Operación de multiplicación y acumulación

En informática , especialmente en el procesamiento de señales digitales , la operación de multiplicación-acumulación ( MAC ) o multiplicación-suma ( MAD ) es un paso común que calcula el producto de dos números y lo suma a un acumulador . La unidad de hardware que realiza la operación se conoce como multiplicador-acumulador ( unidad MAC ); la operación en sí también se denomina a menudo operación MAC o MAD. La operación MAC modifica un acumulador :$${\displaystyle a\gets a+(b\times c)}$$

Cuando se trabaja con números de coma flotante , puede realizarse con dos redondeos (lo habitual en muchos DSP ) o con un solo redondeo. Cuando se realiza con un solo redondeo, se denomina multiplicación-suma fusionada ( FMA ) o multiplicación-acumulación fusionada ( FMAC ).

Los ordenadores modernos pueden contener una MAC dedicada, que consiste en un multiplicador implementado en lógica combinacional, seguido de un sumador y un registro acumulador que almacena el resultado. La salida del registro se realimenta a una entrada del sumador, de modo que en cada ciclo de reloj, la salida del multiplicador se suma al registro. Los multiplicadores combinacionales requieren una gran cantidad de lógica, pero pueden calcular un producto mucho más rápidamente que el método de desplazamiento y suma típico de los ordenadores anteriores. Percy Ludgate fue el primero en concebir una MAC en su Máquina Analítica de 1909, ^{[ 1 ]} y el primero en utilizar una MAC para la división (usando la multiplicación iniciada por el recíproco, a través de la serie convergente (1+ x ) ⁻¹ ). Los primeros procesadores modernos equipados con unidades MAC fueron los procesadores de señales digitales , pero la técnica ahora también es común en los procesadores de propósito general. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

Cuando se realiza con números enteros , la operación suele ser exacta (calculada módulo alguna potencia de dos ). Sin embargo, los números de coma flotante solo tienen una cierta precisión matemática . Es decir, la aritmética digital de coma flotante generalmente no es asociativa ni distributiva . (Véase Aritmética de coma flotante §  Problemas de precisión ). Por lo tanto, el resultado varía según si la multiplicación-suma se realiza con dos redondeos o en una sola operación con un único redondeo (una multiplicación-suma fusionada). La norma IEEE 754-2008 especifica que debe realizarse con un solo redondeo, lo que produce un resultado más preciso. ^{[ 6 ]}

Una operación de multiplicación y suma fusionada ( FMA o fmadd ) ^{[ 7 ]} es una operación de multiplicación y suma de punto flotante realizada en un solo paso ( operación fusionada ), con un único redondeo. Es decir, mientras que una operación de multiplicación y suma no fusionada calcularía el producto b × c , lo redondearía a N bits significativos, sumaría el resultado a a y lo redondearía de nuevo a N bits significativos, una operación de multiplicación y suma fusionada calcularía la expresión completa a + ( b × c ) con toda su precisión antes de redondear el resultado final a N bits significativos.

Un FMA rápido puede acelerar y mejorar la precisión de muchos cálculos que implican la acumulación de productos:

• producto escalar
• multiplicación de matrices
• Evaluación de polinomios (por ejemplo, con la regla de Horner )
• Método de Newton para evaluar funciones (a partir de la función inversa)
• Circunvolución
• Red neuronal
• Multiplicación en aritmética doble-doble

La multiplicación-suma fusionada suele proporcionar resultados más precisos. Sin embargo, William Kahan ha señalado que puede generar problemas si se utiliza sin criterio. ^{[ 8 ]} Si x ² − y ² se evalúa como (( x × x ) − y × y ) (siguiendo la notación sugerida por Kahan, en la que los paréntesis redundantes indican al compilador que redondee primero el término ( x × x ) ) utilizando la multiplicación-suma fusionada, el resultado puede ser negativo incluso cuando x = y, debido a que la primera multiplicación descarta los bits de baja significancia. Esto podría provocar un error si, por ejemplo, se evalúa la raíz cuadrada del resultado.

Cuando se implementa dentro de un microprocesador , una operación FMA puede ser más rápida que una multiplicación seguida de una suma. Sin embargo, las implementaciones industriales estándar basadas en el diseño original del IBM RS/6000 requieren un sumador de 2N bits para calcular la suma correctamente. ^{[ 9 ]}

Otro beneficio de incluir esta instrucción es que permite una implementación de software eficiente de las operaciones de división (véase el algoritmo de división ) y raíz cuadrada (véase los métodos para calcular raíces cuadradas ), eliminando así la necesidad de hardware dedicado para dichas operaciones. ^{[ 10 ]}

• Operador compuesto