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Versine

El versino o seno versado es una función trigonométrica que se encuentra en algunas de las tablas trigonométricas más antiguas ( Aryabhatiya sánscrito , [ 1 ] Sección I) . El ve...

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El versino o seno versado es una función trigonométrica que se encuentra en algunas de las tablas trigonométricas más antiguas ( Aryabhatiya sánscrito , [ 1 ] Sección I) . El versino de un ángulo es 1 menos su coseno .

Existen varias funciones relacionadas, entre las que destacan el coversine y el haversine . Este último, que equivale a la mitad de un versine, es de particular importancia en la fórmula haversine de navegación.

Un círculo unitario con funciones trigonométricas . [ 2 ]

Descripción general

La versina [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] o seno invertido [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] es una función trigonométrica que ya aparece en algunas de las tablas trigonométricas más antiguas. Se simboliza en fórmulas usando las abreviaturas versin , sinver , [ 13 ] [ 14 ] vers o siv . [ 15 ] [ 16 ] En latín , se conoce como sinus versus (seno invertido), versinus , versus o sagitta (flecha). [ 17 ]

Expresado en términos de las funciones trigonométricas comunes seno, coseno y tangente, el versino es igual a versión⁡θ=1−porque⁡θ=2pecado2⁡θ2=pecado⁡θbroncearse⁡θ2{\displaystyle \operatorname {versin} \theta =1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}=\sin \theta \,\tan {\frac {\theta }{2}}}

Existen varias funciones relacionadas que corresponden a la versina:

También se elaboraron tablas especiales con la mitad del seno versado, debido a su uso particular en la fórmula haversine utilizada históricamente en la navegación .

  • El seno haversed [ 24 ] o haversine ( latín: semiversus ), [ 25 ] [ 26 ] abreviado haversin , semiversin , semiversinus , havers , hav , [ 27 ] [ 28 ] hvs , [ nb 2 ] sem , o hv . [ 29 ] Se define comotener⁡θ=pecado2⁡(θ2)=1−porque⁡θ2{\displaystyle \operatorname {hav} \theta =\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos \theta }{2}}}

Historia y aplicaciones

Versine y coversine

Seno, coseno y versino del ángulo θ en términos de un círculo unitario con radio 1, centrado en O. Esta figura también ilustra la razón por la cual el versino a veces se llamaba sagitta , palabra latina para flecha . [ 17 ] [ 30 ] Si el arco ADB del ángulo doble Δ  = 2 θ se considera un " arco " y la cuerda AB como su "cuerda", entonces el versino CD es claramente el "asiento de la flecha".
Gráficas de funciones trigonométricas históricas comparadas con seno y coseno : en el archivo SVG , coloque el cursor sobre una gráfica o haga clic en ella para resaltarla.

La función seno ordinaria ( véase la nota sobre etimología ) se denominó históricamente en ocasiones seno recto ("seno recto"), para contrastarla con el seno invertido ( sinus versus ). [ 31 ] El significado de estos términos resulta evidente si se observan las funciones en el contexto original de su definición, un círculo unitario :

Para una cuerda vertical AB del círculo unitario, el seno del ángulo θ (que representa la mitad del ángulo subtendido Δ ) es la distancia AC (la mitad de la cuerda). Por otro lado, el seno invertido de θ es la distancia CD desde el centro de la cuerda hasta el centro del arco. Así, la suma de cos( θ ) (igual a la longitud de la línea OC ) y versin( θ ) (igual a la longitud de la línea CD ) es el radio OD (de longitud 1). Ilustrado de esta manera, el seno es vertical ( rectus , literalmente "recto") mientras que el versin es horizontal ( versus , literalmente "opuesto, fuera de lugar"); ambos son distancias desde C hasta el círculo.

Esta figura también ilustra la razón por la cual la versina a veces se llamaba sagitta , palabra latina para flecha . [ 17 ] [ 30 ] Si el arco ADB del ángulo doble Δ  = 2 θ se considera un " arco " y la cuerda AB como su "cuerda", entonces la versina CD es claramente el "asiento de la flecha".

En consonancia con la interpretación del seno como "vertical" y el seno versado como "horizontal", sagita es también un sinónimo obsoleto de la abscisa (el eje horizontal de un gráfico). [ 30 ]

En 1821, Cauchy utilizó los términos seno versus ( siv ) para el versino y coseno versus ( cosiv ) para el coversino. [ 15 ] [ 16 ] [ nb 1 ]

Las funciones trigonométricas se pueden construir geométricamente en términos de un círculo unitario centrado en O.

Cuando θ tiende a cero, versin( θ ) es la diferencia entre dos cantidades casi iguales, por lo que un usuario de una tabla trigonométrica solo para el coseno necesitaría una precisión muy alta para obtener el versin y así evitar una cancelación catastrófica , lo que hace conveniente el uso de tablas separadas para este último. [ 12 ] Incluso con una calculadora o computadora, los errores de redondeo hacen que sea aconsejable usar la fórmula sin 2 para valores pequeños de θ . 

Otra ventaja histórica de la versina es que siempre es no negativa, por lo que su logaritmo está definido en todas partes excepto para el ángulo único ( θ = 0, 2π , ... ) donde es cero ; por lo tanto, se podrían usar tablas de logaritmos para multiplicaciones en fórmulas que involucren versinas.

De hecho, la tabla más antigua que se conserva de valores de seno (semicordia ) (a diferencia de las cuerdas tabuladas por Ptolomeo y otros autores griegos), calculada a partir del Surya Siddhantha de la India que data del siglo III a. C., era una tabla de valores para el seno y el seno invertido (en incrementos de 3,75° desde 0 hasta 90° ). [ 31 ]

La versina aparece como un paso intermedio en la aplicación de la fórmula del semiángulo sin 2 ( ⁠ θ / 2 ⁠ ) = ⁠ 1 / 2 ⁠ versin( θ ) , derivada por Ptolomeo , que se utilizó para construir dichas tablas.

Haversin

El haversino, en particular, era importante en la navegación porque aparece en la fórmula del haversino , que se utiliza para calcular distancias con bastante precisión en un esferoide astronómico (véanse los problemas con el radio de la Tierra frente a la esfera ) dadas posiciones angulares (por ejemplo, longitud y latitud ) . También se podría usar directamente sen² ( θ / 2 ) , pero disponer de una tabla del haversino eliminaba la necesidad de calcular cuadrados y raíces cuadradas. [ 12 ]

Una utilización temprana por parte de José de Mendoza y Ríos de lo que más tarde se llamaría haversines está documentada en 1801. [ 14 ] [ 32 ]

La primera tabla equivalente en inglés conocida a una tabla de haversines fue publicada por James Andrew en 1805, bajo el nombre de "Squares of Natural Semi-Chords". [ 33 ] [ 34 ] [ 17 ]

En 1835, James Inman [ 14 ] [ 36 ] [ 37 ] acuñó el término haversine (notado naturalmente como hav. o logarítmicamente en base 10 como log. haversine o log. havers. ) [ 35 ] en la tercera edición de su obra Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen para simplificar el cálculo de distancias entre dos puntos en la superficie de la Tierra utilizando trigonometría esférica para aplicaciones en navegación. [ 3 ] [ 35 ] Inman también utilizó los términos nat. versine y nat. vers. para versines. [ 3 ]

Otras tablas de haversines muy respetadas fueron las de Richard Farley en 1856 [ 33 ] [ 38 ] y John Caulfield Hannyngton en 1876. [ 33 ] [ 39 ]

La función haversine se sigue utilizando en navegación y ha encontrado nuevas aplicaciones en las últimas décadas, como en el método de Bruce D. Stark para despejar distancias lunares utilizando logaritmos gaussianos desde 1995 [ 40 ] [ 41 ] o en un método más compacto para la reducción de la visibilidad desde 2014. [ 29 ]

Usos modernos

Si bien el uso de la versina, la coversina y la haversina, así como sus funciones inversas, se remonta a siglos atrás, los nombres de las otras cinco cofunciones parecen ser de origen mucho más reciente.

Un período ( 0 < θ < 2π ) de una forma de onda versina o, más comúnmente, haversina, también se usa comúnmente en el procesamiento de señales y la teoría de control como la forma de un pulso o una función de ventana (incluidas las ventanas de Hann , Hann-Poisson y Tukey ), porque se "enciende" suavemente ( continuo en valor y pendiente ) de cero a uno (para haversina) y de vuelta a cero. [ nb 2 ] En estas aplicaciones, se denomina función de Hann o filtro de coseno elevado .

Identidades matemáticas

Definiciones

rotaciones circulares

Las funciones son rotaciones circulares una de la otra. versión⁡(θ)=cubiertas en⁡(θ+π2)=vercosina⁡(θ+π){\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {versin} (\theta )&=\operatorname {coversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\operatorname {vercosin} \left(\theta +\pi \right)\end{aligned}}}

Derivadas e integrales

Funciones inversas

Funciones inversas como arcversina (arcversina, arcvers, [ 8 ] avers, [ 43 ] [ 44 ] aver), arcvercosina (arcvercosina, arcvercos, avercos, avcs), arccoversina (arccoversin, arccovers, [ 8 ] acovers, [ 43 ] [ 44 ] acvs), arccovercosina (arccovercosina, arccovercos, acovercos, acvc), archaversina (archaversin, archav, haversin −1 , [ 45 ] invhav, [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] ahav, [ 43 ] [ 44 ] ahvs, ahv, hav −1 [ 49 ] [ 50 ] ), archavercosina (archavercosina, archavercos, ahvc), También existen la archacoversina (archacoversin, ahcv) o la archacovercosina (archacovercosin, archacovercos, ahcc):

Otras propiedades

Estas funciones pueden extenderse al plano complejo . [ 42 ] [ 19 ] [ 24 ]

Serie de Maclaurin : [ 24 ]versión⁡(z)=∑k=1∞(−1)k−1z2k(2k)¡tener⁡(z)=∑k=1∞(−1)k−1z2k2(2k)¡{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {versin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}\\\operatorname {haversin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}\end{aligned}}}

límiteθ→0versión⁡(θ)θ=0{\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{\theta }}=0}[ 8 ]

versión⁡(θ)+cubiertas en⁡(θ)versión⁡(θ)−cubiertas en⁡(θ)−exsec⁡(θ)+excsc⁡(θ)exsec⁡(θ)−excsc⁡(θ)=2versión⁡(θ)cubiertas en⁡(θ)versión⁡(θ)−cubiertas en⁡(θ)[versión⁡(θ)+exsec⁡(θ)][cubiertas en⁡(θ)+excsc⁡(θ)]=pecado⁡(θ)porque⁡(θ){\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}&={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}\\[3pt][\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {exsec} (\theta )]\,[\operatorname {coversin} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )]&=\sin(\theta )\cos(\theta )\end{aligned}}}[ 8 ]

Aproximaciones

Comparación de la función versina con tres aproximaciones a las funciones versina, para ángulos que van desde 0 hasta 2π .
Comparación de la función versina con tres aproximaciones a las funciones versina, para ángulos que van desde 0 hasta π /2.

Cuando la versina v es pequeña en comparación con el radio r , se puede aproximar a partir de la longitud de la mitad de la cuerda L (la distancia AC mostrada arriba) mediante la fórmula [ 51 ].v≈L22r.{\displaystyle v\approx {\frac {L^{2}}{2r}}.}

Alternativamente, si la versina es pequeña y se conocen la versina, el radio y la longitud de la mitad de la cuerda, se pueden usar para estimar la longitud del arco s ( AD en la figura anterior) mediante la fórmula s≈L+v2r{\displaystyle s\approx L+{\frac {v^{2}}{r}}} Esta fórmula era conocida por el matemático chino Shen Kuo , y dos siglos después Guo Shoujing desarrolló una fórmula más precisa que también involucraba el sagita . [ 52 ]

Una aproximación más precisa utilizada en ingeniería [ 53 ] es v≈s32L128r{\displaystyle v\approx {\frac {s^{\frac {3}{2}}L^{\frac {1}{2}}}{8r}}}

Curvas y cuerdas arbitrarias

El término versina también se usa a veces para describir desviaciones de la rectitud en una curva plana arbitraria, de la cual el círculo anterior es un caso especial. Dada una cuerda entre dos puntos en una curva, la distancia perpendicular v desde la cuerda a la curva (generalmente en el punto medio de la cuerda) se llama medida de versina . Para una línea recta, la versina de cualquier cuerda es cero, por lo que esta medida caracteriza la rectitud de la curva. En el límite cuando la longitud de la cuerda L tiende a cero, la razón ⁠ 8 v / L 2 ⁠ tiende a la curvatura instantánea . Este uso es especialmente común en el transporte ferroviario , donde describe mediciones de la rectitud de las vías férreas [ 54 ] y es la base del método Hallade para el levantamiento de vías férreas .

El término sagita (a menudo abreviado como sag ) se utiliza de forma similar en óptica para describir las superficies de lentes y espejos .

Véase también

Notas

  1. 1 2Algunas fuentes inglesas confunden el coseno versado con el seno cubierto. Históricamente (fe en Cauchy, 1821 ), el seno versus (versino) se definía como siv( θ )  =  1 − cos( θ ) , el coseno versus (lo que ahora también se conoce como seno cubierto) como cosiv( θ )  =  1 − sin( θ ) , y el vercosino como vcs θ  =  1 + cos( θ ) . Sin embargo, en su traducción al inglés de 2009 del trabajo de Cauchy, Bradley y Sandifer asocian el coseno versus (y cosiv) con el coseno versado (lo que ahora también se conoce como vercosino) en lugar del seno cubierto . De manera similar, en su trabajo de 1968/2000, Korn y Korn asocian la función covers( θ ) con el coseno versado en lugar del seno cubierto .
  2. 1 2 La abreviatura hvs que a veces se usa para la función haversine en el procesamiento y filtrado de señales también se usa a veces para la función escalón de Heaviside, que no está relacionada .

Referencias

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Lecturas adicionales