Lema de punto fijo para funciones normales

El lema del punto fijo para funciones normales es un resultado fundamental de la teoría axiomática de conjuntos que establece que cualquier función normal tiene puntos fijos arbitrariamente grandes (Levy 1979: p.  117). Fue demostrado por primera vez por Oswald Veblen en 1908.

Una función normal es una función de clase .${\displaystyle f}$de la clase Ord de números ordinales a sí misma tal que:

• ${\displaystyle f}$está aumentando estrictamente :${\displaystyle f(\alpha )<f(\beta )}$cuando sea${\displaystyle \alfa <\beta }$.
• ${\displaystyle f}$es continuo : para cada límite ordinal${\displaystyle \lambda }$(es decir${\displaystyle \lambda }$no es ni cero ni sucesor),${\displaystyle f(\lambda )=\sup\{f(\alpha ):\alpha <\lambda \}}$.

Se puede demostrar que si${\displaystyle f}$entonces es normal${\displaystyle f}$conmuta con suprema ; para cualquier conjunto no vacío${\displaystyle A}$de ordinales,

${\displaystyle f(\sup A)=\sup f(A)=\sup\{f(\alpha ):\alpha \in A\}}$.

De hecho, si${\displaystyle \sup A}$es 0 o un ordinal sucesor entonces${\displaystyle \sup A}$es un elemento de${\displaystyle A}$y la igualdad se deduce de la propiedad creciente de${\displaystyle f}$. Si${\displaystyle \sup A}$es un ordinal límite entonces la igualdad se deduce de la propiedad continua de${\displaystyle f}$.

Un punto fijo de una función normal es un ordinal.${\displaystyle \beta }$de tal manera que${\displaystyle f(\beta )=\beta }$.

El lema del punto fijo establece que la clase de puntos fijos de cualquier función normal no es vacía y, de hecho, no está acotada: dado cualquier ordinal${\displaystyle \alpha }$, existe un ordinal${\displaystyle \beta }$de tal manera que${\displaystyle \beta \geq \alpha }$y${\displaystyle f(\beta )=\beta }$.

La continuidad de la función normal implica que la clase de puntos fijos es cerrada (el supremo de cualquier subconjunto de la clase de puntos fijos es, a su vez, un punto fijo). Por lo tanto, el lema de los puntos fijos equivale a afirmar que los puntos fijos de una función normal forman una clase cerrada e ilimitada .

El primer paso de la prueba es verificar que${\displaystyle f(\gamma )\geq \gamma }$para todos los ordinales${\displaystyle \gamma }$y eso${\displaystyle f}$conmuta con suprema. Dados estos resultados, defina inductivamente una secuencia creciente.${\displaystyle \langle \alpha _{n}\rangle _{n<\omega }}$al establecer${\displaystyle \alpha _{0}=\alpha }$, y${\displaystyle \alpha _{n+1}=f(\alpha _{n})}$para${\displaystyle n\in \omega }$. Dejar${\displaystyle \beta =\sup _{n<\omega }\alpha _{n}}$, entonces${\displaystyle \beta \geq \alpha }$Además, porque${\displaystyle f}$se desplaza con suprema,

${\displaystyle f(\beta )=f(\sup _{n<\omega }\alpha _{n})}$

${\displaystyle \qquad =\sup _{n<\omega }f(\alpha _{n})}$

${\displaystyle \qquad =\sup _{n<\omega }\alpha _{n+1}}$

${\displaystyle \qquad =\beta }$

La última igualdad se deduce del hecho de que la secuencia${\displaystyle \langle \alpha _ {n} \rangle _ {n}}$aumenta. ${\displaystyle \square }$

Como nota al margen, se puede demostrar que el${\displaystyle \beta }$encontrado de esta manera es el punto fijo más pequeño mayor o igual que${\displaystyle \alpha }$.

La función f  : Ord → Ord, f ( α ) = ω _α es normal (véase el ordinal inicial ). Por lo tanto, existe un ordinal θ tal que θ = ω _θ . De hecho, el lema muestra que existe una clase cerrada e ilimitada de tales θ .