto cambia el factor de 3,57, en las fórmulas métricas utilizadas anteriormente, a aproximadamente 3,86. ^{[ 6 ]} Por ejemplo, si un observador está parado en la orilla del mar, con los ojos a 1,70 m sobre el nivel del mar, según las fórmulas geométricas simples dadas anteriormente el horizonte debería estar a 4,7  km de distancia. En realidad, la refracción atmosférica permite al observador ver 300 metros más lejos, desplazando el horizonte real 5  km lejos del observador.

Esta corrección puede aplicarse, y a menudo se aplica, como una aproximación bastante buena cuando las condiciones atmosféricas son cercanas a las estándar . Cuando las condiciones son inusuales, esta aproximación falla. La refracción se ve fuertemente afectada por los gradientes de temperatura, que pueden variar considerablemente de un día a otro, especialmente sobre el agua. En casos extremos, generalmente en primavera, cuando el aire cálido se encuentra sobre agua fría, la refracción puede permitir que la luz siga la superficie terrestre durante cientos de kilómetros. Se dan condiciones opuestas, por ejemplo, en los desiertos, donde la superficie es muy caliente, por lo que el aire caliente y de baja densidad se encuentra debajo del aire más frío. Esto provoca que la luz se refracte hacia arriba, causando efectos de espejismo que hacen que el concepto de horizonte sea algo sin sentido. Por lo tanto, los valores calculados para los efectos de la refracción en condiciones inusuales son solo aproximados. ^{[ 6 ]} Sin embargo, se han hecho intentos para calcularlos con mayor precisión que la simple aproximación descrita anteriormente.

Fuera del rango de longitud de onda visible, la refracción será diferente. Para el radar (por ejemplo, para longitudes de onda de 300 a 3  mm, es decir, frecuencias entre 1 y 100  GHz), el radio de la Tierra se puede multiplicar por 4/3 para obtener un radio efectivo, lo que da un factor de 4,12 en la fórmula métrica; es decir, el horizonte del radar estará un 15 % más allá del horizonte geométrico o un 7 % más allá del horizonte visual. El factor 4/3 no es exacto, ya que en el caso visual la refracción depende de las condiciones atmosféricas.

Método de integración—Sweer

Si se conoce el perfil de densidad de la atmósfera, la distancia d al horizonte viene dada por ^{[ 9 ].}

${\displaystyle d={{R}_{\text{E}}}\left(\psi +\delta \right)\,,}$

donde R _E es el radio de la Tierra, ψ es la inclinación del horizonte y δ es la refracción del horizonte. La inclinación se determina de forma bastante sencilla a partir de

${\displaystyle \cos \psi ={\frac {{R}_{\text{E}}{\mu }_{0}}{\left({{R}_{\text{E}}}+h\right)\mu }}\,,}$

donde h es la altura del observador sobre la Tierra, μ es el índice de refracción del aire a la altura del observador y μ ₀ es el índice de refracción del aire en la superficie de la Tierra.

La refracción debe hallarse mediante la integración de

${\displaystyle \delta =-\int _{0}^{h}{\tan \phi {\frac {{\text{d}}\mu }{\mu }}}\,,}$

dónde${\displaystyle \phi \,\!}$es el ángulo entre el rayo y una línea que pasa por el centro de la Tierra. Los ángulos ψ y${\displaystyle \phi \,\!}$están relacionados por

${\displaystyle \phi =90{}^{\circ }-\psi \,.}$

Método sencillo—Joven

Un enfoque mucho más simple, que produce esencialmente los mismos resultados que la aproximación de primer orden descrita anteriormente, utiliza el modelo geométrico pero utiliza un radio R′ = 7/6 R _E . La distancia al horizonte es entonces ^{[ 6 ]}

${\displaystyle d={\sqrt {2R^{\prime }h}}\,.}$

Tomando el radio de la Tierra como 6371  km, con d en km y h en m,

${\displaystyle d\approx 3.86{\sqrt {h}}\,;}$

con d en mi y h en ft,

${\displaystyle d\approx 1.32{\sqrt {h}}\,.}$

En el caso del radar , normalmente se tiene R′ = 4/3 R _E, lo que resulta (con d en km y h en m) en

${\displaystyle d\approx 4.12{\sqrt {h}}\,;}$

Los resultados del método de Young son bastante similares a los del método de Sweer y son suficientemente precisos para muchos fines.

El horizonte es una característica clave del plano de la imagen en la ciencia de la perspectiva gráfica . Suponiendo que el plano de la imagen es vertical al suelo, y que P es la proyección perpendicular del punto de vista O sobre el plano de la imagen, el horizonte se define como la línea horizontal que pasa por P. El punto P es el punto de fuga de las líneas perpendiculares a la imagen. Si S es otro punto en el horizonte, entonces es el punto de fuga para todas las líneas paralelas a OS . Pero Brook Taylor indicó que el plano del horizonte determinado por O y el horizonte era como cualquier otro plano :

El término «línea horizontal», por ejemplo, tiende a limitar las nociones del aprendiz al plano del horizonte y a hacerle imaginar que dicho plano goza de ciertos privilegios particulares que hacen que las figuras en él sean más fáciles y convenientes de describir mediante esa línea horizontal que las figuras en cualquier otro plano;… Pero en este libro no hago distinción alguna entre el plano del horizonte y cualquier otro plano… ^{[ 10 ] [ 11 ]}

La peculiar geometría de la perspectiva, donde las líneas paralelas convergen en la distancia, estimuló el desarrollo de la geometría proyectiva , que postula un punto en el infinito donde se encuentran las líneas paralelas. En su libro La geometría de un arte (2007), Kirsti Andersen describió la evolución del dibujo y la ciencia de la perspectiva hasta 1800, señalando que los puntos de fuga no tienen por qué estar en el horizonte. En un capítulo titulado "Horizonte", John Stillwell relató cómo la geometría proyectiva ha conducido a la geometría de incidencia , el estudio abstracto moderno de la intersección de líneas. Stillwell también se adentró en los fundamentos de las matemáticas en una sección titulada "¿Cuáles son las leyes del álgebra  ?". El "álgebra de puntos", originalmente dada por Karl von Staudt al derivar los axiomas de un cuerpo , fue deconstruida en el siglo XX, dando lugar a una amplia variedad de posibilidades matemáticas. Stillwell afirma

Este descubrimiento de hace 100 años parece capaz de revolucionar las matemáticas, aunque aún no ha sido plenamente asimilado por la comunidad matemática. No solo desafía la tendencia de convertir la geometría en álgebra, sino que sugiere que tanto la geometría como el álgebra tienen una base más simple de lo que se creía. ^{[ 12 ]}