modelo de efectos fijos

Desde${\displaystyle \alpha _{i}}$no es observable, no se puede controlar directamente . El modelo FE elimina${\displaystyle \alpha _{i}}$al eliminar el significado de las variables mediante la transformación WITHIN :

${\displaystyle y_{it}-{\overline {y}}_{i}=\left(X_{it}-{\overline {X}}_{i}\right)\beta +\left(\alpha _{i}-{\overline {\alpha }}_{i}\right)+\left(u_{it}-{\overline {u}}_{i}\right)\implies {\ddot {y}}_{it}={\ddot {X}}_{it}\beta +{\ddot {u}}_{it}}$

dónde${\displaystyle {\overline {y}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits _{t=1}^{T}y_{it}}$,${\displaystyle {\overline {X}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits _{t=1}^{T}X_{it}}$, y${\displaystyle {\overline {u}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits _{t=1}^{T}u_{it}}$.

Desde${\displaystyle \alpha _{i}}$es constante,${\displaystyle {\overline {\alpha _{i}}}=\alpha _{i}}$y por lo tanto se elimina el efecto. El estimador FE${\displaystyle {\hat {\beta }}_{FE}}$se obtiene entonces mediante una regresión MCO de${\displaystyle {\ddot {y}}}$en${\displaystyle {\ddot {X}}}$.

Existen al menos tres alternativas a la transformación interna con variaciones:

• Una opción es agregar una variable ficticia para cada individuo.${\displaystyle i>1}$(omitiendo al primer individuo debido a la multicolinealidad ). Esto es numéricamente, pero no computacionalmente, equivalente al modelo de efectos fijos y solo funciona si la suma del número de series y el número de parámetros globales es menor que el número de observaciones. ^{[ 10 ]} El enfoque de variables ficticias es particularmente exigente en cuanto al uso de memoria de la computadora y no se recomienda para problemas mayores que la RAM disponible y la compilación del programa aplicado pueden soportar.

• La segunda alternativa es utilizar el enfoque de reiteraciones consecutivas para las estimaciones locales y globales. ^{[ 11 ]} Este enfoque es muy adecuado para sistemas con poca memoria, en los que es mucho más eficiente computacionalmente que el enfoque de variables ficticias.

• El tercer enfoque es una estimación anidada en la que la estimación local para cada serie individual se programa como parte de la definición del modelo. ^{[ 12 ]} Este enfoque es el más eficiente en términos de computación y memoria, pero requiere habilidades de programación avanzadas y acceso al código de programación del modelo; sin embargo, puede programarse incluso en SAS. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

Finalmente, cada una de las alternativas anteriores puede mejorarse si la estimación específica de la serie es lineal (dentro de un modelo no lineal), en cuyo caso la solución lineal directa para cada serie individual puede programarse como parte de la definición del modelo no lineal. ^{[ 15 ]}

Una alternativa a la transformación interna es la transformación de primera diferencia , que produce un estimador diferente. Para${\displaystyle t=2,\dots ,T}$:

${\displaystyle y_{it}-y_{i,t-1}=\left(X_{it}-X_{i,t-1}\right)\beta +\left(\alpha _{i}-\alpha _{i}\right)+\left(u_{it}-u_{i,t-1}\right)\implies \Delta y_{it}=\Delta X_{it}\beta +\Delta u_{it}.}$

El estimador FD${\displaystyle {\hat {\beta }}_{FD}}$se obtiene entonces mediante una regresión MCO de${\displaystyle \Delta y_{it}}$en${\displaystyle \Delta X_{it}}$.

Cuando${\displaystyle T=2}$, los estimadores de primera diferencia y de efectos fijos son numéricamente equivalentes. Para${\displaystyle T>2}$, no lo son. Si los términos de error${\displaystyle u_{it}}$son homocedásticos sin autocorrelación , el estimador de efectos fijos es más eficiente que el estimador de primeras diferencias. Si${\displaystyle u_{it}}$sigue un paseo aleatorio , sin embargo, el estimador de primera diferencia es más eficiente. ^{[ 16 ]}

El método de Gary Chamberlain , una generalización del estimador interno, reemplaza${\displaystyle \alpha _{i}}$con su proyección lineal sobre las variables explicativas. Escribiendo la proyección lineal como:

${\displaystyle \alpha _{i}=\lambda _{0}+X_{i1}\lambda _{1}+X_{i2}\lambda _{2}+\dots +X_{iT}\lambda _{T}+e_{i}}$

Esto da como resultado la siguiente ecuación:

${\displaystyle y_{it}=\lambda _{0}+X_{i1}\lambda _{1}+X_{i2}\lambda _{2}+\dots +X_{it}(\lambda _{t}+\mathbf {\beta } )+\dots +X_{iT}\lambda _{T}+e_{i}+u_{it}}$

que puede estimarse mediante la estimación de distancia mínima . ^{[ 17 ]}

Es necesario tener más de un regresor variable en el tiempo (${\displaystyle X}$) y regresor invariante en el tiempo (${\displaystyle Z}$) y al menos uno${\displaystyle X}$y uno${\displaystyle Z}$que no están correlacionados con ${\displaystyle \alpha _{i}}$.

Particionar el${\displaystyle X}$y${\displaystyle Z}$variables tales que${\displaystyle {\begin{array}{c}X=[{\underset {TN\times K1}{X_{1it}}}\vdots {\underset {TN\times K2}{X_{2it}}}]\\Z=[{\underset {TN\times G1}{Z_{1it}}}\vdots {\underset {TN\times G2}{Z_{2it}}}]\end{array}}}$dónde${\displaystyle X_{1}}$y${\displaystyle Z_{1}}$no están correlacionados con${\displaystyle \alpha _{i}}$. Necesidad${\displaystyle K1>G2}$.

Estimación${\displaystyle \gamma }$a través de OLS en${\displaystyle {\widehat {di}}=Z_{i}\gamma +\varphi _{it}}$usando${\displaystyle X_{1}}$y${\displaystyle Z_{1}}$como instrumentos produce una estimación consistente.

Cuando existe incertidumbre en la entrada para el${\displaystyle y}$datos,${\displaystyle \delta y}$, entonces el${\displaystyle \chi ^{2}}$Se debe minimizar el valor, en lugar de la suma de los residuos al cuadrado. ^{[ 18 ]} Esto se puede lograr directamente a partir de reglas de sustitución:

${\displaystyle {\frac {y_{it}}{\delta y_{it}}}=\mathbf {\beta } {\frac {X_{it}}{\delta y_{it}}}+\alpha _{i}{\frac {1}{\delta y_{it}}}+{\frac {u_{it}}{\delta y_{it}}}}$,

luego los valores y desviaciones estándar para${\displaystyle \mathbf {\beta } }$y${\displaystyle \alpha _{i}}$se puede determinar mediante el análisis clásico de mínimos cuadrados ordinarios y la matriz de varianza-covarianza .