Sesgo por variables omitidas

Supongamos que la verdadera relación de causa y efecto viene dada por:

${\displaystyle y=a+bx+cz+u}$

con parámetros a, b, c , variable dependiente y , variables independientes x y z , y término de error u . Deseamos conocer el efecto de x sobre y (es decir, deseamos obtener una estimación de b ).

Para que exista sesgo por variables omitidas en la regresión lineal , deben cumplirse dos condiciones :

• La variable omitida debe ser un determinante de la variable dependiente (es decir, su verdadero coeficiente de regresión no debe ser cero); y
• La variable omitida debe estar correlacionada con una variable independiente especificada en la regresión (es decir, cov( z , x ) no debe ser igual a cero).

Supongamos que omitimos z de la regresión, y supongamos que la relación entre x y z está dada por

${\displaystyle z=d+fx+e}$

con parámetros d , f y término de error e . Sustituyendo la segunda ecuación en la primera se obtiene

${\displaystyle y=(a+cd)+(b+cf)x+(u+ce).}$

Si se realiza una regresión de y sobre x únicamente, se estima esta última ecuación, y el coeficiente de regresión sobre x es en realidad una estimación de ( b  + cf ), que no es simplemente una estimación del efecto directo deseado de x sobre y (que es b ), sino más bien de su suma con el efecto indirecto (el efecto f de x sobre z multiplicado por el efecto c de z sobre y ). Por lo tanto, al omitir la variable z de la regresión, hemos estimado la derivada total de y con respecto a x en lugar de su derivada parcial con respecto a x . Estas difieren si tanto c como f son distintos de cero.  

La dirección y la magnitud del sesgo están contenidas en cf , ya que el efecto buscado es b, pero la regresión estima b+cf . La magnitud del sesgo es el valor absoluto de cf , y la dirección del sesgo es ascendente (hacia un valor más positivo o menos negativo) si cf > 0 (si la dirección de la correlación entre y y z es la misma que entre x y z ), y descendente en caso contrario.

Como ejemplo, consideremos un modelo lineal de la forma

${\displaystyle y_{i}=x_{i}\beta +z_{i}\delta +u_{i},\qquad i=1,\dots ,n}$

dónde

• x _i es un vector fila de 1  × p de valores de p variables independientes observadas en el tiempo i o para el i- ^ésimo participante del estudio;  
• β es un vector columna p  ×  1 de parámetros no observables (los coeficientes de respuesta de la variable dependiente a cada una de las p variables independientes en x _i ) que se van a estimar;
• z _i es un escalar y es el valor de otra variable independiente que se observa en el tiempo i o para el i-  ^ésimo participante del estudio;
• δ es un escalar y es un parámetro no observable (el coeficiente de respuesta de la variable dependiente a z _i ) que debe estimarse;
• u _i es el término de error no observable que ocurre en el tiempo i o para el i-  ^ésimo participante del estudio; es una realización no observada de una variable aleatoria con valor esperado  0 (condicionalmente a x _i y z _i );
• y _i es la observación de la variable dependiente en el tiempo i o para el i-  ^ésimo participante del estudio.

Recopilamos las observaciones de todas las variables con subíndice i = 1, ..., n , y las apilamos una debajo de otra para obtener la matriz X y los vectores Y , Z y U :

${\displaystyle X=\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right]\in \mathbb {R} ^{n\times p},}$

y

${\displaystyle Y=\left[{\begin{array}{c}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{array}}\right],\quad Z=\left[{\begin{array}{c}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{array}}\right],\quad U=\left[{\begin{array}{c}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{array}}\right]\in \mathbb {R} ^{n\times 1}.}$

Si se omite la variable independiente z de la regresión, entonces los valores estimados de los parámetros de respuesta de las otras variables independientes vendrán dados por el cálculo habitual de mínimos cuadrados ,

${\displaystyle {\widehat {\beta }}=(X'X)^{-1}X'Y\,}$

(donde la notación "prima" significa la transpuesta de una matriz y el superíndice -1 es la inversión de la matriz ).

Sustituyendo Y en base al modelo lineal supuesto,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\beta }}&=(X'X)^{-1}X'(X\beta +Z\delta +U)\\&=(X'X)^{-1}X'X\beta +(X'X)^{-1}X'Z\delta +(X'X)^{-1}X'U\\&=\beta +(X'X)^{-1}X'Z\delta +(X'X)^{-1}X'U.\end{aligned}}}$

Al tomar las esperanzas, la contribución del último término es cero; esto se deduce del supuesto de que U no está correlacionado con los regresores X. Al simplificar los términos restantes:

${\displaystyle {\begin{aligned}E[{\widehat {\beta }}\mid X]&=\beta +(X'X)^{-1}E[X'Z\mid X]\delta \\&=\beta +{\text{bias}}.\end{aligned}}}$

El segundo término después del signo igual es el sesgo de la variable omitida en este caso, que es distinto de cero si la variable omitida z está correlacionada con alguna de las variables incluidas en la matriz X (es decir, si X ′ Z no es igual a un vector de ceros). Nótese que el sesgo es igual a la porción ponderada de z _i que es "explicada" por x _i .