Distancia geográfica

• Aproximaciones de corto alcance: Superficie plana, Gauss-latitud media;${\displaystyle \max |\Delta D_{\text{error}}|\propto D^{3}}$
  • El método de Bowring (1981) para líneas cortas mejorado por Karney utilizando latitud reducida y latitud media;${\displaystyle \max |\Delta D_{\text{error}}|\propto D^{4}}$
• aproximaciones de largo alcance;${\displaystyle \max |\Delta D_{\text{error}}|\propto D}$en el hemisferio cerrado
  • ${\displaystyle f^{0}}$Método de aproximación de orden -: Tierra esférica
  • aproximaciones de orden superior basadas en elipsoides:${\displaystyle f^{1}}$: Andoyer(1932); Andoyer-Lambert(1942),${\displaystyle f^{2}}$: Andoyer-Lambert-Thomas (1970),${\displaystyle f^{3}}$: Vincenty (1975),${\displaystyle f^{6}}$: Karney (2011)

Las estimaciones teóricas del error se añaden arriba y${\displaystyle f}$es el aplanamiento de la Tierra.

Distancia de arco,${\displaystyle D,\,\!}$es la distancia mínima a lo largo de la superficie de la esfera/elipsoide calculada entre dos puntos,${\displaystyle P_{1}\,\!}$y${\displaystyle P_{2}\,\!}$. Mientras que la distancia del túnel, o longitud de la cuerda,${\displaystyle D_{\textrm {t}}}$, se mide a lo largo de una línea recta cartesiana. Las coordenadas geográficas de los dos puntos, como pares (latitud, longitud), son${\displaystyle (\phi _{1},\lambda _{1})\,\!}$y${\displaystyle (\phi _{2},\lambda _{2}),\,\!}$respectivamente. ¿Cuál de los dos puntos se designa como${\displaystyle P_{1}\,\!}$no es importante para el cálculo de la distancia.

Latitud${\displaystyle \phi \,\!}$y longitud${\displaystyle \lambda \,\!}$Las coordenadas en los mapas se suelen expresar en grados . En las fórmulas que se muestran a continuación, uno o más valores deben expresarse en las unidades especificadas para obtener el resultado correcto. Cuando se utilizan coordenadas geográficas como argumento de una función trigonométrica, los valores pueden expresarse en cualquier unidad angular compatible con el método empleado para determinar el valor de dicha función. Muchas calculadoras electrónicas permiten calcular funciones trigonométricas tanto en grados como en radianes . El modo de la calculadora debe ser compatible con las unidades utilizadas para las coordenadas geométricas.

Las diferencias de latitud y longitud se etiquetan y calculan de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \phi &=\phi _{2}-\phi _{1};\\\Delta \lambda &=\lambda _{2}-\lambda _{1}.\end{aligned}}\,\!}$

No importa si el resultado es positivo o negativo cuando se utiliza en las fórmulas que aparecen a continuación.

La categoría "latitud media" se etiqueta y calcula de la siguiente manera:

${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }={\frac {\phi _{1}+\phi _{2}}{2}}.\,\!}$

Salvo que se especifique lo contrario, el radio de la Tierra para los cálculos que figuran a continuación es:

${\displaystyle R\,\!}$= 6.371,009 kilómetros = 3.958,761 millas terrestres = 3.440,069 millas náuticas .

${\displaystyle D_{\,}\!}$= Distancia entre los dos puntos, medida a lo largo de la superficie de la Tierra y en las mismas unidades que el valor utilizado para el radio, a menos que se especifique lo contrario.

La aproximación de funciones sinusoidales de${\displaystyle \Delta \lambda }$La presencia de ciertas fórmulas para superficies planas, que se muestran a continuación, puede provocar singularidades y discontinuidades. También puede disminuir la precisión en latitudes elevadas.

La longitud tiene singularidades en los polos (la longitud no está definida) y una discontinuidad en el meridiano de ± 180° . Además, las proyecciones planas de los círculos de latitud constante están muy curvadas cerca de los polos. Por lo tanto, las ecuaciones anteriores para delta latitud/longitud (${\displaystyle \Delta \phi \!}$,${\displaystyle \Delta \lambda \!}$) y latitud media (${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }\!}$) puede que no dé la respuesta esperada para posiciones cercanas a los Polos o al meridiano de ±180°. Considere, por ejemplo, el valor de${\displaystyle \Delta \lambda \!}$("desplazamiento hacia el este") cuando${\displaystyle \lambda _ {1}\!}$y${\displaystyle \lambda _ {2}\!}$están a ambos lados del meridiano ±180°, o el valor de${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }\!}$("latitud media") para las dos posiciones (${\displaystyle \phi _{1}\!}$=89°,${\displaystyle \lambda _ {1}\!}$=45°) y (${\displaystyle \phi _{2}\!}$=89°,${\displaystyle \lambda _ {2}\!}$=−135°).

Si se pretende que un cálculo basado en latitud/longitud sea válido para todas las posiciones terrestres, es necesario verificar que la discontinuidad y los polos se traten correctamente. Otra solución consiste en utilizar un vector n en lugar de latitud/longitud, ya que esta representación no presenta discontinuidades ni singularidades.

La distancia del túnel ,${\displaystyle D_{\textrm {t}}}$, se calcula en una Tierra esférica. Esta fórmula tiene en cuenta la variación en la distancia entre meridianos con la latitud, asumiendo${\displaystyle D\approx D_{\textrm {t}}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\textrm {t}}&=2R{\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\,\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}+\left(\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}}}\\&\approx R{\sqrt {\left(\Delta \phi \,\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}+\left(2\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}}}\ .\end{aligned}}}$

La raíz cuadrada que aparece arriba puede eliminarse para aplicaciones como la ordenación de ubicaciones por distancia en una consulta de base de datos. Por otro lado, algunos métodos para calcular los vecinos más cercanos, como el árbol de puntos de vista , requieren que la métrica de distancia cumpla la desigualdad triangular , en cuyo caso debe conservarse la raíz cuadrada.

La fórmula anterior se extiende para una Tierra elipsoidal:

${\displaystyle {\begin{aligned}D&\approx 2{\sqrt {\left(M\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\,\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}+\left(N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}}},\\&\approx {\sqrt {\left(M\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\Delta \phi \,\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}+\left(2N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}}},\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle M\,\!}$y${\displaystyle N\,\!}$son el radio meridional y su perpendicular, o " normal ", radios de curvatura de la Tierra (véase también " Conversión de coordenadas geográficas " para sus fórmulas).

Se deriva mediante la aproximación de${\displaystyle \left(\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\Delta \phi \right)^{2}\approx 0}$en la raíz cuadrada.

Esta aproximación puede considerarse simplemente como la distancia de cuerda cartesiana tridimensional entre dos puntos del elipsoide, y, equivalentemente, como una simplificación de cuerda del método de Gauss para latitudes medias. Si bien no hemos encontrado esta fórmula explícita en fuentes clásicas, el método de Gauss para latitudes medias se describe en Rapp (1991).

${\displaystyle D=R{\sqrt {\theta _{1}^{2}\;{\boldsymbol {+}}\;\theta _{2}^{2}\;\mathbf {-} \;2\theta _{1}\theta _{2}\cos(\Delta \lambda )}},}$

donde los valores de colatitud están en radianes:${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}-\phi .}$

Para una latitud medida en grados, la colatitud en radianes se puede calcular de la siguiente manera:${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{180}}(90^{\circ }-\phi ).\,\!}$

Un túnel entre puntos en la Tierra se define mediante una línea cartesiana que atraviesa el espacio tridimensional entre los puntos de interés. La distancia del túnel${\displaystyle D_{\textrm {t}}=2R\sin {\frac {D}{2R}}}$es la longitud de la cuerda del círculo máximo y se puede calcular de la siguiente manera para la esfera unitaria correspondiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {X}&=\cos(\phi _{2})\cos(\lambda _{2})-\cos(\phi _{1})\cos(\lambda _{1});\\\Delta {Y}&=\cos(\phi _{2})\sin(\lambda _{2})-\cos(\phi _{1})\sin(\lambda _{1});\\\Delta {Z}&=\sin(\phi _{2})-\sin(\phi _{1});\\D_{\textrm {t}}&=R{\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}+(\Delta {Z})^{2}}}\\&=2R{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\Delta \phi }{2}}+\left(\cos ^{2}{\frac {\Delta \phi }{2}}-\sin ^{2}\phi _{\textrm {m}}\right)\sin ^{2}{\frac {\Delta \lambda }{2}}}}\\&=2R{\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Históricamente, las fórmulas de línea larga se derivaron en forma de series de expansión con respecto al aplanamiento.${\displaystyle f}$. ^{[ 16 ] [ 17 ]}

Las fórmulas de Andoyer-Lambert ^{[ 18 ]} utilizan la corrección de primer orden (Andoyer, 1932) y la latitud reducida ,${\displaystyle \beta =\arctan \left((1-f)\tan \phi \right)}$para una mayor precisión. Ofrecen una precisión del orden de 10 metros en miles de kilómetros.

Primero convierte las latitudes${\displaystyle \scriptstyle \phi _{1}}$,${\displaystyle \scriptstyle \phi _{2}}$de los dos puntos a latitudes reducidas${\displaystyle \scriptstyle \beta _{1}}$, ${\displaystyle \scriptstyle \beta _{2}}$Luego, calcula el ángulo central .${\displaystyle \sigma }$en radianes entre dos puntos${\displaystyle (\beta _{1},\;\lambda _{1})}$y${\displaystyle (\beta _{2},\;\lambda _{2})}$en una esfera utilizando el método de distancia del círculo máximo ( fórmula de haversine ), con longitudes${\displaystyle \lambda _{1}\;}$y${\displaystyle \lambda _{2}\;}$siendo lo mismo en la esfera que en el esferoide.

${\displaystyle P={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{2}}\qquad Q={\frac {\beta _{2}-\beta _{1}}{2}}}$

${\displaystyle X=(\sigma -\sin \sigma ){\frac {\sin ^{2}P\cos ^{2}Q}{\cos ^{2}{\frac {\sigma }{2}}}}\qquad \qquad Y=(\sigma +\sin \sigma ){\frac {\cos ^{2}P\sin ^{2}Q}{\sin ^{2}{\frac {\sigma }{2}}}}}$

${\textstyle D=a{\bigl (}\sigma -{\tfrac {f}{2}}(X+Y){\bigr )}}$,

dónde${\displaystyle a}$es el radio ecuatorial del esferoide elegido.

En el esferoide GRS 80, la fórmula de Lambert está desviada por

0 Norte 0 Oeste a 40 Norte 120 Oeste, 12,6 metros

De 0°N a 0°O a 40°N 60°O, 6,6 metros

40N 0W a 40N 60W, 0,85 metros

Tiene una forma similar a la longitud del arco convertida a partir de la distancia del túnel. Rapp proporciona fórmulas detalladas, ^{[ 13 ]} §6.4. Aparentemente, es consistente con las fórmulas de superficie plana mencionadas anteriormente.

${\displaystyle D=2N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\arcsin {\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin \left({\frac {\Delta \phi }{2}}{\frac {M\left(\phi _{\textrm {m}}\right)}{N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)}}\right)\right)^{2}}}.}$

Bowring mapea los puntos a una esfera de radio R ′ , con la latitud y la longitud representadas como φ ′ y λ ′ . Definir

${\displaystyle A={\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{4}\phi _{1}}},\quad B={\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{2}\phi _{1}}},}$

donde el cuadrado de la segunda excentricidad es

${\displaystyle e'^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}={\frac {f(2-f)}{(1-f)^{2}}}.}$

El radio esférico es

${\displaystyle R'={\frac {\sqrt {1+e'^{2}}}{B^{2}}}a.}$

(La curvatura gaussiana del elipsoide en φ ₁ es 1/ R ′ ² .) Las coordenadas esféricas vienen dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \phi _{1}'&={\frac {\tan \phi _{1}}{B}},\\\Delta \phi '&={\frac {\Delta \phi }{B}}{\biggl [}1+{\frac {3e'^{2}}{4B^{2}}}(\Delta \phi )\sin(2\phi _{1}+{\tfrac {2}{3}}\Delta \phi ){\biggr ]},\\\Delta \lambda '&=A\Delta \lambda ,\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \Delta \phi =\phi _{2}-\phi _{1}}$,${\displaystyle \Delta \phi '=\phi _{2}'-\phi _{1}'}$, ${\displaystyle \Delta \lambda =\lambda _{2}-\lambda _{1}}$,${\displaystyle \Delta \lambda '=\lambda _{2}'-\lambda _{1}'}$. El problema resultante en la esfera puede resolverse utilizando las técnicas de navegación de círculo máximo para dar aproximaciones para la distancia esferoidal y el rumbo. Rapp ^{[ 13 ]} §6.5 y Bowring ^{[ 14 ]} dan fórmulas detalladas . El uso de latitud media,${\displaystyle \phi _{\textrm {m}}}$, mejora la precisión, como lo demuestra Karney. ^{[ 19 ]}