Modelo dinámico de efectos no observados

Un modelo dinámico de efectos no observados es un modelo estadístico utilizado en econometría para el análisis de panel . Se caracteriza por la influencia de los valores previos de la variable dependiente sobre su valor actual y por la presencia de variables explicativas no observables .

El término “dinámica” se refiere aquí a la dependencia de la variable dependiente respecto de su historia pasada; esto se utiliza habitualmente para modelar la “dependencia del estado” en economía. Por ejemplo, para una persona que no puede encontrar trabajo este año, será más difícil encontrar trabajo el año que viene porque su falta de trabajo actual será una señal negativa para los empleadores potenciales. “Efectos no observados” significa que una o algunas de las variables explicativas no son observables: por ejemplo, la elección de consumo de un sabor de helado en lugar de otro es una función de la preferencia personal, pero la preferencia no es observable.

En un modelo Tobit de datos de panel , ^{[1] [2]} si el resultado depende parcialmente del historial de resultados previos, este modelo Tobit se denomina "dinámico". Por ejemplo, si tomamos a una persona que encuentra un trabajo con un salario alto este año, le será más fácil encontrar un trabajo con un salario alto el año que viene porque el hecho de que tenga un trabajo con un salario alto este año será una señal muy positiva para los empleadores potenciales. La esencia de este tipo de efecto dinámico es la dependencia del estado del resultado. Los "efectos no observables" aquí se refieren al factor que determina parcialmente el resultado de un individuo pero que no se puede observar en los datos. Por ejemplo, la capacidad de una persona es muy importante en la búsqueda de empleo, pero no es observable para los investigadores. Un modelo Tobit de efectos no observados dinámicos típico se puede representar como ${\displaystyle Y_{i,t}}$${\displaystyle Y_{i,0},\ldots ,Y_{t-1}}$

${\displaystyle Y_{i,t}=Y_{i,t}^{1}[Y_{i,t}>0];}$

${\displaystyle Y_{i,t}=z_{i,t}\delta +\rho y_{i,t-1}+c_{i}+u_{i,t};}$

${\displaystyle c_{i}\mid y_{i,0},\ldots ,y_{i,t-1}\sim F(y_{i,0}x_{i});}$

${\displaystyle u_{i,t}\mid z_{i,t},y_{i,0},\ldots ,y_{i,t-1}\sim N(0,1).}$

En este modelo específico, es la parte del efecto dinámico y es la parte del efecto no observado cuya distribución está determinada por el resultado inicial del individuo i y algunas características exógenas del individuo i.${\displaystyle \rho y_{i,t-1}}$${\displaystyle c_{i}}$

Con base en esta configuración, la función de probabilidad condicional a se puede expresar como ${\displaystyle \{y_{i,0}\}_{i-1}^{N}}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{N}\int f_{\theta }(c_{i}\mid y_{i,0},x_{i})\left[\prod _{t=1}^{T}{\Bigl (}1[y_{i,t}=0][1-\Phi (z_{i,t}\delta +\rho y_{i,t-1}>0]{\frac {\varphi (z_{i,t}\delta +\rho y_{i,t-1}+c_{i})}{\Phi (z_{i,t}\delta +\rho y_{i,t-1}+c_{i})}}{\biggr )}\right]\,dc_{i}}$

Para los valores iniciales , hay dos formas diferentes de tratarlos en la construcción de la función de verosimilitud: tratándolos como constantes o imponiéndoles una distribución y calculando la función de verosimilitud incondicional. Pero cualquiera sea la forma elegida para tratar los valores iniciales en la función de verosimilitud, no podemos deshacernos de la integración dentro de la función de verosimilitud al estimar el modelo mediante la estimación de máxima verosimilitud (MLE). El algoritmo de expectativa máxima (EM) suele ser una buena solución para este problema de cálculo. ^[3] Con base en las estimaciones puntuales consistentes de MLE, se puede calcular el efecto parcial promedio (APE) ^{[4] de manera correspondiente. [5]}${\displaystyle \{y_{i,0}\}_{i-1}^{N}}$

Un modelo típico de efectos dinámicos no observados con una variable dependiente binaria se representa ^[6] como:

${\displaystyle P(y_{it}=1\mid y_{i,t-1},\dots ,y_{i,0},z_{i},c_{i})=G(z_{it}\delta +\rho y_{i,t-1}+c_{i})}$

donde c _i es una variable explicativa no observable, z _it son variables explicativas exógenas condicionales a c _i , y G(∙) es una función de distribución acumulativa .

En este tipo de modelo, los economistas tienen un interés especial en ρ, que se utiliza para caracterizar la dependencia del estado. Por ejemplo, y _i,t puede ser la elección de una mujer de trabajar o no, z _it incluye la edad del i -ésimo individuo, el nivel de educación, el número de hijos y otros factores. c _i puede ser alguna característica específica del individuo que no puede ser observada por los economistas. ^[7] Es una conjetura razonable que la elección laboral de una persona en el período t debería depender de su elección en el período t  − 1 debido a la formación de hábitos u otras razones. Esta dependencia se caracteriza por el parámetro ρ .

Existen varios enfoques basados ​​en MLE para estimar δ y ρ de manera consistente. La forma más simple es tratar y _i,0 como no estocástico y asumir que c _i es independiente de z _i . Luego, al integrar P(y _i,t , y _i,t-1 , … , y _i,1 | y _i,0 , z _i , c _i ) contra la densidad de c _i , podemos obtener la densidad condicional P(y _i,t , y _i,t-1 , ... , y _i,1 | y _i,0 , z _i ). La función objetivo para el MLE condicional se puede representar como: log (P (y _i,t , y _i,t-1 , … , y _i,1 | y _i,0 , z _i )).${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}}$

Tratar y _i,0 como no estocástico supone implícitamente la independencia de y _i,0 en z _i . Pero en la mayoría de los casos en la realidad, y _i,0 depende de c _i y c _i también depende de z _i . Una mejora en el enfoque anterior es suponer una densidad de y _i,0 condicional en ( c _i , z _i ) y se puede obtener la verosimilitud condicional P(y _i,t , y _i,t-1 , … , y _t,1 ,y _i,0 | c _i , z _i ) . Al integrar esta verosimilitud contra la densidad de c _i condicional en z _i , podemos obtener la densidad condicional P(y _i,t , y _i,t-1 , … , y i _,1 , y _i,0 | z _i ) . La función objetivo para el MLE condicional ^[8] es log (P (y _i,t , y _i,t-1 , … , y _i,1 | y _i,0 , z _i )).${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}}$

Con base en las estimaciones de ( δ, ρ ) y la varianza correspondiente, se pueden probar los valores de los coeficientes ^[9] y se puede calcular el efecto parcial promedio. ^[10]