Historia de la mecánica cuántica

A partir de 1670 y durante tres décadas, Isaac Newton desarrolló y defendió su teoría corpuscular , argumentando que las líneas de reflexión perfectamente rectas demostraban la naturaleza corpuscular de la luz, ya que en ese momento ninguna teoría ondulatoria demostraba el viaje en línea recta. ^{[ 1 ] : 19} Explicó la refracción postulando que las partículas de luz se aceleraban lateralmente al entrar en un medio más denso.

Casi al mismo tiempo, los contemporáneos de Newton, Robert Hooke y Christiaan Huygens , y más tarde Augustin-Jean Fresnel , refinaron matemáticamente la perspectiva ondulatoria, demostrando que si la luz viajaba a diferentes velocidades en diferentes medios, la refracción podía explicarse fácilmente como la propagación de ondas luminosas dependiente del medio. El principio de Huygens-Fresnel resultante tuvo un éxito extraordinario al reproducir el comportamiento de la luz y fue coherente con el descubrimiento de Thomas Young sobre la interferencia de ondas de luz mediante su experimento de doble rendija en 1801. ^{[ 5 ]} La visión ondulatoria no desplazó inmediatamente la visión de rayos y partículas, pero comenzó a dominar el pensamiento científico sobre la luz a mediados del siglo XIX, ya que podía explicar fenómenos de polarización que las alternativas no podían. ^{[ 6 ]}

James Clerk Maxwell descubrió que podía aplicar sus ecuaciones previamente descubiertas , con una ligera modificación, para describir ondas autopropagantes de campos eléctricos y magnéticos oscilantes. Pronto se hizo evidente que la luz visible, la luz ultravioleta y la luz infrarroja eran ondas electromagnéticas de distinta frecuencia. ^{[ 1 ] : 272} Esta teoría se convirtió en un ingrediente fundamental en los inicios de la mecánica cuántica.

A principios del siglo XIX, las investigaciones químicas de John Dalton y Amedeo Avogadro reforzaron la teoría atómica de la materia, idea que James Clerk Maxwell , Ludwig Boltzmann y otros desarrollaron para establecer la teoría cinética de los gases . Los éxitos de la teoría cinética dieron mayor credibilidad a la idea de que la materia está compuesta de átomos; sin embargo, la teoría también presentaba deficiencias que solo se resolverían con el desarrollo de la mecánica cuántica. ^{[ 7 ]} La existencia de átomos no era universalmente aceptada entre físicos y químicos; Ernst Mach , por ejemplo, era un acérrimo antiatomista. ^{[ 8 ]}

Los primeros indicios de problemas en la mecánica clásica se plantearon en relación con la dependencia de la temperatura de las propiedades de los gases. ^{[ 9 ]} Ludwig Boltzmann sugirió en 1877 que los niveles de energía de un sistema físico, como una molécula , podrían ser discretos (en lugar de continuos). La justificación de Boltzmann para la presencia de niveles de energía discretos en moléculas como las del gas yodo tuvo su origen en sus teorías de termodinámica estadística y mecánica estadística y fue respaldada por argumentos matemáticos , como sucedería también veinte años después con la primera teoría cuántica propuesta por Max Planck .

En los últimos días del siglo XIX, J.J. Thomson estableció que los electrones poseen una carga negativa opuesta pero igual a la de un ion de hidrógeno, aunque con una masa más de mil veces menor. Se sabía que muchos de estos electrones estaban asociados a cada átomo. ^{[ 1 ] : 365} En 1904, Thomson propuso el primer modelo atómico con constituyentes subatómicos, utilizando electrones circulantes en un fondo de carga positiva, el llamado modelo del pudín de pasas . ^{[ 10 ]} Los conceptos de Thomson fueron respaldados por los primeros experimentos de dispersión de partículas beta, pero en 1911 Hans Geiger y su estudiante Ernest Marsden demostraron la retrodispersión de partículas alfa , lo que Ernest Rutherford interpretó como evidencia convincente de que la carga positiva se concentraba en un pequeño volumen que ahora llamamos núcleo . ^{[ 11 ]}

A lo largo del siglo XIX, numerosos estudios investigaron los detalles del espectro de intensidad en función de la frecuencia de la luz emitida por llamas, por el Sol o por objetos al rojo vivo. ^{[ 1 ] : 367} La fórmula de Rydberg resumía eficazmente las líneas oscuras observadas en el espectro, pero Rydberg no proporcionó ningún modelo físico para explicarlas. El espectro emitido por objetos al rojo vivo podía explicarse en longitudes de onda altas o bajas, pero las dos teorías diferían.

La radiación térmica es la radiación electromagnética que emite la superficie de un objeto debido a su energía interna. Si un objeto se calienta lo suficiente, comienza a emitir luz en el extremo rojo del espectro visible , al ponerse al rojo vivo . Un calentamiento posterior provoca que su color cambie de rojo a amarillo, blanco y azul, a medida que emite luz en longitudes de onda cada vez más cortas (frecuencias más altas).

Un emisor perfecto es también un absorbente perfecto: cuando está frío, dicho objeto se ve completamente negro, porque absorbe toda la luz que incide sobre él y no emite ninguna. Por consiguiente, un emisor térmico ideal se conoce como cuerpo negro , y la radiación que emite se denomina radiación de cuerpo negro .

A finales del siglo XIX, la radiación térmica ya se había caracterizado experimentalmente con bastante precisión. Se habían desarrollado varias fórmulas que describían ciertas mediciones experimentales de la radiación térmica. La ley de desplazamiento de Wien establece la relación entre la temperatura y la longitud de onda en la que la radiación es más intensa, mientras que la ley de Stefan-Boltzmann describe la potencia total emitida por unidad de área. La mejor explicación teórica de los resultados experimentales era la ley de Rayleigh-Jeans , que, como se muestra en la figura, concuerda bien con los resultados experimentales en longitudes de onda grandes (o, equivalentemente, bajas frecuencias), pero discrepa notablemente en longitudes de onda cortas (o altas frecuencias). De hecho, en longitudes de onda cortas, la física clásica predecía que un cuerpo caliente emitiría energía a un ritmo infinito. Este resultado, claramente erróneo, se conoce como la catástrofe ultravioleta . Los físicos buscaban una teoría única que explicara todos los resultados experimentales.

El primer modelo capaz de explicar el espectro completo de la radiación térmica fue propuesto por Max Planck en 1900. ^{[ 12 ]} Propuso un modelo matemático en el que la radiación térmica estaba en equilibrio con un conjunto de osciladores armónicos . Para reproducir los resultados experimentales, tuvo que suponer que cada oscilador emitía un número entero de unidades de energía a su frecuencia característica única, en lugar de poder emitir cualquier cantidad arbitraria de energía. En otras palabras, la energía emitida por un oscilador estaba cuantizada . Según Planck, el cuanto de energía E de un cuanto de luz es proporcional a su frecuencia ν . Como ecuación se escribe: $${\displaystyle E=h\nu .}$$ Esto se conoce ahora como la relación de Planck y la constante de proporcionalidad, h , como la constante de Planck .

La ley de Planck fue la primera teoría cuántica en física, y Planck ganó el Premio Nobel de Física de 1918 "en reconocimiento a los servicios que prestó al avance de la física mediante su descubrimiento de los cuantos de energía". ^{[ 13 ]} Sin embargo, en aquel momento, Planck opinaba que la cuantización era simplemente una construcción matemática heurística , en lugar de (como se cree ahora) un cambio fundamental en nuestra comprensión del mundo. ^{[ 14 ]}

En 1887, Heinrich Hertz observó que cuando la luz con suficiente frecuencia incide sobre una superficie metálica, esta emite rayos catódicos . ^{[ 1 ] : I:362} Diez años después, J.J. Thomson demostró que los numerosos informes sobre rayos catódicos eran en realidad "corpúsculos" y rápidamente se les empezó a llamar electrones . En 1902, Philipp Lenard descubrió que la energía máxima posible de un electrón eyectado no guarda relación con la intensidad de la luz monocromática. ^{[ 15 ]} Esta observación contradice el electromagnetismo clásico, que predice que la energía del electrón debería ser proporcional a la intensidad de la radiación incidente. ^{[ 16 ] : 24}

En 1905, Albert Einstein sugirió que, si bien los modelos continuos de luz funcionaban extraordinariamente bien para los fenómenos ópticos promediados en el tiempo, para las transiciones instantáneas la energía de la luz puede constar de un número finito de cuantos de energía.

En la sección introductoria de su artículo de marzo de 1905, "Sobre un punto de vista heurístico relativo a la emisión y transformación de la luz", Einstein afirma:

Según la suposición que se contempla aquí, cuando un rayo de luz se propaga desde un punto, la energía no se distribuye de forma continua en espacios cada vez mayores, sino que consiste en un número finito de "cuantos de energía" que se localizan en puntos del espacio, se mueven sin dividirse y solo pueden ser absorbidos o generados como un todo. ^{[ 17 ]}

Esta ha sido llamada la frase más "revolucionaria" escrita por un físico del siglo XX, lo que significa que propuso una idea que alteró el pensamiento convencional. ^{[ 18 ] : 143} La energía de un solo cuanto de luz de frecuencia${\displaystyle f}$viene dada por la frecuencia multiplicada por la constante de Planck.${\displaystyle h}$:

${\displaystyle E=hf}$

Einstein supuso que un cuanto de luz transfiere toda su energía a un solo electrón, impartiéndole como máximo una energía hf . Por lo tanto, solo la frecuencia de la luz determina la energía máxima que se puede impartir al electrón; la intensidad de la fotoemisión es proporcional a la intensidad del haz de luz. ^{[ 17 ]}

Einstein argumentó que se requiere una cierta cantidad de energía, denominada función de trabajo y denotada por φ , para extraer un electrón del metal. ^{[ 19 ]} Esta cantidad de energía es diferente para cada metal. Si la energía de los cuantos de luz es menor que la función de trabajo, entonces no transporta la energía suficiente para extraer el electrón del metal. La frecuencia umbral, f ₀ , es la frecuencia de un cuanto de luz cuya energía es igual a la función de trabajo:

${\displaystyle \varphi =hf_{0}.}$

Si f es mayor que f ₀ , la energía hf es suficiente para extraer un electrón. El electrón eyectado tiene una energía cinética , E _k , que es, como máximo, igual a la energía de la luz menos la energía necesaria para desprender el electrón del metal:

${\displaystyle E_{\text{k}}=hf-\varphi =h(f-f_{0}).}$

La descripción que hizo Einstein de la luz como compuesta de cuantos de energía extendió la noción de energía cuantizada de Planck, según la cual un solo cuanto de una frecuencia dada, f , entrega una cantidad invariable de energía, hf . Einstein recibió el Premio Nobel de Física de 1921 "por sus servicios a la física teórica, y especialmente por su descubrimiento de la ley del efecto fotoeléctrico". ^{[ 20 ]}

En la naturaleza, los cuantos individuales son poco frecuentes. El Sol y las fuentes de emisión disponibles en el siglo XIX emiten una enorme cantidad de energía cada segundo. La constante de Planck , h , es tan pequeña que la cantidad de energía en cada cuanto, hf, es muy pequeña. La luz que vemos incluye muchos billones de estos cuantos. La demostración de Arthur Compton sobre la dispersión de la luz por electrones convenció a los físicos de la realidad de los fotones. ^{[ 21 ]} Compton ganó el Premio Nobel de Física de 1927 por su descubrimiento. ^{[ 22 ]} El término " fotón " fue introducido en 1926 por Gilbert N. Lewis . ^{[ 23 ]}

El descubrimiento del núcleo atómico por Ernest Rutherford en 1911 no provocó de inmediato una revisión de los modelos atómicos. Durante muchos años se habían propuesto modelos mecánicos con electrones circulantes, pero se sabía que eran inestables. ^{[ 11 ]}

Un segundo enigma relacionado era el espectro de emisión de los átomos. Cuando un gas se calienta, emite luz solo en frecuencias discretas. Por ejemplo, la luz visible emitida por el hidrógeno consta de cuatro colores diferentes, como se muestra en la imagen inferior. La intensidad de la luz en las distintas frecuencias también es diferente. En cambio, la luz blanca consiste en una emisión continua en todo el rango de frecuencias visibles. A finales del siglo XIX, una regla sencilla conocida como la fórmula de Balmer mostraba cómo se relacionaban entre sí las frecuencias de las diferentes líneas, aunque sin explicar el porqué de esta relación ni predecir las intensidades. La fórmula también predecía algunas líneas espectrales adicionales en la luz ultravioleta e infrarroja que no se habían observado hasta entonces. Estas líneas se observaron experimentalmente más tarde, lo que aumentó la confianza en la validez de la fórmula.

Espectro de emisión del hidrógeno . Cuando se excita, el gas hidrógeno emite luz en cuatro colores distintos (líneas espectrales) en el espectro visible, así como varias líneas en el infrarrojo y el ultravioleta.

En 1913, HM Hansen le preguntó a Niels Bohr sobre la fórmula de Balmer. Bohr recordó que «En cuanto vi la fórmula de Balmer, todo me quedó claro de inmediato». ^{[ 25 ]} En «Sobre la constitución de los átomos y las moléculas», propuso un nuevo modelo del átomo que incluía órbitas electrónicas cuantizadas. En el modelo de Bohr, el átomo de hidrógeno se representa como un núcleo pesado y con carga positiva orbitado por un electrón ligero y con carga negativa. El electrón solo puede existir en ciertas órbitas discretamente separadas, etiquetadas por su momento angular , que está restringido a ser un múltiplo entero de la constante de Planck reducida . ^{[ 26 ]} El electrón se mueve a una órbita superior o inferior absorbiendo o emitiendo un fotón de frecuencia correspondiente.

Estas órbitas tenían valores fijos o cuantizados de momento angular, un concepto propuesto por John William Nicholson en un modelo de átomo nuclear y adoptado por Bohr en su modelo. ^{[ 27 ] : 169} Cuando un átomo emitía (o absorbía) energía, el electrón no se movía en una trayectoria continua de una órbita alrededor del núcleo a otra, como cabría esperar clásicamente. En cambio, el electrón saltaba instantáneamente de una órbita a otra, emitiendo la luz en forma de fotón. ^{[ 28 ]} Las posibles energías de los fotones emitidos por cada elemento estaban determinadas por las diferencias de energía entre las órbitas, por lo que el espectro de emisión de cada elemento contenía varias líneas. ^{[ 29 ]}

El éxito clave del modelo radicó en explicar la fórmula de Rydberg para las líneas de emisión espectral del hidrógeno atómico mediante las transiciones de electrones entre órbitas. ^{[ 30 ] : 276} Si bien la fórmula de Rydberg se conocía experimentalmente, no obtuvo una base teórica hasta la introducción del modelo de Bohr. Este modelo no solo explicó las razones de la estructura de la fórmula de Rydberg, sino que también justificó las constantes físicas fundamentales que conforman los resultados empíricos de la fórmula.

Partiendo de una simple suposición sobre la regla que deben seguir las órbitas, el modelo de Bohr logró relacionar las líneas espectrales observadas en el espectro de emisión del hidrógeno con constantes previamente conocidas. En el modelo de Bohr, el electrón no podía emitir energía continuamente ni colisionar con el núcleo: una vez que se encontraba en la órbita permitida más cercana, permanecía estable para siempre. El modelo de Bohr no explicaba por qué las órbitas debían estar cuantizadas de esa manera, ni era capaz de realizar predicciones precisas para átomos con más de un electrón, ni de explicar por qué algunas líneas espectrales son más brillantes que otras.

Pronto se demostró que algunos supuestos fundamentales del modelo de Bohr eran erróneos, pero el resultado clave de que las líneas discretas en los espectros de emisión se deben a alguna propiedad cuantizada de los electrones en los átomos es correcto. El comportamiento real de los electrones difiere notablemente del átomo de Bohr y de lo que observamos en nuestra experiencia cotidiana; este modelo cuántico-mecánico moderno del átomo se analiza a continuación .

Además, la aplicación de la teoría cuántica de Planck al electrón permitió a Ștefan Procopiu entre 1911 y 1913, y posteriormente a Niels Bohr en 1913, calcular el momento magnético del electrón , que más tarde se denominó " magnetón "; posteriormente se hicieron posibles cálculos cuánticos similares, pero con valores numéricamente bastante diferentes, tanto para los momentos magnéticos del protón como del neutrón , que son tres órdenes de magnitud menores que el del electrón.

Estas teorías, aunque exitosas, eran estrictamente fenomenológicas : durante este tiempo, no existía una justificación rigurosa para la cuantización , salvo, quizás, la discusión de Henri Poincaré sobre la teoría de Planck en su artículo de 1912 , Sur la théorie des quanta . ^{[ 31 ] [ 32 ]} Se las conoce colectivamente como la antigua teoría cuántica . Bohr recibió el Premio Nobel de Física de 1922 «por sus servicios en la investigación de la estructura de los átomos y de la radiación que emana de ellos». ^{[ 33 ]}

La cuantización del momento angular orbital del electrón, combinada con su momento magnético, sugería que los átomos con momento magnético debían mostrar un comportamiento cuantizado en un campo magnético. En 1922, Otto Stern y Walther Gerlach se propusieron comprobar esta teoría. Calentaron plata en un tubo de vacío equipado con una serie de estrechas rendijas alineadas, creando un haz molecular de átomos de plata. Hicieron pasar este haz a través de un campo magnético no homogéneo . En lugar de un patrón continuo de átomos de plata, encontraron dos grupos. ^{[ 34 ]}

En mecánica clásica, un imán lanzado a través de un campo magnético, orientado hacia arriba, abajo o en cualquier punto intermedio, puede desviarse una distancia pequeña o grande hacia arriba o hacia abajo. Los átomos que Stern y Gerlach lanzaron a través del campo magnético se comportaron de manera similar. Sin embargo, mientras que los imanes podían desviarse a distancias variables, los átomos siempre se desviaban una distancia constante, ya fuera hacia arriba o hacia abajo. Esto implicaba que la propiedad del átomo que corresponde a la orientación del imán debía estar cuantizada, tomando uno de dos valores (arriba o abajo), en lugar de poder elegirse libremente desde cualquier ángulo.

La orientación del campo magnético en el experimento de Stern-Gerlach es arbitraria. En la animación que se muestra, el campo es vertical, por lo que los átomos se desvían hacia arriba o hacia abajo. Si se gira el imán un cuarto de vuelta, los átomos se desvían hacia la izquierda o hacia la derecha. El uso de un campo vertical demuestra que el espín a lo largo del eje vertical está cuantizado, y el uso de un campo horizontal demuestra que el espín a lo largo del eje horizontal está cuantizado.

Los resultados del experimento de Stern-Gerlach causaron sensación, sobre todo porque destacados científicos, entre ellos Einstein y Paul Ehrenfest, argumentaron que los átomos de plata deberían tener orientaciones aleatorias en las condiciones del experimento: la cuantización no debería haber sido observable. ^{[ 34 ]} Pasarían al menos cinco años antes de que se resolviera este misterio: se observó cuantización, pero no se debía al momento angular orbital. Según el principio de exclusión de Wolfgang Pauli , solo dos electrones pueden ocupar el mismo estado cuántico al mismo tiempo, y sus espines deben ser opuestos. Pauli recibió el Premio Nobel de Física de 1945 por su "contribución decisiva mediante el descubrimiento de una nueva ley de la naturaleza, el principio de exclusión o principio de Pauli". ^{[ 35 ]}

En 1925, Ralph Kronig propuso que los electrones se comportan como si giraran sobre sí mismos, o "espiraran", alrededor de un eje. ^{[ 36 ] : 56} El espín generaría un pequeño momento magnético que dividiría los niveles de energía responsables de las líneas espectrales, en concordancia con las mediciones existentes. Dos electrones en el mismo orbital ocuparían estados cuánticos distintos si "espiraran" en direcciones opuestas, satisfaciendo así el principio de exclusión. Desafortunadamente, la teoría tenía dos fallas significativas: dos valores calculados por Kronig estaban desviados por un factor de dos. Los colegas más altos de Kronig desalentaron su trabajo y este nunca se publicó.

Diez meses después, los físicos holandeses George Uhlenbeck y Samuel Goudsmit, de la Universidad de Leiden, publicaron su teoría de la autorrotación del electrón. ^{[ 37 ]} El modelo, al igual que el de Kronig, era esencialmente clásico, pero dio como resultado una predicción cuántica.

En 1924, Louis de Broglie publicó una hipótesis revolucionaria: la materia tiene propiedades ondulatorias . Partiendo de la propuesta de Einstein de que el efecto fotoeléctrico puede describirse mediante transferencias de energía cuantizadas y de la propuesta separada de Einstein, de la relatividad especial, de que la masa en reposo es equivalente a la energía mediante${\displaystyle E=m_{0}c^{2}}$De Broglie propuso que la materia en movimiento parece tener una onda asociada con una longitud de onda${\displaystyle \lambda =h/p}$dónde${\displaystyle p}$es el momento de la materia debido al movimiento. ^{[ 38 ] [ 39 ]} Al requerir que su longitud de onda rodeara un átomo, explicó la cuantización de las órbitas de Bohr. ^{[ 1 ] : 217} Simultáneamente, esto demostró que el comportamiento ondulatorio de la luz era esencialmente un efecto cuántico. ^{[ 1 ] : 216}

De Broglie amplió el modelo atómico de Bohr al demostrar que un electrón en órbita alrededor de un núcleo podía considerarse que tenía propiedades ondulatorias. En particular, un electrón solo se observa en situaciones que permiten una onda estacionaria alrededor de un núcleo . Un ejemplo de onda estacionaria es una cuerda de violín, que está fija en ambos extremos y puede hacerse vibrar. Las ondas creadas por un instrumento de cuerda parecen oscilar en el mismo lugar, moviéndose de cresta a valle en un movimiento de arriba abajo. La longitud de onda de una onda estacionaria está relacionada con la longitud del objeto vibrante y las condiciones de contorno. Por ejemplo, debido a que la cuerda del violín está fija en ambos extremos, puede transportar ondas estacionarias de longitudes de onda${\textstyle {\frac {2l}{n}}}$donde l es la longitud y n es un número entero positivo.

De Broglie sugirió que las órbitas electrónicas permitidas eran aquellas cuya circunferencia era un número entero de longitudes de onda. Por lo tanto, la longitud de onda del electrón determina que solo son posibles órbitas de Bohr a ciertas distancias del núcleo. A su vez, a cualquier distancia del núcleo menor que un valor determinado, sería imposible establecer una órbita. La distancia mínima posible al núcleo se denomina radio de Bohr. ^{[ 40 ]} El tratamiento del átomo de Bohr por parte de De Broglie no tuvo éxito, pero su hipótesis sirvió como punto de partida para la ecuación de onda de Schrödinger.

El comportamiento de la materia como una onda se demostró experimentalmente por primera vez: un haz de electrones puede exhibir difracción , al igual que un haz de luz o una onda de agua. Tres años después de que de Broglie publicara su hipótesis, dos grupos diferentes demostraron la difracción de electrones. En la Universidad de Aberdeen , George Paget Thomson y Alexander Reid hicieron pasar un haz de electrones a través de una película delgada de celuloide, luego de películas metálicas, y observaron los patrones de interferencia predichos. (Alexander Reid, quien fue estudiante de posgrado de Thomson, realizó los primeros experimentos, pero murió poco después en un accidente de motocicleta ^{[ 41 ]} y rara vez se le menciona). En Bell Labs , Clinton Joseph Davisson y Lester Halbert Germer reflejaron un haz de electrones de una muestra de níquel en su experimento, observando haces bien definidos predichos por modelos de ondas que regresaban del cristal. ^{[ 1 ] : II:218} De Broglie recibió el Premio Nobel de Física en 1929 por su hipótesis; ^{[ 42 ]} Thomson y Davisson compartieron el Premio Nobel de Física en 1937 por su trabajo experimental. ^{[ 43 ]}

En 1925, Werner Heisenberg intentó resolver uno de los problemas que el modelo de Bohr dejó sin respuesta: explicar las intensidades de las diferentes líneas en el espectro de emisión del hidrógeno. Mediante una serie de analogías matemáticas, escribió el análogo cuántico-mecánico para el cálculo clásico de intensidades. ^{[ 49 ]} Poco después, el colega de Heisenberg, Max Born, se dio cuenta de que el método de Heisenberg para calcular las probabilidades de transiciones entre los diferentes niveles de energía se podía expresar mejor utilizando el concepto matemático de matrices .

Heisenberg formuló una versión temprana del principio de incertidumbre en 1927, analizando un experimento mental en el que se intenta medir simultáneamente la posición y el momento de un electrón . Sin embargo, Heisenberg no dio definiciones matemáticas precisas de lo que significaba la "incertidumbre" en estas mediciones, un paso que darían poco después Earle Hesse Kennard , Wolfgang Pauli y Hermann Weyl . ^{[ 50 ] [ 51 ]}

En la primera mitad de 1926, basándose en la hipótesis de De Broglie, Erwin Schrödinger desarrolló la ecuación que describe el comportamiento de una onda cuántica. ^{[ 52 ]} El modelo matemático, llamado ecuación de Schrödinger en honor a su creador, es fundamental para la mecánica cuántica, define los estados estacionarios permitidos de un sistema cuántico y describe cómo cambia el estado cuántico de un sistema físico en el tiempo. ^{[ 53 ]} La onda en sí se describe mediante una función matemática conocida como " función de onda ". Schrödinger afirmó que la función de onda proporciona los "medios para predecir la probabilidad de los resultados de las mediciones". ^{[ 54 ]}

Schrödinger logró calcular los niveles de energía del hidrógeno al tratar el electrón de un átomo de hidrógeno como una onda clásica que se mueve en un pozo de potencial eléctrico creado por el protón. Este cálculo reprodujo con precisión los niveles de energía del modelo de Bohr.

En mayo de 1926, Schrödinger demostró que la mecánica matricial de Heisenberg y su propia mecánica ondulatoria hacían las mismas predicciones sobre las propiedades y el comportamiento del electrón; matemáticamente, ambas teorías tenían una forma común subyacente. Sin embargo, los dos hombres discreparon en la interpretación de su teoría común. Por ejemplo, Heisenberg aceptó la predicción teórica de los saltos de electrones entre orbitales en un átomo, ^{[ 55 ]} pero Schrödinger esperaba que una teoría basada en propiedades ondulatorias continuas pudiera evitar lo que él llamó (parafraseando a Wilhelm Wien ) "esta tontería de los saltos cuánticos". ^{[ 56 ]} Al final, el enfoque de Heisenberg prevaleció y se confirmaron los saltos cuánticos. ^{[ 57 ]}

El modelo atómico de Bohr era esencialmente planetario, con los electrones orbitando alrededor del núcleo atómico. Sin embargo, el principio de incertidumbre establece que un electrón no puede tener simultáneamente una ubicación y velocidad exactas, como sí ocurre con un planeta. En lugar de órbitas clásicas, se dice que los electrones habitan orbitales atómicos .

Un orbital es la "nube" de posibles ubicaciones en las que podría encontrarse un electrón, una distribución de probabilidades más que una ubicación precisa. ^{[ 58 ]} Cada orbital es tridimensional, en lugar de la órbita bidimensional, y a menudo se representa como una región tridimensional dentro de la cual existe una probabilidad del 95 por ciento de encontrar el electrón. ^{[ 59 ]}

Schrödinger logró calcular los niveles de energía del hidrógeno al tratar el electrón de un átomo de hidrógeno como una onda, representada por la función de onda Ψ , en un pozo de potencial eléctrico V , creado por el protón. Las soluciones a la ecuación de Schrödinger son distribuciones de probabilidad para las posiciones y ubicaciones de los electrones. Los orbitales presentan diversas formas en tres dimensiones. Las energías de los diferentes orbitales pueden calcularse y coinciden con precisión con los niveles de energía del modelo de Bohr.

En el modelo de Schrödinger, cada electrón tiene cuatro propiedades:

1. Una designación "orbital" que indica si la partícula-onda es una que está más cerca del núcleo con menos energía o una que está más lejos del núcleo con más energía;
2. La "forma" de la órbita, esférica o de otro tipo;
3. La "inclinación" de la órbita, que determina el momento magnético de la órbita alrededor del eje z .
4. El "espín" del electrón.

El nombre colectivo para estas propiedades es el estado cuántico del electrón. El estado cuántico se puede describir asignando un número a cada una de estas propiedades; estos se conocen como los números cuánticos del electrón . El estado cuántico del electrón se describe mediante su función de onda. El principio de exclusión de Pauli exige que dos electrones dentro de un átomo no puedan tener los mismos valores para los cuatro números cuánticos.

La primera propiedad que describe el orbital es el número cuántico principal , n , que es el mismo que en el modelo de Bohr. n denota el nivel de energía de cada orbital. Los posibles valores para n son números enteros:

${\displaystyle n=1,2,3\ldots }$

El siguiente número cuántico, el número cuántico azimutal , denotado por l , describe la forma del orbital. Esta forma es consecuencia del momento angular del orbital. El momento angular representa la resistencia de un objeto en rotación a acelerarse o desacelerarse bajo la influencia de una fuerza externa. El número cuántico azimutal representa el momento angular orbital de un electrón alrededor de su núcleo. Los posibles valores de l son enteros de 0 a n − 1 (donde n es el número cuántico principal del electrón):

${\displaystyle l=0,1,\ldots ,n-1.}$

La forma de cada orbital se suele indicar con una letra, en lugar de con su número cuántico azimutal. La primera forma ( l = 0) se denota con la letra s (un acrónimo es " esfera "). La siguiente forma se denota con la letra p y tiene forma de mancuerna. Los demás orbitales tienen formas más complejas (véase orbital atómico ) y se denotan con las letras d , f , g , etc.

El tercer número cuántico, el número cuántico magnético , describe el momento magnético del electrón y se denota por m _l (o simplemente m ). Los posibles valores para m _l son enteros desde − l hasta l (donde l es el número cuántico azimutal del electrón):

${\displaystyle m_{l}=-l,-(l-1),\ldots ,0,\ldots ,(l-1),l.}$

El número cuántico magnético mide la componente del momento angular en una dirección determinada. La elección de la dirección es arbitraria; convencionalmente se elige la dirección z.

El cuarto número cuántico, el número cuántico de espín (relativo a la "orientación" del espín del electrón) se denota m _s , con valores + 1 ⁄ 2 o − 1 ⁄ 2 .

El químico Linus Pauling escribió, a modo de ejemplo:

En el caso de un átomo de helio con dos electrones en el orbital 1s , el principio de exclusión de Pauli exige que los dos electrones difieran en el valor de un número cuántico. Sus valores de n , l y m _l son iguales. Por consiguiente , deben diferir en el valor de m s _, que puede tener el valor de + 1/2 para un electrón y − 1/2 para el otro." ^{[ 58 ]}

La estructura y simetría subyacentes de los orbitales atómicos, así como la forma en que los electrones los llenan, son los factores que dan lugar a la organización de la tabla periódica . La manera en que los orbitales atómicos de diferentes átomos se combinan para formar orbitales moleculares determina la estructura y la fuerza de los enlaces químicos entre los átomos.

El campo de la química cuántica fue impulsado por los físicos Walter Heitler y Fritz London , quienes publicaron un estudio sobre el enlace covalente de la molécula de hidrógeno en 1927. Posteriormente, la química cuántica fue desarrollada por un gran número de investigadores, entre ellos el químico teórico estadounidense Linus Pauling en Caltech y John C. Slater , dando lugar a diversas teorías como la Teoría de los Orbitales Moleculares o la Teoría de la Valencia.

Hacia 1927, Paul Dirac inició el proceso de unificación de la mecánica cuántica con la relatividad especial al proponer la ecuación de Dirac para el electrón. Esta ecuación proporciona la descripción relativista de la función de onda del electrón, algo que Schrödinger no logró. Predice el espín del electrón y llevó a Dirac a predecir la existencia del positrón . También fue pionero en el uso de la teoría de operadores, incluyendo la influyente notación bra-ket , tal como se describe en su famoso libro de texto de 1930.

Durante ese mismo período, el polímata húngaro John von Neumann formuló una base matemática para la mecánica cuántica como la teoría de operadores lineales en espacios de Hilbert, tal como se describe en su libro de texto Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica . Estos, al igual que muchos otros trabajos de la época fundacional, siguen vigentes y se utilizan ampliamente.

Bohr, Heisenberg y otros intentaron explicar qué significan realmente estos resultados experimentales y modelos matemáticos. El término interpretación de Copenhague se ha aplicado retrospectivamente a sus puntos de vista, pasando por alto las diferencias entre ellos. ^{[ 60 ] [ 61 ] [ 62 ] [ 63 ] [ 64 ] [ 65 ]} Si bien no existe una formulación definitiva de "la" interpretación de Copenhague, las siguientes ideas se consideran ampliamente características de la misma.

1. Un sistema se describe completamente mediante un estado cuántico (Heisenberg).
2. La forma en que el estado cuántico cambia con el tiempo viene dada por una ecuación de onda; la ecuación de Schrödinger confiere características ondulatorias a la luz y a la materia.
3. Las interacciones atómicas son discontinuas (Planck se refería a un " cuanto de acción ").
4. La descripción de la naturaleza es esencialmente probabilística. La probabilidad de un evento —por ejemplo, la aparición de una partícula en la pantalla durante el experimento de la doble rendija— está relacionada con el cuadrado del valor absoluto de la amplitud de su función de onda. ( Regla de Born , debida a Max Born , que otorga un significado físico a la función de onda en la interpretación de Copenhague: la amplitud de probabilidad ).
5. Los valores de pares de propiedades incompatibles del sistema no pueden conocerse simultáneamente. ( Principio de incertidumbre de Heisenberg )
6. La materia, al igual que la luz, presenta una dualidad onda-partícula. Un experimento puede demostrar las propiedades corpusculares de la materia o sus propiedades ondulatorias, pero no ambas simultáneamente. ( Principio de complementariedad debido a Bohr ^{[ 66 ]} )
7. Los dispositivos de medición son esencialmente dispositivos clásicos y miden propiedades clásicas como la posición y el momento.
8. La descripción cuántica de sistemas grandes debería aproximarse mucho a la descripción clásica. ( Principio de correspondencia de Bohr y Heisenberg)