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Teorema de Gleason

En física matemática , el teorema de Gleason demuestra que la regla que se utiliza para calcular probabilidades en física cuántica , la regla de Born , puede derivarse de la rep...

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En física matemática , el teorema de Gleason demuestra que la regla que se utiliza para calcular probabilidades en física cuántica , la regla de Born , puede derivarse de la representación matemática habitual de las mediciones en física cuántica junto con la suposición de no contextualidad . Andrew M. Gleason demostró por primera vez el teorema en 1957, [ 1 ] respondiendo a una pregunta planteada por George W. Mackey , un logro que fue históricamente significativo por el papel que desempeñó al demostrar que amplias clases de teorías de variables ocultas son inconsistentes con la física cuántica. Desde entonces, se han demostrado múltiples variaciones. El teorema de Gleason es de particular importancia para el campo de la lógica cuántica y su intento de encontrar un conjunto mínimo de axiomas matemáticos para la teoría cuántica.

Enunciado del teorema

Antecedentes conceptuales

En mecánica cuántica, cada sistema físico se asocia con un espacio de Hilbert . Para los fines de esta descripción general, se supone que el espacio de Hilbert es de dimensión finita. En el enfoque codificado por John von Neumann , una medición de un sistema físico se representa mediante un operador autoadjunto en ese espacio de Hilbert, a veces denominado "observable". Los autovectores de dicho operador forman una base ortonormal para el espacio de Hilbert, y cada posible resultado de esa medición corresponde a uno de los vectores que componen la base. Un operador de densidad es un operador semidefinido positivo en el espacio de Hilbert cuya traza es igual a 1. En el lenguaje de von Weizsäcker , un operador de densidad es un "catálogo de probabilidades": para cada medición que se puede definir, la distribución de probabilidad sobre los resultados de esa medición se puede calcular a partir del operador de densidad. [ 2 ] El procedimiento para hacerlo es la regla de Born , que establece que PAG(incógnitai)=Tran⁡(Πiρ),{\displaystyle P(x_{i})=\operatorname {Tr} (\Pi _{i}\rho ),} dóndeρ{\displaystyle \rho }es el operador de densidad, yΠi{\displaystyle \Pi _{i}}es el operador de proyección sobre el vector base correspondiente al resultado de la mediciónincógnitai{\displaystyle x_{i}}.

La regla de Born asocia una probabilidad a cada vector unitario en el espacio de Hilbert, de tal manera que estas probabilidades suman 1 para cualquier conjunto de vectores unitarios que conforme una base ortonormal. Además, la probabilidad asociada a un vector unitario es función del operador de densidad y del propio vector, y no de información adicional como la elección de la base en la que se inserta dicho vector. El teorema de Gleason establece lo contrario: todas las asignaciones de probabilidades a vectores unitarios (o, equivalentemente, a los operadores que se proyectan sobre ellos) que satisfacen estas condiciones consisten en aplicar la regla de Born a algún operador de densidad. El teorema de Gleason se cumple si la dimensión del espacio de Hilbert es 3 o mayor; existen contraejemplos para dimensión 2.

Derivación del espacio de estados y la regla de Born

La probabilidad de cualquier resultado de una medición en un sistema cuántico debe ser un número real entre 0 y 1 (inclusive). Para que haya coherencia, la suma de las probabilidades de los diferentes resultados posibles de cada medición debe ser igual a 1. El teorema de Gleason demuestra que cualquier función que asigne probabilidades a los resultados de las mediciones, identificados mediante operadores de proyección, debe poder expresarse en términos de un operador de densidad y la regla de Born. Esto no solo proporciona la regla para calcular probabilidades, sino que también determina el conjunto de estados cuánticos posibles.

DejarF{\displaystyle f}sea ​​una función de operadores de proyección al intervalo unitario con la propiedad de que, si un conjunto{Πi}{\displaystyle \{\Pi _{i}\}}Si la suma de los operadores de proyección es igual a la matriz identidad (es decir, si corresponden a una base ortonormal), entonces ∑iF(Πi)=1.{\displaystyle \sum _{i}f(\Pi _{i})=1.}

Dicha función expresa una asignación de valores de probabilidad a los resultados de las mediciones, una asignación que es "no contextual" en el sentido de que la probabilidad de un resultado no depende de en qué medición esté incrustado ese resultado, sino solo de la representación matemática de ese resultado específico, es decir, su operador de proyección. [ 3 ] [ 4 ] : §1.3 [ 5 ] : §2.1 [ 6 ] El teorema de Gleason establece que para cualquier función de este tipoF{\displaystyle f}, existe un operador semidefinido positivoρ{\displaystyle \rho }con traza unitaria tal que F(Πi)=Tran⁡(Πiρ).{\displaystyle f(\Pi _{i})=\operatorname {Tr} (\Pi _{i}\rho ).}

Tanto la regla de Born como el hecho de que los "catálogos de probabilidad" sean operadores semidefinidos positivos de traza unitaria se derivan de las suposiciones de que las mediciones se representan mediante bases ortonormales y que las asignaciones de probabilidad son "no contextuales". Para que el teorema de Gleason sea aplicable, el espacio en el que se definen las mediciones debe ser un espacio de Hilbert real o complejo, o un módulo cuaterniónico . [ a ] (El argumento de Gleason es inaplicable si, por ejemplo, se intenta construir un análogo de la mecánica cuántica utilizando números p -ádicos ).

Historia y resumen de la prueba de Gleason

Gleason en 1959

En 1932, John von Neumann también logró derivar la regla de Born en su libro de texto Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica . Sin embargo, los supuestos sobre los que von Neumann construyó su prueba de ausencia de variables ocultas eran bastante fuertes y, finalmente, se consideró que no estaban bien fundamentados. [ 14 ] Específicamente, von Neumann asumió que la función de probabilidad debe ser lineal en todos los observables, conmutativos o no conmutativos. Su prueba fue ridiculizada por John Bell como "¡no solo falsa, sino absurda!". [ 15 ] [ 16 ] Gleason, por otro lado, no asumió linealidad, sino simplemente aditividad para proyectores conmutativos junto con la no contextualidad, supuestos considerados mejor fundamentados y con mayor significado físico. [ 16 ] [ 17 ]

A finales de la década de 1940, George Mackey se había interesado en los fundamentos matemáticos de la física cuántica, preguntándose en particular si la regla de Born era la única regla posible para calcular probabilidades en una teoría que representaba las mediciones como bases ortonormales en un espacio de Hilbert. [ 18 ] [ 19 ] Mackey discutió este problema con Irving Segal en la Universidad de Chicago , quien a su vez se lo planteó a Richard Kadison , entonces estudiante de posgrado. Kadison demostró que para espacios de Hilbert bidimensionales existe una medida de probabilidad que no corresponde a los estados cuánticos ni a la regla de Born. El resultado de Gleason implica que esto solo ocurre en dimensión 2. [ 19 ]

La demostración original de Gleason se desarrolla en tres etapas. [ 20 ] : §2 En la terminología de Gleason, una función de marco es una función de valor real.F{\displaystyle f}en la esfera unitaria de un espacio de Hilbert tal que ∑iF(incógnitai)=1{\displaystyle \sum _{i}f(x_{i})=1} siempre que los vectoresincógnitai{\displaystyle x_{i}}comprende una base ortonormal. Una asignación de probabilidad no contextual, como se define en la sección anterior, es equivalente a una función de marco. [ b ] Cualquier medida de este tipo que pueda escribirse de la manera estándar, es decir, aplicando la regla de Born a un estado cuántico, se denomina función de marco regular . Gleason deduce una secuencia de lemas sobre cuándo una función de marco es necesariamente regular, que culmina en el teorema final. Primero, establece que toda función de marco continua en el espacio de HilbertR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}es regular. Este paso utiliza la teoría de los armónicos esféricos . Luego, demuestra que las funciones de marco enR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}tienen que ser continuas, lo que establece el teorema para el caso especial deR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}Este paso se considera el más difícil de la demostración. [ 21 ] [ 22 ] Finalmente, muestra que el problema general puede reducirse a este caso especial. Gleason atribuye un lema utilizado en esta última etapa de la demostración a su estudiante de doctorado Richard Palais . [ 1 ] : fn 3

Robin Lyth Hudson describió el teorema de Gleason como "célebre y notoriamente difícil". [ 23 ] Posteriormente, Cooke, Keane y Moran elaboraron una demostración más extensa que la de Gleason, pero que requiere menos prerrequisitos. [ 21 ]

Trascendencia

El teorema de Gleason destaca una serie de cuestiones fundamentales en la teoría de la medición cuántica. Como argumenta Fuchs , el teorema "es un resultado extremadamente poderoso", porque "indica hasta qué punto la regla de probabilidad de Born e incluso la estructura del espacio de estados de los operadores de densidad dependen de los demás postulados de la teoría". En consecuencia, la teoría cuántica es "un conjunto más compacto de lo que se podría haber pensado inicialmente". [ 24 ] : 94–95 En consecuencia, varios enfoques para derivar nuevamente el formalismo cuántico a partir de axiomas alternativos han empleado el teorema de Gleason como un paso clave, salvando la brecha entre la estructura del espacio de Hilbert y la regla de Born. [ c ]

variables ocultas

Además, el teorema es históricamente significativo por el papel que desempeñó al descartar la posibilidad de ciertas clases de variables ocultas en la mecánica cuántica. Una teoría de variables ocultas que sea determinista implica que la probabilidad de un resultado dado es siempre 0 o 1. Por ejemplo, una medición de Stern-Gerlach en un átomo de espín 1 informará que el momento angular del átomo a lo largo del eje elegido es uno de tres valores posibles, que pueden designarse−{\displaystyle -},0{\displaystyle 0}y+{\displaystyle +}En una teoría determinista de variables ocultas, existe una propiedad física subyacente que fija el resultado encontrado en la medición. Condicionado al valor de la propiedad física subyacente, cualquier resultado dado (por ejemplo, un resultado de+{\displaystyle +}) debe ser imposible o estar garantizado. Pero el teorema de Gleason implica que no puede existir tal medida de probabilidad determinista. El mapeotú→⟨ρtú,tú⟩{\displaystyle u\to \langle \rho u,u\rangle }es continua en la esfera unitaria del espacio de Hilbert para cualquier operador de densidad.ρ{\displaystyle \rho }Dado que esta esfera unitaria está conectada , ninguna medida de probabilidad continua en ella puede ser determinista. [ 26 ] : §1.3 El teorema de Gleason sugiere, por lo tanto, que la teoría cuántica representa una desviación profunda y fundamental de la intuición clásica de que la incertidumbre se debe a la ignorancia sobre los grados de libertad ocultos. [ 27 ] Más específicamente, el teorema de Gleason descarta los modelos de variables ocultas que son "no contextuales". Cualquier modelo de variables ocultas para la mecánica cuántica debe, para evitar las implicaciones del teorema de Gleason, involucrar variables ocultas que no sean propiedades que pertenezcan solo al sistema medido, sino que también dependan del contexto externo en el que se realiza la medición. Este tipo de dependencia a menudo se considera artificial o indeseable; en algunos casos, es inconsistente con la relatividad especial . [ 27 ] [ 28 ]

En la representación de un cúbit mediante la esfera de Bloch , cada punto de la esfera unitaria representa un estado puro. Todas las demás matrices de densidad corresponden a puntos en el interior.

Para construir un contraejemplo para un espacio de Hilbert bidimensional, conocido como cúbit , sea la variable oculta un vector unitario.λ→{\displaystyle {\vec {\lambda }}}en el espacio euclidiano tridimensional. Usando la esfera de Bloch , cada posible medición en un cúbit se puede representar como un par de puntos antipodales en la esfera unitaria. Definiendo la probabilidad de un resultado de medición como 1 si el punto que representa ese resultado se encuentra en el mismo hemisferio queλ→{\displaystyle {\vec {\lambda }}}y 0 en caso contrario produce una asignación de probabilidades a los resultados de medición que obedece a los supuestos de Gleason. Sin embargo, esta asignación de probabilidad no corresponde a ningún operador de densidad válido. Al introducir una distribución de probabilidad sobre los posibles valores deλ→{\displaystyle {\vec {\lambda }}}, se puede construir un modelo de variables ocultas para un cúbit que reproduce las predicciones de la teoría cuántica. [ 27 ] [ 29 ]

El teorema de Gleason motivó trabajos posteriores de John Bell , Ernst Specker y Simon Kochen que condujeron al resultado a menudo llamado teorema de Kochen-Specker , que también muestra que los modelos de variables ocultas no contextuales son incompatibles con la mecánica cuántica. Como se señaló anteriormente, el teorema de Gleason muestra que no hay ninguna medida de probabilidad sobre los rayos de un espacio de Hilbert que solo tome los valores 0 y 1 (siempre que la dimensión de ese espacio supere 2). El teorema de Kochen-Specker refina esta afirmación al construir un subconjunto finito específico de rayos sobre el cual no se puede definir tal medida de probabilidad. [ 27 ] [ 30 ] El hecho de que tal subconjunto finito de rayos debe existir se deduce del teorema de Gleason a través de un argumento de compacidad lógica , pero este método no construye el conjunto deseado explícitamente. [ 20 ] : §1 En el resultado relacionado de no variables ocultas conocido como teorema de Bell , la suposición de que la teoría de variables ocultas no es contextual se reemplaza por la suposición de que es local . Los mismos conjuntos de rayos utilizados en las construcciones de Kochen-Specker también se pueden emplear para derivar demostraciones de tipo Bell. [ 27 ] [ 31 ] [ 32 ]

Pitowsky utiliza el teorema de Gleason para argumentar que la mecánica cuántica representa una nueva teoría de la probabilidad, en la que la estructura del espacio de eventos posibles se modifica respecto del álgebra booleana clásica. Considera que esto es análogo a la forma en que la relatividad especial modifica la cinemática de la mecánica newtoniana . [ 4 ] [ 5 ]

Los teoremas de Gleason y Kochen-Specker se han citado en apoyo de diversas filosofías, incluyendo el perspectivismo , el empirismo constructivo y el realismo agencial . [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]

Lógica cuántica

El teorema de Gleason encuentra aplicación en la lógica cuántica, que hace un uso intensivo de la teoría de retículos . La lógica cuántica trata el resultado de una medición cuántica como una proposición lógica y estudia las relaciones y estructuras formadas por estas proposiciones lógicas. Se organizan en un retículo, en el que la ley distributiva , válida en la lógica clásica, se debilita, para reflejar el hecho de que en la física cuántica, no todos los pares de cantidades pueden medirse simultáneamente . [ 36 ] El teorema de representación en lógica cuántica muestra que dicho retículo es isomorfo al retículo de subespacios de un espacio vectorial con un producto escalar . [ 5 ] : §2 Usando el teorema de Solèr , se puede demostrar que el campo ( sesgado ) K sobre el cual se define el espacio vectorial es, con hipótesis adicionales, los números reales , los números complejos o los cuaterniones , como se necesita para que se cumpla el teorema de Gleason. [ 12 ] : §3 [ 37 ] [ 38 ]

Al invocar el teorema de Gleason, se puede restringir la forma de una función de probabilidad sobre elementos de la red. Suponiendo que el mapeo de elementos de la red a probabilidades no depende del contexto, el teorema de Gleason establece que debe poder expresarse mediante la regla de Born. [ 39 ]

Generalizaciones

Gleason demostró originalmente el teorema asumiendo que las mediciones aplicadas al sistema son del tipo von Neumann, es decir, que cada medición posible corresponde a una base ortonormal del espacio de Hilbert. Posteriormente, Busch [ 40 ] e independientemente Caves et al. [ 24 ] : 116 [ 41 ] demostraron un resultado análogo para una clase más general de mediciones, conocidas como medidas con valores de operador positivo (POVM). El conjunto de todas las POVM incluye el conjunto de mediciones de von Neumann, por lo que las suposiciones de este teorema son significativamente más fuertes que las de Gleason. Esto hizo que la demostración de este resultado fuera más sencilla que la de Gleason y las conclusiones más sólidas. A diferencia del teorema original de Gleason, la versión generalizada que utiliza POVM también se aplica al caso de un solo cúbit. [ 42 ] [ 43 ] Sin embargo, asumir la no contextualidad para las POVM es controvertido, ya que las POVM no son fundamentales, y algunos autores defienden que la no contextualidad solo debe asumirse para las mediciones de von Neumann subyacentes. [ 44 ] El teorema de Gleason, en su versión original, no se cumple si el espacio de Hilbert se define sobre los números racionales , es decir, si las componentes de los vectores en el espacio de Hilbert se restringen a ser números racionales o números complejos con partes racionales. Sin embargo, cuando el conjunto de mediciones permitidas es el conjunto de todas las POVM, el teorema se cumple. [ 41 ] : §3.D

La demostración original de Gleason no era constructiva : una de las ideas en las que se basa es el hecho de que toda función continua definida en un espacio compacto alcanza su mínimo . Dado que no siempre es posible mostrar explícitamente dónde se produce el mínimo, una demostración que se base en este principio no será constructiva. Sin embargo, el teorema puede reformularse de tal manera que se pueda encontrar una demostración constructiva. [ 20 ] [ 45 ]

El teorema de Gleason puede extenderse a algunos casos donde los observables de la teoría forman un álgebra de von Neumann . Específicamente, se puede demostrar que un análogo del resultado de Gleason se cumple si el álgebra de observables no tiene sumando directo que pueda representarse como el álgebra de matrices de 2×2 sobre un álgebra de von Neumann conmutativa (es decir, ningún sumando directo de tipo I 2 ). En esencia, la única barrera para demostrar el teorema es el hecho de que el resultado original de Gleason no se cumple cuando el espacio de Hilbert es el de un cúbit. [ 46 ]

Notas

  1. ↑ Para una discusión adicional sobre este punto, véase Piron, [ 7 ] : §6 Drisch, [ 8 ] Horwitz y Biedenharn, [ 9 ] Razon y Horwitz, [ 10 ] Varadarajan, [ 11 ] : 83 Cassinelli y Lahti, [ 12 ] : §2 y Moretti y Oppio. [ 13 ]
  2. ↑ Gleason permite la posibilidad de que una función de marco se normalice a una constante distinta de 1, pero centrarse en el caso de "peso unitario" como se hace aquí no resulta en ninguna pérdida de generalidad .
  3. ↑ Esto lo discuten Barnum et al., [ 3 ] Cassinelli y Lahti, [ 12 ] : §2 Stairs, [ 25 ] y Wilce. [ 26 ] : §1.4

Referencias

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