Número épsilon

En matemáticas , los números épsilon son una colección de números transfinitos cuya propiedad definitoria es que son puntos fijos de una aplicación exponencial . En consecuencia, no se pueden alcanzar desde 0 mediante una serie finita de aplicaciones de la aplicación exponencial elegida y de operaciones "más débiles" como la suma y la multiplicación. Los números épsilon originales fueron introducidos por Georg Cantor en el contexto de la aritmética ordinal ; son los números ordinales ε que satisfacen la ecuación$${\displaystyle \varepsilon =\omega ^{\varepsilon },}$$ en la que ω es el ordinal infinito más pequeño.

El ordinal más pequeño de este tipo es ε ₀ (pronunciado epsilon naught (principalmente británico), epsilon naught (principalmente americano) o epsilon zero ), que puede verse como el "límite" obtenido por recursión transfinita a partir de una secuencia de ordinales límite más pequeños: $${\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=\sup \left\{\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \right\},}$$ donde sup es el supremo , que es equivalente a la unión de conjuntos en el caso de la representación de von Neumann de los ordinales.

Los puntos fijos ordinales más grandes del mapa exponencial se indexan mediante subíndices ordinales, lo que resulta en${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots ,\varepsilon _{\omega },\varepsilon _{\omega +1},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{1}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\cdot _{\cdot _{\cdot }}}}},\ldots \zeta _{0}=\varphi _{2}(0)}$. ^{[ 1 ]} El ordinal ε ₀ sigue siendo contable , al igual que cualquier número épsilon cuyo índice sea contable. También existen ordinales no contables , junto con números épsilon no contables cuyo índice es un ordinal no contable.

El número épsilon más pequeño ε ₀ aparece en muchas demostraciones por inducción , porque para muchos propósitos la inducción transfinita solo se requiere hasta ε ₀ (como en la demostración de consistencia de Gentzen y la demostración del teorema de Goodstein ). Su uso por Gentzen para demostrar la consistencia de la aritmética de Peano , junto con el segundo teorema de incompletitud de Gödel , muestran que la aritmética de Peano no puede demostrar la buena fundamentación de este ordenamiento (de hecho, es el ordinal más pequeño con esta propiedad y, como tal, en el análisis ordinal de la teoría de la demostración , se utiliza como una medida de la fuerza de la teoría de la aritmética de Peano).

Se pueden definir muchos números épsilon más grandes utilizando la función de Veblen .

John Horton Conway y Donald Knuth identificaron una clase más general de números épsilon en el sistema de números surrealistas , que consiste en todos los surrealistas que son puntos fijos del mapa exponencial de base ω x → ω ^x .

Hessenberg (1906) definió los números gamma (véase ordinal aditivamente indescomponible ) como números γ > 0 tales que α + γ = γ siempre que α < γ , y los números delta (véase ordinal multiplicativamente indescomponible ) como números δ > 1 tales que αδ = δ siempre que 0 < α < δ , y los números épsilon como números ε > 2 tales que α ^ε = ε siempre que 1 < α < ε . Sus números gamma son los de la forma ω ^β , y sus números delta son los de la forma ω ^{ω β} .

La definición estándar de exponenciación ordinal con base α es:

• ${\displaystyle \alpha ^{0}=1\,,}$
• ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\alpha ^{\beta -1}\cdot \alpha \,,}$cuando${\displaystyle \beta }$tiene un predecesor inmediato${\displaystyle \beta -1}$.
• ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\sup \lbrace \alpha ^{\delta }\mid 0<\delta <\beta \rbrace }$, cuando sea${\displaystyle \beta }$es un ordinal límite .

De esta definición se deduce que para cualquier ordinal fijo α > 1 , la aplicación${\displaystyle \beta \mapsto \alpha ^{\beta }}$ es una función normal , por lo que tiene puntos fijos arbitrariamente grandes según el lema del punto fijo para funciones normales . Cuando${\displaystyle \alpha =\omega }$Estos puntos fijos son precisamente los números épsilon ordinales.

• ${\displaystyle \varepsilon _{0}=\sup \left\lbrace 1,\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\ldots \right\rbrace \,,}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{\beta }=\sup \left\lbrace {\varepsilon _{\beta -1}+1},\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1},\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1}},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1}}},\ldots \right\rbrace \,,}$cuando${\displaystyle \beta }$tiene un predecesor inmediato${\displaystyle \beta -1}$.
• ${\displaystyle \varepsilon _{\beta }=\sup \lbrace \varepsilon _{\delta }\mid \delta <\beta \rbrace }$, cuando sea${\displaystyle \beta }$es un ordinal límite.

Porque

${\displaystyle \omega ^{\varepsilon _ {0}+1}=\omega ^{\varepsilon _ {0}}\cdot \omega ^{1}=\varepsilon _ {0}\cdot \omega \,,}$

${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}=\omega ^{(\varepsilon _{0}\cdot \omega )}={(\omega ^{\varepsilon _{0}})}^{\omega }=\varepsilon _{0}^{\omega }\,,}$

${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}^{1+\omega }}=\omega ^{(\varepsilon _{0}\cdot {\varepsilon _{0}}^{\omega })}={(\omega ^{\varepsilon _{0}})}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}={\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}\,,}$

una secuencia diferente con el mismo supremo,${\displaystyle \varepsilon _{1}}$, se obtiene partiendo de 0 y exponenciando con base ε ₀ en su lugar:

${\displaystyle \varepsilon _{1}=\sup \left\{1,\varepsilon _{0},{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}},{\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}}},\ldots \right\}.}$

Generalmente, el número épsilon${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$indexado por cualquier ordinal que tenga un predecesor inmediato${\displaystyle \beta -1}$se puede construir de forma similar.

${\displaystyle \varepsilon _{\beta }=\sup \left\{1,\varepsilon _{\beta -1},\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}},\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}}},\dots \right\}.}$

En particular, si el índice β es o no un ordinal límite,${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$es un punto fijo no solo de la exponenciación en base ω sino también de la exponenciación en base δ para todos los ordinales.${\displaystyle 1<\delta <\varepsilon _{\beta }}$.

Dado que los números épsilon son una subclase no acotada de los números ordinales, se enumeran utilizando los propios números ordinales. Para cualquier número ordinal${\displaystyle \beta }$,${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$es el menor número épsilon (punto fijo del mapa exponencial) que no está ya en el conjunto${\displaystyle \{\varepsilon _{\delta }\mid \delta <\beta \}}$Podría parecer que este es el equivalente no constructivo de la definición constructiva que utiliza la exponenciación iterada; pero ambas definiciones son igualmente no constructivas en los pasos indexados por ordinales límite, que representan una recursión transfinita de orden superior a la de tomar el supremo de una serie exponencial.

Los siguientes hechos sobre los números épsilon son fáciles de demostrar:

• Aunque es un número bastante grande,${\displaystyle \varepsilon _{0}}$sigue siendo contable , siendo una unión contable de ordinales contables; de hecho,${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$es contable si y solo si${\displaystyle \beta }$es contable.
• La unión (o supremo) de cualquier conjunto no vacío de números épsilon es un número épsilon; por ejemplo$${\displaystyle \varepsilon _{\omega }=\sup\{\varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots \}}$$es un número épsilon. Por lo tanto, el mapeo${\displaystyle \beta \mapsto \varepsilon _{\beta }}$es una función normal.
• El ordinal inicial de cualquier cardinal incontable es un número épsilon.$${\displaystyle \alpha \geq 1\Rightarrow \varepsilon _{\omega _{\alpha }}=\omega _{\alpha }\,.}$$

Cualquier número épsilon ε tiene forma normal de Cantor.${\displaystyle \varepsilon =\omega ^{\varepsilon }}$, lo que significa que la forma normal de Cantor no es muy útil para los números épsilon. Sin embargo, los ordinales menores que ε _{0 pueden describirse útilmente mediante sus formas normales de Cantor, lo que lleva a una representación de} ε ₀ como el conjunto ordenado de todos los árboles finitos con raíz , como sigue. Cualquier ordinal${\displaystyle \alpha <\varepsilon _{0}}$tiene la forma normal de Cantor${\displaystyle \alpha =\omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}}$donde k es un número natural y${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$ son ordinales con${\displaystyle \alpha >\beta _{1}\geq \cdots \geq \beta _{k}}$, determinado de forma única por${\displaystyle \alpha }$Cada uno de los ordinales${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$a su vez tiene una forma normal de Cantor similar. Obtenemos el árbol enraizado finito que representa a α uniendo las raíces de los árboles que representan${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$a una nueva raíz. (Esto tiene como consecuencia que el número 0 está representado por una sola raíz, mientras que el número${\displaystyle 1=\omega ^{0}}$(Está representado por un árbol que contiene una raíz y una sola hoja). Se define un orden en el conjunto de árboles finitos con raíz de forma recursiva: primero ordenamos los subárboles unidos a la raíz en orden descendente y luego usamos el orden lexicográfico en estas secuencias ordenadas de subárboles. De esta manera, el conjunto de todos los árboles finitos con raíz se convierte en un conjunto bien ordenado que es isomorfo en orden a ε ₀ .

Esta representación está relacionada con la demostración del teorema de la hidra , que representa secuencias decrecientes de ordinales como un juego de teoría de grafos .

Los puntos fijos del "mapeo épsilon"${\displaystyle x\mapsto \varepsilon _{x}}$forman una función normal, cuyos puntos fijos forman otra función normal; esto se conoce como la jerarquía de Veblen (las funciones de Veblen con base φ ₀ ( α ) = ω ^α ). En la notación de la jerarquía de Veblen, la función épsilon es φ ₁ , y sus puntos fijos se enumeran mediante φ ₂ (véase función colapsante ordinal ).

Siguiendo esta línea, se pueden definir mapas φ _α para ordinales α progresivamente mayores (incluyendo, por esta forma rarefacta de recursión transfinita, ordinales límite), con puntos fijos mínimos progresivamente mayores φ _{α +1} (0) . El ordinal mínimo no alcanzable desde 0 por este procedimiento, es decir, el ordinal mínimo α para el cual φ _α (0) = α , o equivalentemente el primer punto fijo del mapa${\displaystyle \alpha \mapsto \varphi _{\alpha }(0)}$—es el ordinal de Feferman-Schütte Γ ₀ . En una teoría de conjuntos donde se puede demostrar que existe tal ordinal, se tiene una aplicación Γ que enumera los puntos fijos Γ ₀ , Γ ₁ , Γ ₂ , ... de${\displaystyle \alpha \mapsto \varphi _{\alpha }(0)}$; todos estos siguen siendo números épsilon, ya que se encuentran en la imagen de φ _β para cada β ≤ Γ ₀ , incluyendo la aplicación φ ₁ que enumera los números épsilon.

En Sobre los números y los juegos , la exposición clásica sobre los números surrealistas , John Horton Conway proporcionó varios ejemplos de conceptos que tenían extensiones naturales de los ordinales a los surrealistas. Una de esas funciones es la${\displaystyle \omega }$-mapa${\displaystyle n\mapsto \omega ^{n}}$; este mapeo se generaliza naturalmente para incluir todos los números surrealistas en su dominio , lo que a su vez proporciona una generalización natural de la forma normal de Cantor para los números surrealistas. ^{[ 2 ]}

Es natural considerar cualquier punto fijo de este mapa expandido como un número épsilon, independientemente de que sea o no estrictamente un número ordinal. Algunos ejemplos de números épsilon no ordinales son:

${\displaystyle \varepsilon _{-1}=\left\{0,1,\omega ,\omega ^{\omega },\ldots \mid \varepsilon _{0}-1,\omega ^{\varepsilon _{0}-1},\ldots \right\}}$

y

${\displaystyle \varepsilon _{1/2}=\left\{\varepsilon _{0}+1,\omega ^{\varepsilon _{0}+1},\ldots \mid \varepsilon _{1}-1,\omega ^{\varepsilon _{1}-1},\ldots \right\}.}$

Existe una forma natural de definir${\displaystyle \varepsilon _{n}}$para cada número surrealista n , y el mapa sigue preservando el orden . Conway continúa definiendo una clase más amplia de números surrealistas "irreducibles" que incluye los números épsilon como una subclase particularmente interesante.

• Aritmética ordinal
• Ordinal contable grande