n -vector

La representación vectorial n (también llamada normal geodésica o vector normal elipsoidal ) es una representación no singular de tres parámetros muy adecuada para reemplazar las coordenadas geodésicas ( latitud y longitud ) para la representación de la posición horizontal en cálculos matemáticos y algoritmos informáticos.

Geométricamente, el vector n para una posición dada en un elipsoide es el vector unitario que apunta hacia afuera y es normal al elipsoide en esa posición. Para representar posiciones horizontales en la Tierra, el elipsoide es un elipsoide de referencia y el vector se descompone en un sistema de coordenadas terrestres fijo . Se comporta de manera uniforme en todas las posiciones terrestres y posee la propiedad matemática biyectiva .

De forma más general, el concepto puede aplicarse a la representación de posiciones en el límite de un subconjunto estrictamente convexo y acotado del espacio euclidiano k -dimensional , siempre que dicho límite sea una variedad diferenciable . En este caso general, el vector n consta de k parámetros.

Un vector normal a una superficie estrictamente convexa puede utilizarse para definir de forma única la posición de una superficie. El vector n es un vector normal que apunta hacia afuera con longitud unitaria , utilizado como representación de posición. ^{[ 1 ]}

Para la mayoría de las aplicaciones, la superficie es el elipsoide de referencia de la Tierra, por lo que el vector n se utiliza para representar una posición horizontal. Por lo tanto, el ángulo entre el vector n y el plano ecuatorial corresponde a la latitud geodésica , como se muestra en la figura.

Una posición en la superficie tiene dos grados de libertad , por lo que dos parámetros son suficientes para representar cualquier posición en la superficie. En el elipsoide de referencia, la latitud y la longitud son parámetros comunes para este propósito, pero como todas las representaciones de dos parámetros , tienen singularidades . Esto es similar a la orientación , que tiene tres grados de libertad, pero todas las representaciones de tres parámetros tienen singularidades. ^{[ 2 ]} En ambos casos, las singularidades se evitan agregando un parámetro adicional, es decir, usando un vector n (tres parámetros) para representar la posición horizontal y un cuaternión unitario (cuatro parámetros) para representar la orientación .

Un vector n es una representación uno a uno , lo que significa que cualquier posición de la superficie corresponde a un único vector n , y cualquier vector n corresponde a una única posición de la superficie.

Como vector euclidiano tridimensional , se puede utilizar el álgebra vectorial tridimensional estándar para los cálculos de posición, lo que hace que el vector n sea idóneo para la mayoría de los cálculos de posición horizontal. Para una comparación general de las distintas representaciones, consulte la página de representaciones de posición horizontal .

Basándonos en la definición del sistema de coordenadas ECEF , denominado e , queda claro que el paso de latitud/longitud a vector n se logra mediante:

${\displaystyle \mathbf {n} ^{e}=\left[{\begin{matrix}\cos(\mathrm {latitud} )\cos(\mathrm {longitud} )\\\cos(\mathrm {latitud} )\sin(\mathrm {longitud} )\\\sin(\mathrm {latitud} )\\\end{matrix}}\right]}$

El superíndice e indica que el vector n se descompone en el sistema de coordenadas e (es decir, la primera componente es la proyección escalar del vector n sobre el eje x de e , la segunda sobre el eje y de e, etc.). Cabe destacar que la ecuación es exacta tanto para el modelo de Tierra esférica como para el elipsoidal.

A partir de los tres componentes del vector n ,${\displaystyle n_{x}^{e}}$,${\displaystyle n_{y}^{e}}$, y${\displaystyle n_{z}^{e}}$La latitud se puede encontrar utilizando:

${\displaystyle \mathrm {latitud} =\arcsin \left(n_{z}^{e}\right)=\arctan \left({\frac {n_{z}^{e}}{\sqrt {{n_{x}^{e}}^{2}+{n_{y}^{e}}^{2}}}}\right)}$

La expresión situada más a la derecha es la más adecuada para la implementación de programas informáticos. ^{[ 1 ]}

La longitud se obtiene mediante:

${\displaystyle \mathrm {longitud} =\arctan \left({\frac {n_{y}^{e}}{n_{x}^{e}}}\right)}$

En estas expresiones${\displaystyle \arctan(y/x)}$Debe implementarse mediante una llamada a atan2 ( y , x ). La singularidad del polo en longitud es evidente, ya que atan2 (0,0) no está definido. Cabe destacar que las ecuaciones son exactas tanto para el modelo de Tierra esférica como para el elipsoidal.

El cálculo de la distancia geodésica entre dos posiciones horizontales (suponiendo una Tierra esférica) se realiza habitualmente mediante latitud y longitud. Existen tres expresiones comunes para esta distancia: la primera se basa en arccos , la segunda en arcsin y la última en arctan . Estas expresiones, cada vez más complejas para evitar inestabilidades numéricas , no son fáciles de encontrar y, dado que se basan en latitud y longitud, las singularidades polares pueden representar un problema. Además, contienen deltas de latitud y longitud, que en general deben usarse con precaución cerca del meridiano de ±180° y los polos.

Resolver el mismo problema usando n -vectores es más sencillo debido a la posibilidad de usar álgebra vectorial . La expresión arccos se obtiene a partir del producto escalar , mientras que la magnitud del producto vectorial da la expresión arcsin. Combinando ambas se obtiene la expresión arctan: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta \sigma =\arccos \left(\mathbf {n} _{a}\cdot \mathbf {n} _{b}\right)\\&\Delta \sigma =\arcsin \left(\left|\mathbf {n} _{a}\times \mathbf {n} _{b}\right|\right)\\&\Delta \sigma =\arctan \left({\frac {\left|\mathbf {n} _{a}\times \mathbf {n} _{b}\right|}{\mathbf {n} _{a}\cdot \mathbf {n} _{b}}}\right)\\\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \mathbf {n} _ {a}}$y${\displaystyle \mathbf {n} _ {b}}$son los n -vectores que representan las dos posiciones a y b .${\displaystyle \Delta \sigma }$es la diferencia angular, y por lo tanto la distancia del círculo máximo se obtiene multiplicándola por el radio terrestre. Esta expresión también funciona en los polos y en el meridiano de ±180°.

El vector n también es muy adecuado para cálculos comunes como:

• Posición interpolada
• Posición media/central (punto medio de múltiples posiciones)
• Posición promedio ponderada (por ejemplo, de puntos de datos geográficos)
• Intersección de dos caminos
• Distancia transversal (error transversal)
• A lo largo de la distancia del sendero
• distancia euclidiana
• Posición triangulada
• Posición absoluta más posición delta (la posición delta puede ser acimut y distancia).
• Diferencia entre posiciones absolutas
• Los problemas geodésicos primero y segundo (directo/inverso)
• Encuentra direcciones hacia el norte y el este.
• Encuentra las componentes horizontales y verticales de un vector.

Las ecuaciones y el código para estos cálculos se pueden encontrar en los enlaces externos que aparecen a continuación o en la referencia ^{[ 1 ]} . Los cálculos funcionarán igual de bien a largas distancias y para cualquier posición global.

• Rutas de la sección terrestre
• Representación de la posición horizontal
• Latitud
• Longitud
• Sistema de coordenadas universal transversa de Mercator
• Cuaternio

• Resolver 10 problemas mediante el vector n
• Bibliotecas de n -vectores en GitHub en Python, C++, Java, C# y la mayoría de los demás lenguajes.