Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Filtro de Kalman extendido

En la teoría de la estimación , el filtro de Kalman extendido ( EKF ) es la versión no lineal del filtro de Kalman que linealiza alrededor de una estimación de la media y la cov...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En la teoría de la estimación , el filtro de Kalman extendido ( EKF ) es la versión no lineal del filtro de Kalman que linealiza alrededor de una estimación de la media y la covarianza actuales . En el caso de modelos de transición bien definidos, el EKF ha sido considerado [ 1 ] el estándar de facto en la teoría de la estimación de estado no lineal , los sistemas de navegación y el GPS . [ 2 ]

Historia

Los artículos que establecieron los fundamentos matemáticos de los filtros de tipo Kalman se publicaron entre 1959 y 1961. [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] Nombrado en honor al matemático , ingeniero e inventor húngaro-estadounidense Rudolf E. Kálmán , el filtro de Kalman es el estimador lineal óptimo para modelos de sistemas lineales con ruido blanco aditivo independiente tanto en el sistema de transición como en el de medición. Desafortunadamente, en ingeniería, la mayoría de los sistemas son no lineales , por lo que se hicieron intentos de aplicar este método de filtrado a sistemas no lineales; la mayor parte de este trabajo se realizó en NASA Ames . [ 6 ] [ 7 ] El EKF adaptó técnicas del cálculo , a saber, expansiones de series de Taylor multivariadas , para linealizar un modelo alrededor de un punto de trabajo. Si el modelo del sistema (como se describe a continuación) no es bien conocido o es inexacto, entonces se emplean métodos de Monte Carlo , especialmente filtros de partículas , para la estimación. Las técnicas de Monte Carlo son anteriores a la existencia del EKF, pero son computacionalmente más costosas para cualquier espacio de estados de dimensión moderada .

Formulación

En el filtro de Kalman extendido, los modelos de transición de estado y de observación no tienen por qué ser funciones lineales del estado, sino que pueden ser funciones diferenciables .

incógnitak=F(incógnitak−1,túk−1)+wk−1{\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k}=f({\boldsymbol {x}}_{k-1},{\boldsymbol {u}}_{k-1})+{\boldsymbol {w}}_{k-1}}
zk=h(incógnitak)+vk{\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{k}=h({\boldsymbol {x}}_{k})+{\boldsymbol {v}}_{k}}

Aquí , w k y v k son los ruidos de proceso y de observación, los cuales se suponen ruidos gaussianos multivariados de media cero con covarianza Q k y R k respectivamente. u k es el vector de control.

La función f se puede usar para calcular el estado predicho a partir de la estimación anterior, y de manera similar, la función h se puede usar para calcular la medición predicha a partir del estado predicho. Sin embargo, f y h no se pueden aplicar directamente a la covarianza. En su lugar, se calcula una matriz de derivadas parciales (el jacobiano ).

En cada paso de tiempo, la matriz jacobiana se evalúa con los estados predichos actuales. Estas matrices se pueden utilizar en las ecuaciones del filtro de Kalman. Este proceso linealiza la función no lineal en torno a la estimación actual.

Consulte el artículo sobre el filtro de Kalman para obtener información sobre la notación.

Ecuaciones de predicción y actualización en tiempo discreto

Notaciónincógnita^norte∣metro{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{n\mid m}}representa la estimación deincógnita{\displaystyle \mathbf {x} }en el instante n dadas las observaciones hasta el instante m ≤ n inclusive .

Predecir

Actualizar

donde las matrices de transición de estado y de observación se definen como los siguientes jacobianos.

Fk=∂F∂incógnita|incógnita^k−1|k−1,túk−1{\displaystyle {{\boldsymbol {F}}_{k}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {x}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k-1|k-1},{\boldsymbol {u}}_{k-1}}}
Hk=∂h∂incógnita|incógnita^k|k−1{\displaystyle {{\boldsymbol {H}}_{k}}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\boldsymbol {x}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}}}

Desventajas y alternativas

A diferencia de su contraparte lineal, el filtro de Kalman extendido generalmente no es un estimador óptimo (es óptimo si tanto la medición como el modelo de transición de estado son lineales, ya que en ese caso el filtro de Kalman extendido es idéntico al regular). Además, si la estimación inicial del estado es incorrecta, o si el proceso se modela incorrectamente, el filtro puede divergir rápidamente debido a su linealización. Otro problema con el filtro de Kalman extendido es que la matriz de covarianza estimada tiende a subestimar la matriz de covarianza real y, por lo tanto, corre el riesgo de volverse inconsistente en el sentido estadístico sin la adición de "ruido estabilizador". [ 8 ]

De manera más general, se debe considerar la naturaleza de dimensión infinita del problema de filtrado no lineal y la insuficiencia de un estimador simple de media y varianza-covarianza para representar completamente el filtro óptimo. También debe señalarse que el filtro de Kalman extendido puede dar malos resultados incluso para sistemas unidimensionales muy simples como el sensor cúbico, [ 9 ] donde el filtro óptimo puede ser bimodal [ 10 ] y como tal no puede representarse eficazmente mediante un único estimador de media y varianza, que tiene una estructura rica, o de manera similar para el sensor cuadrático. [ 11 ] En tales casos, se han estudiado los filtros de proyección como alternativa, habiéndose aplicado también a la navegación. [ 12 ] Otros métodos generales de filtrado no lineal, como los filtros de partículas completos , pueden considerarse en este caso.

Dicho esto, el filtro de Kalman extendido puede ofrecer un rendimiento razonable y, sin duda, es el estándar de facto en los sistemas de navegación y GPS.

Generalizaciones

Filtro de Kalman extendido de tiempo continuo

Modelo

incógnita˙(t)=F(incógnita(t),tú(t))z(t)=h(incógnita(t))(t){\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=f{\bigl (}\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t){\bigr )}\\\mathbf {z} (t)&=h{\bigl (}\mathbf {x} (t){\bigr )}(t)\end{alineado}}}

Inicializar

incógnita^(t0)=mi[incógnita(t0)], PAG(t0)=Var[incógnita(t0)]{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}(t_{0})=E{\bigl [}\mathbf {x} (t_{0}){\bigr ]}{\text{, }}\mathbf {P} (t_{0})=Var{\bigl [}\mathbf {x} (t_{0}){\bigr ]}}

Predecir-Actualizar

incógnita^˙(t)=F(incógnita^(t),tú(t))+K(t)(z(t)−h(incógnita^(t)))PAG˙(t)=F(t)PAG(t)+PAG(t)F(t)T−K(t)H(t)PAG(t)+Q(t)K(t)=PAG(t)H(t)TS(t)−1F(t)=∂F∂incógnita|incógnita^(t),tú(t)H(t)=∂h∂incógnita|incógnita^(t){\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)&=f{\bigl (}{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t){\bigr )}+\mathbf {K} (t){\Bigl (}\mathbf {z} (t)-h{\bigl (}{\hat {\mathbf {x} }}(t){\bigr )}{\Bigr )}\\{\dot {\mathbf {P} }}(t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {P} (t)\mathbf {F} (t)^{T}-\mathbf {K} (t)\mathbf {H} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {Q} (t)\\\mathbf {K} (t)&=\mathbf {P} (t)\mathbf {H} (t)^{T}\mathbf {S} (t)^{-1}\\\mathbf {F} (t)&=\left.{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\right\vert _{{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t)}\\\mathbf {H} (t)&=\left.{\frac {\partial h}{\partial \mathbf {x} }}\right\vert _{{\hat {\mathbf {x} }}(t)}\end{aligned}}}

A diferencia del filtro de Kalman extendido de tiempo discreto, los pasos de predicción y actualización están acoplados en el filtro de Kalman extendido de tiempo continuo. [ 13 ]

Mediciones de tiempo discreto

La mayoría de los sistemas físicos se representan como modelos de tiempo continuo, mientras que las mediciones de tiempo discreto se toman frecuentemente para la estimación del estado a través de un procesador digital. Por lo tanto, el modelo del sistema y el modelo de medición vienen dados por

incógnita˙(t)=F(incógnita(t),tú(t))+w(t)w(t)∼norte(0,Q(t))zk=h(incógnitak)+vkvk∼norte(0,Rk){\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=f{\bigl (}\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t){\bigr )}+\mathbf {w} (t)&\mathbf {w} (t)&\sim {\mathcal {N}}{\bigl (}\mathbf {0} ,\mathbf {Q} (t){\bigr )}\\\mathbf {z} _{k}&=h(\mathbf {x} _{k})+\mathbf {v} _{k}&\mathbf {v} _{k}&\sim {\mathcal {N}}(\mathbf {0} ,\mathbf {R} _{k})\end{aligned}}}

dóndeincógnitak=incógnita(tk){\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {x} (t_{k})}.

Inicializar

incógnita^0|0=mi[incógnita(t0)],PAG0|0=mi[(incógnita(t0)−incógnita^(t0))(incógnita(t0)−incógnita^(t0))T]{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0|0}=E{\bigl [}\mathbf {x} (t_{0}){\bigr ]},\mathbf {P} _{0|0}=E{\bigl [}\left(\mathbf {x} (t_{0})-{\hat {\mathbf {x} }}(t_{0})\right)\left(\mathbf {x} (t_{0})-{\hat {\mathbf {x} }}(t_{0})\right)^{T}{\bigr ]}}

Predecir

resolver {incógnita^˙(t)=F(incógnita^(t),tú(t))PAG˙(t)=F(t)PAG(t)+PAG(t)F(t)T+Q(t)con {incógnita^(tk−1)=incógnita^k−1|k−1PAG(tk−1)=PAGk−1|k−1⇒{incógnita^k|k−1=incógnita^(tk)PAGk|k−1=PAG(tk){\displaystyle {\begin{aligned}{\text{solve }}&{\begin{cases}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)=f{\bigl (}{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t){\bigr )}\\{\dot {\mathbf {P} }}(t)=\mathbf {F} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {P} (t)\mathbf {F} (t)^{T}+\mathbf {Q} (t)\end{cases}}\qquad {\text{with }}{\begin{cases}{\hat {\mathbf {x} }}(t_{k-1})={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1|k-1}\\\mathbf {P} (t_{k-1})=\mathbf {P} _{k-1|k-1}\end{cases}}\\\Rightarrow &{\begin{cases}{\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}={\hat {\mathbf {x} }}(t_{k})\\\mathbf {P} _{k|k-1}=\mathbf {P} (t_{k})\end{cases}}\end{aligned}}}

dónde

F(t)=∂F∂incógnita|incógnita^(t),tú(t){\displaystyle \mathbf {F} (t)=\left.{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\right\vert _{{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t)}}

Actualizar

Kk=PAGk|k−1HkT(HkPAGk|k−1HkT+Rk)−1{\displaystyle \mathbf {K} _{k}=\mathbf {P} _{k|k-1}\mathbf {H} _{k}^{T}{\bigl (}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k|k-1}\mathbf {H} _{k}^{T}+\mathbf {R} _{k}{\bigr )}^{-1}}
incógnita^k|k=incógnita^k|k−1+Kk(zk−h(incógnita^k|k−1)){\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k|k}={\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}+\mathbf {K} _{k}{\bigl (}\mathbf {z} _{k}-h({\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}){\bigr )}}
PAGk|k=(I−KkHk)PAGk|k−1{\displaystyle \mathbf {P} _{k|k}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})\mathbf {P} _{k|k-1}}

dónde

Hk=∂h∂incógnita|incógnita^k|k−1{\displaystyle {\textbf {H}}_{k}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\textbf {x}}}}\right\vert _{{\hat {\textbf {x}}}_{k|k-1}}}

Las ecuaciones de actualización son idénticas a las del filtro de Kalman extendido de tiempo discreto. [ 14 ]

Filtros de Kalman extendidos de orden superior

La recursión anterior corresponde a un filtro de Kalman extendido (FKE) de primer orden. Se pueden obtener FKE de orden superior conservando más términos de las expansiones en serie de Taylor. Por ejemplo, se han descrito FKE de segundo y tercer orden. [ 14 ] Sin embargo, los FKE de orden superior tienden a ofrecer beneficios de rendimiento únicamente cuando el ruido de medición es pequeño.

Formulación y ecuaciones de ruido no aditivo

La formulación típica del EKF implica la suposición de ruido aditivo de proceso y medición. Sin embargo, esta suposición no es necesaria para la implementación del EKF. [ 15 ] En cambio, consideremos un sistema más general de la forma:

incógnitak=F(incógnitak−1,túk−1,wk−1){\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k}=f({\boldsymbol {x}}_{k-1},{\boldsymbol {u}}_{k-1},{\boldsymbol {w}}_{k-1})}
zk=h(incógnitak,vk){\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{k}=h({\boldsymbol {x}}_{k},{\boldsymbol {v}}_{k})}

Aquí , w k y v k son los ruidos del proceso y de la observación, que se suponen ruidos gaussianos multivariados de media cero con covarianza Q k y R k respectivamente. Entonces, las ecuaciones de predicción e innovación de la covarianza se convierten en:

PAGk|k−1=Fk−1PAGk−1|k−1Fk−1T+Lk−1Qk−1Lk−1T{\displaystyle {\boldsymbol {P}}_{k|k-1}={{\boldsymbol {F}}_{k-1}}{{\boldsymbol {P}}_{k-1|k-1}}{{\boldsymbol {F}}_{k-1}^{T}}{+}{{\boldsymbol {L}}_{k-1}}{{\boldsymbol {Q}}_{k-1}}{{\boldsymbol {L}}_{k-1}^{T}}}
Sk=HkPAGk|k−1HkT+METROkRkMETROkT{\displaystyle {\boldsymbol {S}}_{k}={{\boldsymbol {H}}_{k}}{{\boldsymbol {P}}_{k|k-1}}{{\boldsymbol {H}}_{k}^{T}}{+}{{\boldsymbol {M}}_{k}}{{\boldsymbol {R}}_{k}}{{\boldsymbol {M}}_{k}^{T}}}

donde las matricesLk−1{\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{k-1}}yMETROk{\displaystyle {\boldsymbol {M}}_{k}}son matrices jacobianas:

Lk−1=∂F∂w|incógnita^k−1|k−1,túk−1{\displaystyle {{\boldsymbol {L}}_{k-1}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {w}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k-1|k-1},{\boldsymbol {u}}_{k-1}}}
METROk=∂h∂v|incógnita^k|k−1{\displaystyle {{\boldsymbol {M}}_{k}}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}}}

La estimación del estado previsto y el residuo de medición se evalúan en el valor medio de los términos de ruido del proceso y de la medición, que se supone cero. En caso contrario, la formulación de ruido no aditivo se implementa de la misma manera que el filtro de Kalman extendido (EKF) de ruido aditivo.

Filtro de Kalman extendido implícito

En ciertos casos, el modelo de observación de un sistema no lineal no se puede resolver parazk{\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{k}}, pero puede expresarse mediante la función implícita :

h(incógnitak,z′k)=0{\displaystyle h({\boldsymbol {x}}_{k},{\boldsymbol {z'}}_{k})={\boldsymbol {0}}}

dóndezk=z′k+vk{\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{k}={\boldsymbol {z'}}_{k}+{\boldsymbol {v}}_{k}}son las observaciones ruidosas.

El filtro de Kalman extendido convencional se puede aplicar con las siguientes sustituciones: [ 16 ] [ 17 ]

Rk←JkRkJkT{\displaystyle {{\boldsymbol {R}}_{k}}\leftarrow {{\boldsymbol {J}}_{k}}{{\boldsymbol {R}}_{k}}{{\boldsymbol {J}}_{k}^{T}}}
y~k←−h(incógnita^k|k−1,zk){\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {y}}}_{k}\leftarrow -h({\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1},{\boldsymbol {z}}_{k})}

dónde:

Jk=∂h∂z|incógnita^k|k−1,zk{\displaystyle {{\boldsymbol {J}}_{k}}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\boldsymbol {z}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1},{\boldsymbol {z}}_{k}}}

Aquí la matriz de covarianza de observación originalRk{\displaystyle {{\boldsymbol {R}}_{k}}}se transforma y la innovacióny~k{\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {y}}}_{k}}se define de manera diferente. La matriz jacobianaHk{\displaystyle {{\boldsymbol {H}}_{k}}}se define como antes, pero se determina a partir del modelo de observación implícito.h(incógnitak,zk){\displaystyle h({\boldsymbol {x}}_{k},{\boldsymbol {z}}_{k})}.

Modificaciones y alternativas

Filtro de Kalman extendido iterativo

El filtro de Kalman extendido iterado mejora la linealización del filtro de Kalman extendido modificando recursivamente el punto central de la expansión de Taylor. Esto reduce el error de linealización a costa de mayores requisitos computacionales. [ 17 ]

Filtro de Kalman extendido robusto

El filtro de Kalman extendido robusto surge al linealizar el modelo de señal alrededor de la estimación del estado actual y utilizar el filtro de Kalman lineal para predecir la siguiente estimación. Esto intenta producir un filtro óptimo local; sin embargo, no es necesariamente estable, ya que no se garantiza que las soluciones de la ecuación de Riccati subyacente sean definidas positivas. Una forma de mejorar el rendimiento es la técnica de Riccati pseudoalgebraica [ 18 ] , que sacrifica la optimalidad en aras de la estabilidad. Se conserva la estructura familiar del filtro de Kalman extendido, pero la estabilidad se logra seleccionando una solución definida positiva para una ecuación de Riccati pseudoalgebraica en el diseño de la ganancia.

Otra forma de mejorar el rendimiento del filtro de Kalman extendido es emplear los resultados H-infinito del control robusto . Los filtros robustos se obtienen añadiendo un término definido positivo a la ecuación de Riccati de diseño. [ 19 ] El término adicional se parametriza mediante un escalar que el diseñador puede ajustar para lograr un equilibrio entre los criterios de rendimiento de error cuadrático medio y error máximo.

Filtro de Kalman extendido invariante

El filtro de Kalman extendido invariante (IEKF) es una versión modificada del EKF para sistemas no lineales que poseen simetrías (o invariancias ). Combina las ventajas tanto del EKF como de los filtros que preservan la simetría, introducidos recientemente . En lugar de utilizar un término de corrección lineal basado en un error de salida lineal, el IEKF utiliza un término de corrección adaptado geométricamente basado en un error de salida invariante; de ​​la misma manera, la matriz de ganancia no se actualiza a partir de un error de estado lineal, sino de un error de estado invariante. La principal ventaja es que las ecuaciones de ganancia y covarianza convergen a valores constantes en un conjunto mucho mayor de trayectorias que los puntos de equilibrio, como ocurre con el EKF, lo que resulta en una mejor convergencia de la estimación.

Filtros Kalman sin perfume

Un filtro de Kalman no lineal que promete mejorar el EKF es el filtro de Kalman sin aroma (UKF). En el UKF, la densidad de probabilidad se aproxima mediante un muestreo determinista de puntos que representan la distribución subyacente como una gaussiana . La transformación no lineal de estos puntos tiene como objetivo estimar la distribución posterior , cuyos momentos se pueden derivar a partir de las muestras transformadas. Esta transformación se conoce como transformación sin aroma . El UKF tiende a ser más robusto y preciso que el EKF en la estimación del error en todas las direcciones.

"El filtro de Kalman extendido (EKF) es probablemente el algoritmo de estimación más utilizado para sistemas no lineales. Sin embargo, más de 35 años de experiencia en la comunidad de estimación han demostrado que es difícil de implementar, difícil de ajustar y solo fiable para sistemas que son casi lineales en la escala temporal de las actualizaciones. Muchas de estas dificultades se derivan de su uso de la linealización." [ 1 ]

Un artículo de 2012 incluye resultados de simulación que sugieren que algunas variantes publicadas del UKF no son tan precisas como el Filtro de Kalman Extendido de Segundo Orden (SOEKF), también conocido como filtro de Kalman aumentado. [ 20 ] El SOEKF es anterior al UKF en aproximadamente 35 años con la dinámica de momentos descrita por primera vez por Bass et al. [ 21 ] La dificultad en implementar cualquier filtro de tipo Kalman para transiciones de estado no lineales proviene de los problemas de estabilidad numérica requeridos para la precisión, [ 22 ] sin embargo, el UKF no escapa a esta dificultad ya que también utiliza linealización, es decir, regresión lineal . Los problemas de estabilidad para el UKF generalmente provienen de la aproximación numérica a la raíz cuadrada de la matriz de covarianza, mientras que los problemas de estabilidad tanto para el EKF como para el SOEKF provienen de posibles problemas en la aproximación de la Serie de Taylor a lo largo de la trayectoria.

Filtro de Kalman de conjunto

El filtro UKF fue, de hecho, precedido por el filtro de Kalman de conjunto , inventado por Evensen en 1994. Tiene la ventaja sobre el UKF de que el número de miembros del conjunto utilizados puede ser mucho menor que la dimensión del estado, lo que permite aplicaciones en sistemas de muy alta dimensión, como la predicción meteorológica , con tamaños de espacio de estados de mil millones o más.

Filtro de Kalman difuso

Recientemente se propuso un filtro de Kalman difuso con un nuevo método para representar distribuciones de posibilidad para reemplazar las distribuciones de probabilidad por distribuciones de posibilidad con el fin de obtener un filtro posibilístico genuino, lo que permite el uso de ruidos de proceso y observación no simétricos, así como mayores imprecisiones en ambos modelos de proceso y observación. [ 23 ]

Véase también

Referencias

  1. 1 2 Julier, SJ; Uhlmann, JK (2004). "Filtrado sin aroma y estimación no lineal" (PDF) . Actas del IEEE . 92 (3): 401– 422. Bibcode : 2004IEEEP..92..401J . doi : 10.1109/jproc.2003.823141 . S2CID 9614092 . 
  2. ↑ Cursos, E.; Encuestas, T. (2006). «Filtros de punto sigma: una visión general con aplicaciones a la navegación integrada y el control asistido por visión». Taller de procesamiento de señales estadísticas no lineales de la IEEE de 2006. págs. 201–202 . doi : 10.1109/NSSPW.2006.4378854 . ISBN  978-1-4244-0579-4. S2CID 18535558 . 
  3. ↑ RE Kalman (1960). "Contribuciones a la teoría del control óptimo". Bol. Soc. Mat. Mexicana : 102– 119. CiteSeerX 10.1.1.26.4070 . 
  4. ↑ RE Kalman (1960). "Un nuevo enfoque para problemas de filtrado y predicción lineal" (PDF) . Journal of Basic Engineering . 82 : 35–45 . doi : 10.1115/1.3662552 . S2CID 1242324 . 
  5. ↑ RE Kalman; RS Bucy (1961). "Nuevos resultados en filtrado lineal y teoría de predicción" (PDF) . Journal of Basic Engineering . 83 : 95–108 . doi : 10.1115/1.3658902 . S2CID 8141345 . 
  6. ↑ Bruce A. McElhoe (1966). "Una evaluación de la navegación y las correcciones de rumbo para un sobrevuelo tripulado de Marte o Venus". IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems . 2 (4): 613– 623. Bibcode : 1966ITAES...2..613M . doi : 10.1109/TAES.1966.4501892 . S2CID 51649221 . 
  7. ↑ GL Smith; SF Schmidt y LA McGee (1962). "Aplicación de la teoría de filtros estadísticos a la estimación óptima de posición y velocidad a bordo de un vehículo circumlunar" . Administración Nacional de Aeronáutica y del Espacio.
  8. ↑ Huang, Guoquan P; Mourikis, Anastasios I; Roumeliotis, Stergios I (2008). "Análisis y mejora de la consistencia del SLAM basado en el filtro de Kalman extendido". 2008 IEEE International Conference on Robotics and Automation . pp. 473–479 . doi : 10.1109/ROBOT.2008.4543252 . ISBN  978-1-4244-1646-2.
  9. ↑ Hazewinkel, M. ; Marcus, SI; Sussmann, HJ (1983). "Noexistencia de filtros de dimensión finita para estadísticas condicionales del problema del sensor cúbico" . Systems & Control Letters . 3 (6): 331– 340. doi : 10.1016/0167-6911(83)90074-9 .
  10. ↑ Brigo, Damiano ; Hanzon, Bernard; LeGland, Francois (1998). "Un enfoque geométrico diferencial para el filtrado no lineal: el filtro de proyección" (PDF) . IEEE Transactions on Automatic Control . 43 (2): 247– 252. Bibcode : 1998ITAC...43..247B . doi : 10.1109/9.661075 .
  11. ↑ Armstrong, John; Brigo, Damiano (2016). "Filtrado no lineal mediante proyección de EDP estocástica en variedades de mezcla en métrica directa L2". Matemáticas de Control, Señales y Sistemas . 28 (1): 1– 33. arXiv : 1303.6236 . Bibcode : 2016MCSS...28....5A . doi : 10.1007/s00498-015-0154-1 . hdl : 10044/1/30130 . S2CID 42796459 . 
  12. ^ Azimi-Sadjadi, Babak; Krishnaprasad, PS (2005). "Filtrado no lineal aproximado y su aplicación en la navegación". Automática . 41 (6): 945– 956. doi : 10.1016/j.automatica.2004.12.013 .
  13. ↑ Brown, Robert Grover; Hwang, Patrick YC (1997). Introducción a las señales aleatorias y al filtrado de Kalman aplicado (3.ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. págs. 289-293 . ISBN   978-0-471-12839-7.
  14. 1 2 Einicke, GA (2019). Suavizado, filtrado y predicción: estimación del pasado, presente y futuro (2.ª ed.) . Amazon Prime Publishing. ISBN 978-0-6485115-0-2.
  15. ↑ Simon, Dan (2006). Estimación óptima del estado . Hoboken, NJ: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-70858-2.
  16. ↑ Quan, Quan (2017). Introducción al diseño y control de multicópteros . Singapur: Springer. ISBN 978-981-10-3382-7.
  17. 1 2 Zhang, Zhengyou (1997). "Técnicas de estimación de parámetros: un tutorial con aplicación al ajuste cónico" (PDF) . Image and Vision Computing . 15 (1): 59– 76. doi : 10.1016/s0262-8856(96)01112-2 . ISSN 0262-8856 . 
  18. ↑ Einicke, GA; White, LB; Bitmead, RR (septiembre de 2003). "El uso de ecuaciones de Riccati algebraicas falsas para la demodulación de cocanal". IEEE Transactions on Signal Processing . 51 (9): 2288– 2293. Bibcode : 2003ITSP...51.2288E . doi : 10.1109/tsp.2003.815376 . hdl : 2440/2403 .
  19. ↑ Einicke, GA; White, LB (septiembre de 1999). "Filtrado de Kalman extendido robusto". IEEE Transactions on Signal Processing . 47 (9): 2596– 2599. Bibcode : 1999ITSP...47.2596E . doi : 10.1109/78.782219 .
  20. ↑ Gustafsson, F.; Hendeby, G. (febrero de 2012). "Algunas relaciones entre filtros de Kalman extendidos y sin aroma" . IEEE Transactions on Signal Processing . 60 (2): 545– 555. Bibcode : 2012ITSP...60..545G . doi : 10.1109/TSP.2011.2172431 .
  21. ↑ Bass, R.; Norum, V.; Schwartz, L. (1966). "Filtrado no lineal multicanal óptimo" . Journal of Mathematical Analysis and Applications . 16 : 152–164 . doi : 10.1016/0022-247X(66)90193-4 .
  22. ↑ Mohinder S. Grewal; Angus P. Andrews (2 de febrero de 2015). Filtrado de Kalman: Teoría y práctica con MATLAB . John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-98496-3.
  23. ↑ Matía, F.; Jiménez, V.; Alvarado, BP; Haber, R. (enero de 2021). "El filtro de Kalman difuso: mejorando su implementación mediante la reformulación de la representación de la incertidumbre". Fuzzy Sets and Systems . 402 : 78–104 . doi : 10.1016/j.fss.2019.10.015 . S2CID 209913435 . 

Lecturas adicionales

  • Anderson, BDO; Moore, JB (1979). Filtrado óptimo (PDF) . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-638122-7.
  • Gelb, A. (1974). Estimación óptima aplicada . Prensa del MIT. ISBN 978-0-262-57048-0.
  • Jazwinski, Andrew H. (1970). Procesos estocásticos y filtrado . Matemáticas en ciencia e ingeniería. Nueva York: Academic Press . pp. 376. ISBN  978-0-12-381550-7.
  • Maybeck, Peter S. (1979). Modelos estocásticos, estimación y control . Matemáticas en ciencia e ingeniería. Vol. 141–1 . Nueva York: Academic Press . pág. 423. ISBN   978-0-12-480701-3.
  • "Estimación de la posición de un robot con ruedas diferenciales basada en odometría y puntos de referencia" . Laboratorio Correll . Archivado del original el 19 de enero de 2012.