Estimador de primera diferencia

En estadística y econometría , el estimador de primera diferencia (FD) es un estimador utilizado para abordar el problema de las variables omitidas con datos de panel . Es consistente bajo los supuestos del modelo de efectos fijos . En ciertas situaciones puede ser más eficiente que el estimador estándar de efectos fijos (o "dentro"), por ejemplo, cuando los términos de error siguen un recorrido aleatorio . ^[1]

El estimador requiere datos sobre una variable dependiente, , y variables independientes, , para un conjunto de unidades individuales y períodos de tiempo . El estimador se obtiene ejecutando una estimación de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) agrupada para una regresión de en . ${\displaystyle y_{it}}$${\displaystyle x_{it}}$${\displaystyle i=1,\puntos ,N}$${\displaystyle t=1,\dots ,T}$${\displaystyle \Delta y_{it}}$${\displaystyle \Delta x_{it}}$

El estimador FD evita el sesgo debido a alguna variable no observada e invariante en el tiempo , utilizando las observaciones repetidas a lo largo del tiempo: ${\displaystyle c_{i}}$

${\displaystyle y_{it}=x_{it}\beta +c_{i}+u_{it},t=1,...T,}$

${\displaystyle y_{it-1}=x_{it-1}\beta +c_{i}+u_{it-1},t=2,...T.}$

Diferenciando las ecuaciones se obtiene:

${\displaystyle \Delta y_{it}=y_{it}-y_{it-1}=\Delta x_{it}\beta +\Delta u_{it},t=2,...T,}$

que elimina lo no observado y elimina el primer período de tiempo. ^{[2] [3]}${\displaystyle c_{i}}$

El estimador FD se obtiene entonces utilizando los términos diferenciados para y en MCO: ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{FD}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}_{FD}=(\Delta X'\Delta X)^{-1}\Delta X'\Delta y=\beta +(\Delta X'\Delta X)^{-1}\Delta X'\Delta u}$

donde y , son notaciones para matrices de variables relevantes. Nótese que se debe cumplir la condición de rango para que sea invertible ( ), donde es el número de regresores. ${\displaystyle X,y,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Delta X'\Delta X}$${\displaystyle {\text{rank}}[\Delta X'\Delta X]=k}$${\displaystyle k}$

Dejar

${\displaystyle \Delta X_{i}=[\Delta X_{i2},\Delta X_{i3},...,\Delta X_{iT}]}$,

y, análogamente,

${\displaystyle \Delta u_{i}=[\Delta u_{i2},\Delta u_{i3},...,\Delta u_{iT}]}$.

Si el término de error es estrictamente exógeno, es decir , por el teorema del límite central , la ley de los grandes números y el teorema de Slutsky , el estimador se distribuye normalmente con varianza asintótica de ${\displaystyle E[u_{it}|x_{i1},x_{i2},..,x_{iT}]=0}$

${\displaystyle {\widehat {\text{Avar}}}({\hat {\beta }}_{FD})=E[\Delta X_{i}'\Delta X_{i}]^{-1}E[\Delta X_{i}'\Delta u_{i}\Delta u_{i}'\Delta X_{i}]E[\Delta X_{i}'\Delta X_{i}]^{-1}}$.

Bajo el supuesto de homocedasticidad y sin correlación serial, , la varianza asintótica se puede estimar como ${\displaystyle {\text{Var}}(\Delta u|X)=\sigma _{\Delta u}^{2}}$

${\displaystyle {\widehat {\text{Avar}}}({\hat {\beta }}_{FD})={\hat {\sigma }}_{\Delta u}^{2}(\Delta X'\Delta X)^{-1},}$

donde , un estimador consistente de , viene dado por ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{u}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{u}^{2}}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\Delta u}^{2}=[n(T-1)-K]^{-1}\sum _{i=1}^{n}\sum _{t=2}^{T}{\widehat {\Delta u_{it}}}^{2}}$

y

${\displaystyle {\widehat {\Delta u_{it}}}=\Delta y_{it}-{\hat {\beta }}_{FD}\Delta x_{it}}$. ^[4]

Para ser imparcial, el estimador de efectos fijos (EF) requiere una exogeneidad estricta, definida como

${\displaystyle E[u_{it}|x_{i1},x_{i2},..,x_{iT}]=0}$.

El estimador de primera diferencia (FD) también es imparcial bajo este supuesto.

Si se viola la exogeneidad estricta, pero el supuesto más débil

${\displaystyle E[(u_{it}-u_{it-1})(x_{it}-x_{it-1})]=0}$

se cumple, entonces el estimador FD es consistente.

Obsérvese que este supuesto es menos restrictivo que el supuesto de exogeneidad estricta que se requiere para la coherencia utilizando el estimador EF cuando es fijo. Si , entonces tanto EF como FD son coherentes bajo el supuesto más débil de exogeneidad contemporánea. ${\displaystyle T}$${\displaystyle T\rightarrow \infty }$

La prueba de Hausman se puede utilizar para probar los supuestos subyacentes a la consistencia de los estimadores EF y FD. ^[5]

Para , los estimadores de FD y de efectos fijos son numéricamente equivalentes. ^[6]${\displaystyle T=2}$

Bajo el supuesto de homocedasticidad y sin correlación serial en , el estimador de EF es más eficiente que el estimador de FD. Esto se debe a que el estimador de FD no induce correlación serial al diferenciar los errores. Sin embargo, si sigue un paseo aleatorio , el estimador de FD es más eficiente ya que no están correlacionados serialmente. ^[7]${\displaystyle u_{it}}$${\displaystyle u_{it}}$${\displaystyle \Delta u_{it}}$

• Análisis factorial
• Análisis de panel
• Modelo de efectos fijos

• Wooldridge, Jeffrey M. (2001). Análisis econométrico de datos de sección transversal y de panel. MIT Press. Págs. 279–291. ISBN. 978-0-262-23219-7. Recuperado el 30 de agosto de 2024 .

• Wooldridge, Jeffrey M. (2013). Introducción a la econometría: un enfoque moderno (PDF) (5.ª ed.). South-Western Cengage Learning. ISBN 978-1-111-53104-1. Recuperado el 30 de agosto de 2024 .