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modelo de efectos fijos

En estadística , un modelo de efectos fijos es un modelo estadístico en el que los parámetros del modelo son cantidades fijas o no aleatorias. Esto contrasta con los modelos de ...

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En estadística , un modelo de efectos fijos es un modelo estadístico en el que los parámetros del modelo son cantidades fijas o no aleatorias. Esto contrasta con los modelos de efectos aleatorios y los modelos mixtos en los que todos o algunos de los parámetros del modelo son variables aleatorias. En muchas aplicaciones, incluyendo econometría [ 1 ] y bioestadística [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ], un modelo de efectos fijos se refiere a un modelo de regresión en el que las medias de los grupos son fijas (no aleatorias) en contraposición a un modelo de efectos aleatorios en el que las medias de los grupos son una muestra aleatoria de una población. [ 7 ] [ 6 ] Generalmente, los datos se pueden agrupar según varios factores observados. Las medias de los grupos podrían modelarse como efectos fijos o aleatorios para cada agrupación. En un modelo de efectos fijos, cada media de grupo es una cantidad fija específica del grupo.

En los datos de panel, donde existen observaciones longitudinales para el mismo sujeto, los efectos fijos representan las medias específicas de cada sujeto. En el análisis de datos de panel, el término estimador de efectos fijos (también conocido como estimador intragrupo ) se utiliza para referirse a un estimador de los coeficientes en el modelo de regresión que incluye dichos efectos fijos (una intersección invariante en el tiempo para cada sujeto).

Descripción cualitativa

Estos modelos ayudan a controlar el sesgo por variables omitidas debido a la heterogeneidad no observada cuando esta heterogeneidad es constante en el tiempo. Esta heterogeneidad se puede eliminar de los datos mediante la diferenciación, por ejemplo, restando el promedio a nivel de grupo a lo largo del tiempo, o tomando una primera diferencia que eliminará cualquier componente invariante en el tiempo del modelo.

Existen dos supuestos comunes sobre el efecto individual específico: el supuesto de efectos aleatorios y el supuesto de efectos fijos. El supuesto de efectos aleatorios implica que los efectos individuales específicos no están correlacionados con las variables independientes. El supuesto de efectos fijos implica que los efectos individuales específicos están correlacionados con las variables independientes. Si se cumple el supuesto de efectos aleatorios, el estimador de efectos aleatorios es más eficiente que el estimador de efectos fijos. Sin embargo, si este supuesto no se cumple, el estimador de efectos aleatorios no es consistente . La prueba de Durbin-Wu-Hausman se utiliza frecuentemente para diferenciar entre los modelos de efectos fijos y aleatorios. [ 8 ] [ 9 ]

Modelo formal y supuestos

Consideremos el modelo lineal de efectos no observados para observaciones y períodos de tiempo:norte{\displaystyle N}T{\displaystyle T}

yit=incógnitaitβ+αi+túit{\displaystyle y_{it}=X_{it}\mathbf {\beta } +\alpha _{i}+u_{it}}para yt=1,…,T{\displaystyle t=1,\dots ,T}i=1,…,norte{\displaystyle i=1,\dots ,N}

Dónde:

  • yit{\displaystyle y_{it}}es la variable dependiente observada para el individuo en el tiempo .i{\displaystyle i}t{\displaystyle t}
  • incógnitait{\displaystyle X_{it}}es el vector de regresores que varía con el tiempo (el número de variables independientes).1×k{\displaystyle 1\times k}
  • β{\displaystyle \beta }es la matriz de parámetros.k×1{\displaystyle k\times 1}
  • αi{\displaystyle \alpha _{i}}es el efecto individual invariable en el tiempo y no observado. Por ejemplo, la capacidad innata de los individuos o los factores históricos e institucionales de los países.
  • túit{\displaystyle u_{it}}es el término de error .

A diferencia de , no se puede observar directamente.incógnitait{\displaystyle X_{it}}αi{\displaystyle \alpha _{i}}

A diferencia del modelo de efectos aleatorios, donde la variable no observada es independiente de para todo , el modelo de efectos fijos (FE) permite que esté correlacionado con la matriz de regresores . Aún se requiere una exogeneidad estricta con respecto al término de error idiosincrásico .αi{\displaystyle \alpha _{i}}incógnitait{\displaystyle X_{it}}t=1,...,T{\displaystyle t=1,...,T}αi{\displaystyle \alpha _{i}}incógnitait{\displaystyle X_{it}}túit{\displaystyle u_{it}}

Estimación estadística

estimador de efectos fijos

Dado que no es observable, no se puede controlar directamente . El modelo de elementos finitos lo elimina eliminando la media de las variables mediante la transformación interna :αi{\displaystyle \alpha _{i}}αi{\displaystyle \alpha _{i}}

yit−y¯i=(incógnitait−incógnita¯i)β+(αi−α¯i)+(túit−tú¯i)⟹y¨it=incógnita¨itβ+tú¨it{\displaystyle y_{it}-{\overline {y}}_{i}=\left(X_{it}-{\overline {X}}_{i}\right)\beta +\left(\alpha _{i}-{\overline {\alpha }}_{i}\right)+\left(u_{it}-{\overline {u}}_{i}\right)\implies {\ddot {y}}_{it}={\ddot {X}}_{it}\beta +{\ddot {u}}_{it}}

donde , , y .y¯i=1T∑t=1Tyit{\displaystyle {\overline {y}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits _{t=1}^{T}y_{it}}incógnita¯i=1T∑t=1Tincógnitait{\displaystyle {\overline {X}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits _{t=1}^{T}X_{it}}tú¯i=1T∑t=1Ttúit{\displaystyle {\overline {u}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits _{t=1}^{T}u_{it}}

Dado que es constante, y por lo tanto el efecto se elimina. El estimador FE se obtiene entonces mediante una regresión MCO de sobre .αi{\displaystyle \alpha _{i}}αi¯=αi{\displaystyle {\overline {\alpha _{i}}}=\alpha _{i}}β^FE{\displaystyle {\hat {\beta }}_{FE}}y¨{\displaystyle {\ddot {y}}}X¨{\displaystyle {\ddot {X}}}

Existen al menos tres alternativas a la transformación interna con variaciones:

  • Una opción es añadir una variable ficticia para cada individuo (omitiendo al primero debido a la multicolinealidad ). Esto es numéricamente equivalente, pero no computacionalmente, al modelo de efectos fijos y solo funciona si la suma del número de series y el número de parámetros globales es menor que el número de observaciones. [ 10 ] El método de variables ficticias es particularmente exigente en cuanto al uso de memoria de la computadora y no se recomienda para problemas que superen la capacidad de la RAM disponible y la compilación del programa aplicado.i>1{\displaystyle i>1}
  • La segunda alternativa es utilizar el enfoque de reiteraciones consecutivas para las estimaciones locales y globales. [ 11 ] Este enfoque es muy adecuado para sistemas con poca memoria, en los que es mucho más eficiente computacionalmente que el enfoque de variables ficticias.
  • El tercer enfoque es una estimación anidada en la que la estimación local para cada serie individual se programa como parte de la definición del modelo. [ 12 ] Este enfoque es el más eficiente en términos de computación y memoria, pero requiere habilidades de programación avanzadas y acceso al código de programación del modelo; sin embargo, puede programarse incluso en SAS. [ 13 ] [ 14 ]

Finalmente, cada una de las alternativas anteriores puede mejorarse si la estimación específica de la serie es lineal (dentro de un modelo no lineal), en cuyo caso la solución lineal directa para cada serie individual puede programarse como parte de la definición del modelo no lineal. [ 15 ]

Estimador de primera diferencia

Una alternativa a la transformación interna es la transformación de primera diferencia , que produce un estimador diferente. Para :t=2,…,T{\displaystyle t=2,\dots ,T}

yit−yi,t−1=(Xit−Xi,t−1)β+(αi−αi)+(uit−ui,t−1)⟹Δyit=ΔXitβ+Δuit.{\displaystyle y_{it}-y_{i,t-1}=\left(X_{it}-X_{i,t-1}\right)\beta +\left(\alpha _{i}-\alpha _{i}\right)+\left(u_{it}-u_{i,t-1}\right)\implies \Delta y_{it}=\Delta X_{it}\beta +\Delta u_{it}.}

El estimador FD se obtiene entonces mediante una regresión OLS de sobre .β^FD{\displaystyle {\hat {\beta }}_{FD}}Δyit{\displaystyle \Delta y_{it}}ΔXit{\displaystyle \Delta X_{it}}

Cuando , los estimadores de primera diferencia y de efectos fijos son numéricamente equivalentes. Para , no lo son. Si los términos de error son homocedásticos sin autocorrelación , el estimador de efectos fijos es más eficiente que el estimador de primera diferencia. Sin embargo, si sigue un paseo aleatorio , el estimador de primera diferencia es más eficiente. [ 16 ]T=2{\displaystyle T=2}T>2{\displaystyle T>2}uit{\displaystyle u_{it}}uit{\displaystyle u_{it}}

Igualdad de los estimadores de efectos fijos y de primeras diferencias cuando T=2

Para el caso especial de dos períodos ( ), el estimador de efectos fijos (EF) y el estimador de primeras diferencias (ED) son numéricamente equivalentes. Esto se debe a que el estimador EF efectivamente "duplica el conjunto de datos" utilizado en el estimador ED. Para comprobarlo, establezcamos que el estimador de efectos fijos es: T=2{\displaystyle T=2}FET=2=[(xi1−x¯i)(xi1−x¯i)′+(xi2−x¯i)(xi2−x¯i)′]−1[(xi1−x¯i)(yi1−y¯i)+(xi2−x¯i)(yi2−y¯i)]{\displaystyle {FE}_{T=2}=\left[(x_{i1}-{\bar {x}}_{i})(x_{i1}-{\bar {x}}_{i})'+(x_{i2}-{\bar {x}}_{i})(x_{i2}-{\bar {x}}_{i})'\right]^{-1}\left[(x_{i1}-{\bar {x}}_{i})(y_{i1}-{\bar {y}}_{i})+(x_{i2}-{\bar {x}}_{i})(y_{i2}-{\bar {y}}_{i})\right]}

Dado que cada uno puede reescribirse como , reescribiremos la línea como:(xi1−x¯i){\displaystyle (x_{i1}-{\bar {x}}_{i})}(xi1−xi1+xi22)=xi1−xi22{\displaystyle (x_{i1}-{\dfrac {x_{i1}+x_{i2}}{2}})={\dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}}

FET=2=[∑i=1Nxi1−xi22xi1−xi22′+xi2−xi12xi2−xi12′]−1[∑i=1Nxi1−xi22yi1−yi22+xi2−xi12yi2−yi12]{\displaystyle {FE}_{T=2}=\left[\sum _{i=1}^{N}{\dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}{\dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}'+{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}'\right]^{-1}\left[\sum _{i=1}^{N}{\dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}{\dfrac {y_{i1}-y_{i2}}{2}}+{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{\dfrac {y_{i2}-y_{i1}}{2}}\right]}

=[∑i=1N2xi2−xi12xi2−xi12′]−1[∑i=1N2xi2−xi12yi2−yi12]{\displaystyle =\left[\sum _{i=1}^{N}2{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}'\right]^{-1}\left[\sum _{i=1}^{N}2{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{\dfrac {y_{i2}-y_{i1}}{2}}\right]}
=2[∑i=1N(xi2−xi1)(xi2−xi1)′]−1[∑i=1N12(xi2−xi1)(yi2−yi1)]{\displaystyle =2\left[\sum _{i=1}^{N}(x_{i2}-x_{i1})(x_{i2}-x_{i1})'\right]^{-1}\left[\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}(x_{i2}-x_{i1})(y_{i2}-y_{i1})\right]}
=[∑i=1N(xi2−xi1)(xi2−xi1)′]−1∑i=1N(xi2−xi1)(yi2−yi1)=FDT=2{\displaystyle =\left[\sum _{i=1}^{N}(x_{i2}-x_{i1})(x_{i2}-x_{i1})'\right]^{-1}\sum _{i=1}^{N}(x_{i2}-x_{i1})(y_{i2}-y_{i1})={FD}_{T=2}}

Método Chamberlain

El método de Gary Chamberlain , una generalización del estimador intragrupo, reemplaza con su proyección lineal sobre las variables explicativas. Escribiendo la proyección lineal como:αi{\displaystyle \alpha _{i}}

αi=λ0+Xi1λ1+Xi2λ2+⋯+XiTλT+ei{\displaystyle \alpha _{i}=\lambda _{0}+X_{i1}\lambda _{1}+X_{i2}\lambda _{2}+\dots +X_{iT}\lambda _{T}+e_{i}}

Esto da como resultado la siguiente ecuación:

yit=λ0+Xi1λ1+Xi2λ2+⋯+Xit(λt+β)+⋯+XiTλT+ei+uit{\displaystyle y_{it}=\lambda _{0}+X_{i1}\lambda _{1}+X_{i2}\lambda _{2}+\dots +X_{it}(\lambda _{t}+\mathbf {\beta } )+\dots +X_{iT}\lambda _{T}+e_{i}+u_{it}}

que puede estimarse mediante la estimación de distancia mínima . [ 17 ]

Método de Hausman-Taylor

Es necesario tener más de un regresor variable en el tiempo ( ) y un regresor invariante en el tiempo ( ) y al menos uno y uno que no estén correlacionados con .X{\displaystyle X}Z{\displaystyle Z}X{\displaystyle X}Z{\displaystyle Z}αi{\displaystyle \alpha _{i}}

Particione las variables y de tal manera que donde y no estén correlacionadas con . Se necesita .X{\displaystyle X}Z{\displaystyle Z}X=[X1itTN×K1⋮X2itTN×K2]Z=[Z1itTN×G1⋮Z2itTN×G2]{\displaystyle {\begin{array}{c}X=[{\underset {TN\times K1}{X_{1it}}}\vdots {\underset {TN\times K2}{X_{2it}}}]\\Z=[{\underset {TN\times G1}{Z_{1it}}}\vdots {\underset {TN\times G2}{Z_{2it}}}]\end{array}}}X1{\displaystyle X_{1}}Z1{\displaystyle Z_{1}}αi{\displaystyle \alpha _{i}}K1>G2{\displaystyle K1>G2}

La estimación mediante MCO utilizando y como instrumentos produce una estimación consistente.γ{\displaystyle \gamma }di^=Ziγ+φit{\displaystyle {\widehat {di}}=Z_{i}\gamma +\varphi _{it}}X1{\displaystyle X_{1}}Z1{\displaystyle Z_{1}}

Generalización con incertidumbre de entrada

Cuando existe incertidumbre en los datos de entrada, entonces se debe minimizar el valor, en lugar de la suma de los residuos al cuadrado. [ 18 ] Esto se puede lograr directamente a partir de reglas de sustitución:y{\displaystyle y}δy{\displaystyle \delta y}χ2{\displaystyle \chi ^{2}}

yitδyit=βXitδyit+αi1δyit+uitδyit{\displaystyle {\frac {y_{it}}{\delta y_{it}}}=\mathbf {\beta } {\frac {X_{it}}{\delta y_{it}}}+\alpha _{i}{\frac {1}{\delta y_{it}}}+{\frac {u_{it}}{\delta y_{it}}}},

Entonces, los valores y las desviaciones estándar de y se pueden determinar mediante el análisis clásico de mínimos cuadrados ordinarios y la matriz de varianza-covarianza .β{\displaystyle \mathbf {\beta } }αi{\displaystyle \alpha _{i}}

Se utiliza para comprobar la consistencia.

Los estimadores de efectos aleatorios pueden ser inconsistentes en el límite de series temporales largas si los efectos aleatorios están mal especificados (es decir, si el modelo elegido para los efectos aleatorios es incorrecto). Sin embargo, el modelo de efectos fijos puede seguir siendo consistente en algunas situaciones. Por ejemplo, si la serie temporal que se está modelando no es estacionaria, los modelos de efectos aleatorios que asumen estacionariedad pueden no ser consistentes en el límite de series largas. Un ejemplo de esto es si la serie temporal tiene una tendencia ascendente. Entonces, a medida que la serie se alarga, el modelo revisa al alza las estimaciones de la media de los períodos anteriores, lo que da lugar a predicciones de coeficientes cada vez más sesgadas. Sin embargo, un modelo con efectos de tiempo fijos no combina información a lo largo del tiempo y, como resultado, las estimaciones anteriores no se verán afectadas.

En situaciones como estas, donde se sabe que el modelo de efectos fijos es consistente, se puede usar la prueba de Durbin-Wu-Hausman para comprobar si el modelo de efectos aleatorios elegido es consistente. Si es verdadera, tanto como son consistentes, pero solo es eficiente. Si es verdadera , no se puede garantizar la consistencia de .H0{\displaystyle H_{0}}β^RE{\displaystyle {\widehat {\beta }}_{RE}}β^FE{\displaystyle {\widehat {\beta }}_{FE}}β^RE{\displaystyle {\widehat {\beta }}_{RE}}Ha{\displaystyle H_{a}}β^RE{\displaystyle {\widehat {\beta }}_{RE}}

Véase también

Notas

  1. ↑ Greene, WH, 2011. Análisis econométrico , 7.ª ed., Prentice Hall
  2. ^ Diggle, Peter J.; Heagerty, Patrick; Liang, Kung-Yee; Zeger, Scott L. (2002). Análisis de datos longitudinales (2ª  ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 169-171 . ISBN  0-19-852484-6.
  3. ↑ Fitzmaurice, Garrett M.; Laird, Nan M.; Ware, James H. (2004). Análisis longitudinal aplicado . Hoboken: John Wiley & Sons. págs. 326–328 . ISBN  0-471-21487-6.
  4. ↑ Laird, Nan M.; Ware, James H. (1982). "Modelos de efectos aleatorios para datos longitudinales". Biometrics . 38 (4): 963– 974. doi : 10.2307/2529876 . JSTOR 2529876 . 
  5. ↑ Gardiner, Joseph C.; Luo, Zhehui; Roman, Lee Anne (2009). "Efectos fijos, efectos aleatorios y GEE: ¿Cuáles son las diferencias?". Statistics in Medicine . 28 (2): 221– 239. doi : 10.1002/sim.3478 . PMID 19012297 . S2CID 16277040 .  
  6. 1 2 Gomes, Dylan GE (20 de enero de 2022). "¿Debo usar efectos fijos o efectos aleatorios cuando tengo menos de cinco niveles de un factor de agrupación en un modelo de efectos mixtos?" . PeerJ . 10 e12794. doi : 10.7717/peerj.12794 . PMC 8784019 . PMID 35116198 .  
  7. ↑ Ramsey, F., Schafer, D., 2002. The Statistical Sleuth: A Course in Methods of Data Analysis , 2.ª ed. Duxbury Press
  8. ↑ Cameron, A. Colin; Trivedi, Pravin K. (2005). Microeconometría: Métodos y aplicaciones . Cambridge University Press. págs. 717–19 . ISBN  978-0-521-84805-3.
  9. ↑ Nerlove, Marc (2005). Ensayos sobre econometría de datos de panel . Cambridge University Press. págs. 36–39 . ISBN  978-0-521-02246-0.
  10. ↑ García, Oscar. (1983). "Un modelo de ecuaciones diferenciales estocásticas para el crecimiento en altura de masas forestales". Biometrics . 39 (4): 1059– 1072. doi : 10.2307/2531339 . JSTOR 2531339 . 
  11. ↑ Tait, David; Cieszewski, Chris J.; Bella, Imre E. (1986). "La dinámica de los rodales de pino contorta". Can. J. For. Res . 18 (10): 1255– 1260. doi : 10.1139/x88-193 .
  12. ↑ Strub, Mike; Cieszewski, Chris J. (2006). "Propiedades de invariancia de edad base de dos técnicas para estimar los parámetros de los modelos de índice de sitio". Forest Science . 52 (2): 182– 186. doi : 10.1093/forestscience/52.2.182 .
  13. ↑ Strub, Mike; Cieszewski, Chris J. (2003). Burkhart, HA (ed.). Ajuste de parámetros globales del índice de sitio cuando el índice de sitio de parcela o árbol se trata como un parámetro de perturbación local . Actas del Simposio sobre Estadística y Tecnología de la Información en Silvicultura; 8-12 de septiembre de 2002; Blacksburg, Virginia: Instituto Politécnico y Universidad Estatal de Virginia. págs. 97-107 . 
  14. ↑ Cieszewski, Chris J.; Harrison, Mike; Martin, Stacey W. (2000). "Métodos prácticos para estimar parámetros no sesgados en modelos de crecimiento y rendimiento autorreferenciales" (PDF) . Informe técnico del PMRC . 2000 (7): 12. Archivado del original (PDF) el 4 de marzo de 2016. Recuperado el 24 de diciembre de 2015 .
  15. ↑ Schnute, Jon; McKinnell, Skip (1984). "Un enfoque biológicamente significativo para el análisis de superficies de respuesta". Can. J. Fish. Aquat. Sci . 41 (6): 936– 953. doi : 10.1139/f84-108 .
  16. ↑ Wooldridge, Jeffrey M. (2001). Análisis econométrico de datos de sección transversal y de panel . MIT Press. pp. 279–291 . ISBN  978-0-262-23219-7.
  17. ↑ Chamberlain, Gary (1984). Capítulo 22 Datos de panel . Manual de econometría. Vol. 2. págs. 1247–1318 . doi : 10.1016/S1573-4412(84)02014-6 . ISBN   978-0-444-86186-3ISSN 1573-4412​​ 
  18. ↑ Ren, Bin; Dong, Ruobing; Esposito, Thomas M.; Pueyo, Laurent; Debes, John H.; Poteet, Charles A.; Choquet, Élodie; Benisty, Myriam; Chiang, Eugene; Grady, Carol A.; Hines, Dean C.; Schneider, Glenn; Soummer, Rémi (2018). "Una década de imágenes del disco MWC 758: ¿Dónde están los planetas que impulsan los brazos espirales?" . The Astrophysical Journal Letters . 857 (1): L9. arXiv : 1803.06776 . Bibcode : 2018ApJ...857L...9R . doi : 10.3847/2041-8213/aab7f5 . S2CID 59427417 . 

Referencias

  • Christensen, Ronald (2002). Respuestas planas a preguntas complejas: La teoría de los modelos lineales (Tercera  ed.). Nueva York: Springer. ISBN 0-387-95361-2.
  • Gujarati, Damodar N.; Porter, Dawn C. (2009). «Modelos de regresión con datos de panel». Econometría básica (Quinta  edición internacional). Boston: McGraw-Hill. pp. 591–616 . ISBN  978-007-127625-2.
  • Hsiao, Cheng (2003). «Modelos de efectos fijos» . Análisis de datos de panel (2.ª  ed.). Nueva York: Cambridge University Press. pp. 95–103 . ISBN  0-521-52271-4.
  • Wooldridge, Jeffrey M. (2013). «Estimación de efectos fijos». Econometría introductoria: un enfoque moderno (quinta  edición internacional). Mason, OH: South-Western. pp. 466–474 . ISBN  978-1-111-53439-4.
  • Modelos de efectos fijos y aleatorios
  • Ejemplos de todos los modelos ANOVA y ANCOVA con hasta tres factores de tratamiento, incluyendo bloques aleatorios, parcelas divididas, medidas repetidas y cuadrados latinos, y su análisis en R.
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