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logaritmo común

Un gráfico del logaritmo común de los números desde 0,1 hasta 100. En matemáticas , el logaritmo común (también conocido como "logaritmo estándar") es el logaritmo en base 10. [...

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El gráfico muestra que el logaritmo en base diez de x se aproxima rápidamente a menos infinito a medida que x se aproxima a cero, pero aumenta gradualmente hasta el valor dos a medida que x se aproxima a cien.
Un gráfico del logaritmo común de los números desde 0,1 hasta 100.

En matemáticas , el logaritmo común (también conocido como "logaritmo estándar") es el logaritmo en base 10. [ 1 ] También se le conoce como logaritmo decádico , logaritmo decimal y logaritmo briggsiano . El nombre "logaritmo briggsiano" honra al matemático británico Henry Briggs , quien concibió y desarrolló los valores del "logaritmo común". Históricamente, el "logaritmo común" se conocía por su nombre en latín , logarithmus decimalis [ 2 ] o logarithmus decadis . [ 3 ]

La notación matemática para usar el logaritmo común es log( x ) , [ 4 ] log 10 ( x ) , [ 5 ] o a veces Log( x ) con L mayúscula ; [ a ] ​​en las calculadoras , se imprime como "log", [ 6 ] pero los matemáticos generalmente se refieren al logaritmo natural (logaritmo con base e ≈ 2,71828) en lugar del logaritmo común cuando escriben "log", ya que el logaritmo natural es – contrariamente a lo que implica el nombre del logaritmo común – el logaritmo más utilizado en matemáticas puras. [ 7 ]

Página de una tabla de logaritmos comunes. Esta página muestra los logaritmos de números del 1000 al 1509 con cinco decimales. La tabla completa abarca valores hasta 9999.

Antes de principios de la década de 1970, las calculadoras electrónicas portátiles no estaban disponibles, y las calculadoras mecánicas capaces de multiplicar eran voluminosas, caras y no estaban ampliamente disponibles. En su lugar, se utilizaban tablas de logaritmos de base 10 en ciencia, ingeniería y navegación, cuando los cálculos requerían mayor precisión que la que se podía lograr con una regla de cálculo . Al convertir la multiplicación y la división en suma y resta, el uso de logaritmos evitaba las laboriosas y propensas a errores multiplicaciones y divisiones con lápiz y papel. [ 1 ] Debido a que los logaritmos eran tan útiles, las tablas de logaritmos de base 10 se incluían en los apéndices de muchos libros de texto. Los manuales de matemáticas y navegación también incluían tablas de los logaritmos de las funciones trigonométricas . [ 8 ] Para la historia de dichas tablas, véase tabla de logaritmos .

Los números se colocan en escalas de regla de cálculo a distancias proporcionales a las diferencias entre sus logaritmos. Al sumar mecánicamente la distancia de 1 a 2 en la escala inferior a la distancia de 1 a 3 en la escala superior, se puede determinar rápidamente que 2 × 3 = 6 .

Mantisa y características

Una propiedad importante de los logaritmos en base 10, que los hace tan útiles en los cálculos, es que el logaritmo de números mayores que 1 que difieren en un factor de potencia de 10 tienen todos la misma parte fraccionaria . La parte fraccionaria se conoce como mantisa . [ b ] Por lo tanto, las tablas de logaritmos solo necesitan mostrar la parte fraccionaria. Las tablas de logaritmos comunes normalmente enumeran la mantisa, con cuatro o cinco decimales o más, de cada número en un rango, por ejemplo, de 1000 a 9999.

La parte entera, llamada característica , se puede calcular simplemente contando cuántas posiciones debe moverse el punto decimal para que quede justo a la derecha del primer dígito significativo. Por ejemplo, el logaritmo de 120 se obtiene mediante el siguiente cálculo:

registro10⁡(120)=registro10⁡(102×1.2)=2+registro10⁡(1.2)≈2+0,07918.{\displaystyle \log _{10}(120)=\log _{10}\left(10^{2}\times 1.2\right)=2+\log _{10}(1.2)\approx 2+0.07918.}

El último número (0,07918), la parte fraccionaria o mantisa del logaritmo común de 120, se puede encontrar en la tabla mostrada. La posición del punto decimal en 120 nos indica que la parte entera del logaritmo común de 120, la característica, es  2.

Aplicando este razonamiento se puede observar queregistro10⁡(120)=2.07918{\displaystyle \log _{10}(120)=2.07918},registro10⁡(12)=1.07918{\displaystyle \log _{10}(12)=1.07918}, yregistro10⁡(1.2)=0,07918.{\displaystyle \log _{10}(1.2)=0.07918.}

logaritmos negativos

Los números positivos menores que 1 tienen logaritmos negativos. Por ejemplo,

registro10⁡(0,012)=registro10⁡(10−2×1.2)=−2+registro10⁡(1.2)≈−2+0,07918=−1.92082.{\displaystyle \log _{10}(0.012)=\log _{10}\left(10^{-2}\times 1.2\right)=-2+\log _{10}(1.2)\approx -2+0.07918=-1.92082.}

Para evitar la necesidad de tablas separadas para convertir logaritmos positivos y negativos de nuevo a sus números originales, se puede expresar un logaritmo negativo como una característica entera negativa más una mantisa positiva. Para facilitar esto, se utiliza una notación especial, llamada notación de barra :

registro10⁡(0,012)≈2¯+0,07918=−1.92082.{\displaystyle \log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}+0.07918=-1.92082.}

La barra sobre la característica indica que es negativa, mientras que la mantisa permanece positiva. Al leer un número en notación de barras en voz alta, el símbolonorte¯{\displaystyle {\bar {n}}}se lee como "bar n ", de modo que2¯0,07918{\displaystyle {\bar {2}}.07918}se lee como "barra 2 punto 07918...". Una convención alternativa es expresar el logaritmo módulo 10, en cuyo caso

registro10⁡(0,012)≈8.07918mod10,{\displaystyle \log _{10}(0.012)\aproximadamente 8.07918{\bmod {1}}0,}

con el valor real del resultado de un cálculo determinado por el conocimiento del rango razonable del resultado. [ c ]

El siguiente ejemplo utiliza la notación de barra para calcular 0,012 × 0,85 = 0,0102:

Como se indica arriba,registro10⁡(0,012)≈2¯0,07918Desderegistro10⁡(0,85)=registro10⁡(10−1×8.5)=−1+registro10⁡(8.5)≈−1+0,92942=1¯.92942registro10⁡(0,012×0,85)=registro10⁡(0,012)+registro10⁡(0,85)≈2¯0,07918+1¯.92942=(−2+0,07918)+(−1+0,92942)=−(2+1)+(0,07918+0,92942)=−3+1.00860=−2+0,00860∗≈registro10⁡(10−2)+registro10⁡(1.02)=registro10⁡(0,01×1.02)=registro10⁡(0,0102).{\displaystyle {\begin{array}{rll}{\text{Como se encontró arriba,}}&\log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}.07918\\{\text{Ya que}}\;\;\log _{10}(0.85)&=\log _{10}\left(10^{-1}\times 8.5\right)=-1+\log _{10}(8.5)&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}(0.012)+\log _{10}(0.85)&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}\left(10^{-2}\right)+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102).\end{array}}}

* Este paso hace que la mantisa esté entre 0 y 1, de modo que se pueda buscar su antilog (10 mantisa ).

La siguiente tabla muestra cómo se puede utilizar la misma mantisa para una serie de números que difieren en potencias de diez:

Nótese que la mantisa es común a todos los 5 × 10 i . Esto se cumple para cualquier número real positivo. incógnita×10i{\displaystyle x\times 10^{i}}porque

registro10⁡(incógnita×10i)=registro10⁡(incógnita)+registro10⁡(10i)=registro10⁡(incógnita)+i.{\displaystyle \log _{10}\left(x\times 10^{i}\right)=\log _{10}(x)+\log _{10}\left(10^{i}\right)=\log _{10}(x)+i.}

Dado que i es una constante, la mantisa proviene deregistro10⁡(incógnita){\displaystyle \log _{10}(x)}, que es constante para dadoincógnita{\displaystyle x}Esto permite que una tabla de logaritmos incluya solo una entrada para cada mantisa. En el ejemplo de 5 × 10 i , 0,698  970 (004  336  018  ...) aparecerá una vez indexado por 5 (o 0,5, o 500, etc.).

Historia

Los logaritmos comunes también se conocen a veces como "logaritmos briggsianos" en honor a Henry Briggs ,  matemático británico del siglo XVII. En 1616 y 1617, Briggs visitó a John Napier en Edimburgo , inventor de lo que hoy se denominan logaritmos naturales (en base e ), para sugerirle una modificación a sus logaritmos. Durante estas reuniones, se aceptó la modificación propuesta por Briggs; y tras su regreso de su segunda visita, publicó la primera serie de sus logaritmos.

Dado que los logaritmos en base 10 eran los más útiles para los cálculos, los ingenieros generalmente escribían simplemente " log( x ) " cuando se referían a log₁₀ ( x ) . Los matemáticos, por otro lado, escribían " log( x ) " cuando se referían a logₑ ( x ) para el logaritmo natural. Hoy en día, se encuentran ambas notaciones. Como las calculadoras electrónicas portátiles son diseñadas por ingenieros en lugar de matemáticos, se hizo habitual que siguieran la notación de los ingenieros. Así, la notación, según la cual se escribe " ln( x ) " cuando se pretende calcular el logaritmo natural, puede haberse popularizado aún más gracias a la invención que hizo que el uso de los "logaritmos comunes" fuera mucho menos frecuente: las calculadoras electrónicas.

Para mitigar la ambigüedad, la especificación ISO 80000 recomienda que log e ( x ) sea ln( x ) , mientras que log 10 ( x ) se escriba lg( x ) , que desafortunadamente es utilizado para el logaritmo en base 2 por CLRS y Sedgwick y The Chicago Manual of Style . [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]

Valor numérico

Las teclas de logaritmo ( log para base 10 y ln para base e ) en una calculadora científica típica. La llegada de las calculadoras de mano eliminó en gran medida el uso de logaritmos comunes como ayuda para los cálculos.

El valor numérico del logaritmo en base  10 se puede calcular con las siguientes identidades: [ 5 ]

registro10⁡(incógnita)=ln⁡(incógnita)ln⁡(10){\displaystyle \log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\quad } o registro10⁡(incógnita)=registro2⁡(incógnita)registro2⁡(10){\displaystyle \quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(10)}}\quad } o registro10⁡(incógnita)=registroB⁡(incógnita)registroB⁡(10){\displaystyle \quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{B}(x)}{\log _{B}(10)}}\quad }

utilizando logaritmos de cualquier base disponibleB .{\displaystyle \,B~.}

ya que existen procedimientos para determinar el valor numérico del logaritmo en base e (véase Logaritmo natural §  Cálculo eficiente ) y del logaritmo en base 2 (véase Algoritmos para calcular logaritmos binarios ).

Derivado

La derivada de un logaritmo con base b es tal que [ 13 ]

ddincógnitaregistrob⁡(incógnita)=1incógnitaln⁡(b){\displaystyle {d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}},

por lo tantoddincógnitaregistro10⁡(incógnita)=1incógnitaln⁡(10)≈0,4343incógnita{\displaystyle {d \over dx}\log _{10}(x)={1 \over x\ln(10)}\approx {0.4343 \over x}}(4 cifras significativas ).

Véase también

Notas

  1. ↑ La notación Log es ambigua, ya que también puede significar la función multivaluada logarítmica natural compleja .
  2. ↑ Este uso de la palabra mantisa proviene de un significado más antiguo, no numérico: una adición o suplemento menor, por ejemplo, a un texto.La palabra fue introducida por Henry Briggs . [ 9 ] La palabra "mantisa" se usa a menudo para describir la parte de un número de punto flotante que representa sus dígitos significativos , aunque " mantisa " fue el término utilizado para esto por IEEE 754 , y puede preferirse para evitar confusiones con las mantisas de logaritmos.
  3. ^ Por ejemplo, Bessel, FW (1825). "Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermessungen". Astronomische Nachrichten . 331 (8): 852–861 . arXiv : 0908.1823 . Código Bib : 1825AN......4..241B . doi : 10.1002/asna.18260041601 . S2CID 118630614 .  da (comienzo de la sección 8)registro⁡b=6.51335464{\displaystyle\log b=6.51335464}, registro⁡mi=8.9054355{\displaystyle\log e=8.9054355}. Del contexto se entiende que b=106.51335464{\displaystyle b=10^{6.51335464}}, el radio menor del elipsoide terrestre en toise (un número grande), mientras que mi=108.9054355−10{\displaystyle e=10^{8.9054355-10}}, la excentricidad del elipsoide terrestre (un número pequeño).

Referencias

  1. 1 2 Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (1909). "Capítulo IV. Logaritmos [23] Logaritmos comunes". Trigonometría . Vol. Parte I: Trigonometría plana. Nueva York: Henry Holt and Company . pág. 31.  
  2. ^ Euler, Leonhard (1748). "Capítulo 22: Solutio nonnullorum problematum ad Circulum pertinentium". Introductio in Analysin Infinitorum (Parte 2) (en latín). Lausana: Marcum-Michaelem Bousquet. pag. 304. 
  3. ^ Scherffer, P. Carolo (1772). Institutionum Analyticarum Pars Secunda de Calculo Infinitesimali Liber Secundus de Calculo Integrali (en latín). vol. 2. Joannis Thomæ Nob. De Trattnern. pag. 198.  
  4. ↑ "Introducción a los logaritmos" . www.mathsisfun.com . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
  5. 1 2 Weisstein, Eric W. "Logaritmo común" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
  6. ↑ "Uso de la calculadora: leyes de los logaritmos y exponentes - Repaso de matemáticas avanzadas" . BBC Bitesize . BBC . Consultado el 8 de julio de 2025 .
  7. ↑ "Introducción a los logaritmos" . www.mathsisfun.com . Consultado el 8 de julio de 2025 .
  8. ↑ Hedrick, Earle Raymond (1913). Tablas logarítmicas y trigonométricas . Nueva York, EE. UU.: Macmillan .
  9. ↑ Schwartzman, Steven (31 de diciembre de 1994). The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms in English . American Mathematical Soc. p. 131. ISBN  978-1-61444-501-2.
  10. ↑ Cormen, Thomas H. ; Leiserson, Charles E. ; Rivest, Ronald L. ; Stein, Clifford (2001) [1990], Introducción a los algoritmos (2.ª ed.), MIT Press y McGraw-Hill, págs. 34, 53–54 , ISBN   0-262-03293-7
  11. ↑ Sedgewick, Robert ; Wayne, Kevin Daniel (2011), Algorithms , Addison-Wesley Professional, pág. 185, ISBN  978-0-321-57351-3.
  12. ↑ Manual de estilo de Chicago (25.ª ed.), University of Chicago Press, 2003, pág. 530  
  13. ↑ "Derivadas de funciones logarítmicas" . Math24 . 14 de abril de 2021. Archivado del original el 1 de octubre de 2020.

Bibliografía

  • Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol.  55 (novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima edición original con correcciones (diciembre de 1972); primera  ed.). Washington D. C.; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .   
  • Möser, Michael (2009). Acústica de la ingeniería: Introducción al control del ruido . Springer. pág.  448. ISBN 978-3-540-92722-8.
  • Poliyanin, Andrei Dmitrievich; Manzhirov, Alexander Vladimirovich (2007) [27-11-2006]. Manual de matemáticas para ingenieros y científicos . CRC Press . pág.  9. ISBN 978-1-58488-502-3.
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