Campo eléctrico

En el caso especial de un estado estacionario (cargas y corrientes estacionarias), el efecto inductivo de Maxwell-Faraday desaparece. Las dos ecuaciones resultantes (ley de Gauss)${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$y la ley de Faraday sin término de inducción${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0}$), tomadas en conjunto, son equivalentes a la ley de Coulomb , que establece que una partícula con carga eléctrica${\displaystyle q_{1}}$en posición${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ejerce una fuerza sobre una partícula con carga${\displaystyle q_{0}}$en posición${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$de: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} _{01}={\frac {q_{1}q_{0}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{2}}={\frac {q_{1}q_{0}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\mathbf {r} _{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{3}}}$$ dónde

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{01}}$es la fuerza sobre partícula cargada${\displaystyle q_{0}}$causado por partícula cargada${\displaystyle q_{1}}$.
• ε ₀ es la permitividad del espacio libre .
• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{01}}$es un vector unitario dirigido desde${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$a${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$.
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{01}}$es el vector de desplazamiento desde${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$a${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$.

Tenga en cuenta que${\displaystyle \varepsilon _{0}}$debe ser reemplazado por${\displaystyle \varepsilon }$, permitividad , cuando las cargas están en medios no vacíos. Cuando las cargas${\displaystyle q_{0}}$y${\displaystyle q_{1}}$Cuando las cargas tienen el mismo signo, esta fuerza es positiva, dirigida en dirección opuesta a la otra carga, lo que indica que las partículas se repelen entre sí. Cuando las cargas tienen signos opuestos, la fuerza es negativa, lo que indica que las partículas se atraen. Para facilitar el cálculo de la fuerza de Coulomb sobre cualquier carga en la posición${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$Esta expresión se puede dividir por${\displaystyle q_{0}}$dejando una expresión que solo depende de la otra carga (la carga fuente ) ^{[ 14 ] [ 4 ]}$${\displaystyle \mathbf {E} _{1}(\mathbf {r} _{0})={\frac {\mathbf {F} _{01}}{q_{0}}}={\frac {q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{2}}={\frac {q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\mathbf {r} _{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{3}}}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {E} _{1}(\mathbf {r} _{0})}$es el componente del campo eléctrico en${\displaystyle q_{0}}$debido a${\displaystyle q_{1}}$.

Este es el campo eléctrico en el punto${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$debido al cargo puntual${\displaystyle q_{1}}$; es una función vectorial igual a la fuerza de Coulomb por unidad de carga que experimentaría una carga puntual positiva en la posición${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$Dado que esta fórmula proporciona la magnitud y la dirección del campo eléctrico en cualquier punto${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$en el espacio (excepto en la ubicación de la carga misma,${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$(donde se vuelve infinito) define un campo vectorial . De la fórmula anterior se puede ver que el campo eléctrico debido a una carga puntual está dirigido en todas partes alejándose de la carga si es positiva, y hacia la carga si es negativa, y su magnitud disminuye con el inverso del cuadrado de la distancia a la carga.

La fuerza de Coulomb sobre una carga de magnitud${\displaystyle q}$en cualquier punto del espacio es igual al producto de la carga y el campo eléctrico en ese punto. $${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} .}$$ La unidad del SI del campo eléctrico es el newton por culombio (N/C), o voltio por metro (V/m); en términos de las unidades base del SI es kg⋅m⋅s ⁻³ ⋅A ⁻¹ .

Debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell , los campos eléctricos satisfacen el principio de superposición , que establece que el campo eléctrico total en un punto, debido a un conjunto de cargas, es igual a la suma vectorial de los campos eléctricos en ese punto debidos a las cargas individuales. ^{[ 4 ]} Este principio es útil para calcular el campo creado por múltiples cargas puntuales. Si las cargas${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}}$están estacionarios en el espacio en puntos${\displaystyle \mathbf {R} _{1},\mathbf {R} _{2},\dots ,\mathbf {R} _{n}}$En ausencia de corrientes, el principio de superposición establece que el campo resultante es la suma de los campos generados por cada partícula, tal como lo describe la ley de Coulomb: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} )=\mathbf {E} _{1}(\mathbf {r} )+\mathbf {E} _{2}(\mathbf {r} )+\dots +\mathbf {E} _{n}(\mathbf {r} )={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r} }}_{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{2}}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{\mathbf {r} _{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{3}}\end{aligned}}}$$ dónde

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{i}}$es el vector unitario en la dirección desde el punto${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$señalar${\displaystyle \mathbf {r} }$
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$es el vector de desplazamiento desde el punto${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$señalar${\displaystyle \mathbf {r} }$.

El principio de superposición permite calcular el campo eléctrico debido a una distribución de densidad de carga.${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$Al considerar el cargo${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')dv}$en cada pequeño volumen de espacio${\displaystyle dv}$en el punto${\displaystyle \mathbf {r} '}$como carga puntual, el campo eléctrico resultante,${\displaystyle d\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$, en el punto${\displaystyle \mathbf {r} }$se puede calcular como $${\displaystyle d\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}' \over {|\mathbf {r} '|}^{2}}dv={\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}dv}$$ dónde

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}'}$es el vector unitario que apunta desde${\displaystyle \mathbf {r} '}$a${\displaystyle \mathbf {r} }$.
• ${\displaystyle \mathbf {r} '}$es el vector de desplazamiento desde${\displaystyle \mathbf {r} '}$a${\displaystyle \mathbf {r} }$.

El campo total se obtiene sumando las contribuciones de todos los incrementos de volumen mediante la integración de la densidad de carga sobre el volumen.${\displaystyle V}$: $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint _{V}\,\rho (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}dv}$$

Ecuaciones similares se aplican a una carga superficial con densidad de carga superficial.${\displaystyle \sigma (\mathbf {r} ')}$en la superficie${\displaystyle S}$$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iint _{S}\,\sigma (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}da,}$$ y para cargas lineales con densidad de carga lineal${\displaystyle \lambda (\mathbf {r} ')}$en línea${\displaystyle L}$$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{L}\,\lambda (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}d\ell .}$$

Si un sistema es estático, de modo que los campos magnéticos no varían con el tiempo, entonces, según la ley de Faraday, el campo eléctrico es irrotacional . En este caso, se puede definir un potencial eléctrico , es decir, una función${\displaystyle \varphi }$de tal manera que${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi }$. ^{[ 15 ]} Esto es análogo al potencial gravitatorio . La diferencia entre el potencial eléctrico en dos puntos del espacio se llama diferencia de potencial (o voltaje) entre los dos puntos.

En general, sin embargo, el campo eléctrico no puede describirse independientemente del campo magnético. Dado el potencial vectorial magnético , A , definido de modo que ⁠${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$⁠ , aún se puede definir un potencial eléctrico${\displaystyle \varphi }$de tal manera que: $${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}$$ dónde${\displaystyle \nabla \varphi }$es el gradiente del potencial eléctrico y${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$es la derivada parcial de A con respecto al tiempo.

La ley de inducción de Faraday se puede recuperar tomando el rotacional de esa ecuación ^{[ 16 ].}$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {A} )}{\partial t}}=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},}$$ lo cual justifica, a posteriori, la forma anterior para E.

Las ecuaciones del electromagnetismo se describen mejor mediante una descripción continua. Sin embargo, en ocasiones, las cargas se describen mejor como puntos discretos; por ejemplo, algunos modelos pueden describir los electrones como fuentes puntuales donde la densidad de carga es infinita en una sección infinitesimal del espacio.

Un cargo${\displaystyle q}$ubicado en${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$se puede describir matemáticamente como una densidad de carga .${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}$donde se utiliza la función delta de Dirac (en tres dimensiones). Por el contrario, una distribución de carga puede aproximarse mediante muchas cargas puntuales pequeñas.

La ley de Coulomb, que describe la interacción de las cargas eléctricas: $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left({\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {\hat {r}} }{|\mathbf {r} |^{2}}}\right)=q\mathbf {E} }$$ es similar a la ley de gravitación universal de Newton : $${\displaystyle \mathbf {F} =m\left(-GM{\frac {\mathbf {\hat {r}} }{|\mathbf {r} |^{2}}}\right)=m\mathbf {g} }$$ (dónde${\textstyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {\frac {r}{|r|}} }$).

Esto sugiere similitudes entre el campo eléctrico E y el campo gravitatorio g , o sus potenciales asociados. A la masa a veces se la denomina "carga gravitatoria". ^{[ 18 ]}

Las fuerzas electrostáticas y gravitatorias son centrales , conservativas y obedecen a una ley del inverso del cuadrado .

Un campo uniforme es aquel en el que el campo eléctrico es constante en cada punto. Se puede aproximar colocando dos placas conductoras paralelas entre sí y manteniendo una diferencia de potencial entre ellas; sin embargo, esta aproximación es solo válida debido a los efectos de borde (cerca del borde de los planos, el campo eléctrico se distorsiona porque el plano no continúa). Suponiendo planos infinitos, la magnitud del campo eléctrico E es: $${\displaystyle E=-{\frac {\Delta V}{d}},}$$ donde ΔV es la diferencia de potencial entre las placas y d es la distancia que las separa. El signo negativo surge porque las cargas positivas se repelen, por lo que una carga positiva experimentará una fuerza que la aleja de la placa cargada positivamente, en la dirección opuesta a la del aumento de voltaje. En micro y nanoaplicaciones, por ejemplo en relación con semiconductores, la magnitud típica de un campo eléctrico es del orden de10 ⁶  V⋅m ⁻¹ , logrado aplicando un voltaje del orden de 1 voltio entre conductores separados  por 1 μm.

Una forma práctica de representar el campo eléctrico, incluso para campos eléctricos complejos, es mediante líneas de campo . ^{[ 19 ]} En este método, la magnitud y la dirección de un campo eléctrico en una región se representan mediante varias líneas curvas que no se intersecan y que abarcan dicha región. Si se representan correctamente, la dirección del campo eléctrico en cualquier punto se corresponde con la dirección de las líneas cercanas, mientras que la magnitud se corresponde con la densidad de las líneas de campo en esa región.

Las líneas de campo eléctrico no se cruzan. Comienzan en una carga positiva (o se extienden desde el infinito) y terminan en una carga negativa (o se extienden hasta el infinito). Además, el número de líneas de campo que parten de una carga dada debe ser proporcional a dicha carga. Los campos electrostáticos no pueden formar bucles cerrados. (Véase la figura para un ejemplo de un diagrama complejo de líneas de campo eléctrico creado para una carga puntual positiva que induce carga eléctrica en las superficies de 3 conductores cercanos).

Las líneas de campo solo pueden representar de forma aproximada el campo eléctrico en una región determinada. (Se necesitaría un número infinito de líneas de campo para representar el campo eléctrico a la perfección). Sin embargo, estos diagramas son útiles para ilustrar cómo cambia el campo eléctrico en una región determinada.

En presencia de materia, es útil extender la noción de campo eléctrico a tres campos vectoriales: ^{[ 21 ]}$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$$ donde P es la polarización eléctrica – la densidad volumétrica de momentos dipolares eléctricos , y D es el campo de desplazamiento eléctrico . Dado que E y P se definen por separado, esta ecuación puede usarse para definir D . La interpretación física de D no es tan clara como E (efectivamente el campo aplicado al material) o P (campo inducido debido a los dipolos en el material), pero aún sirve como una simplificación matemática conveniente, ya que las ecuaciones de Maxwell pueden simplificarse en términos de cargas libres y corrientes .

Los campos E y D están relacionados por la permitividad del material, ε . ^{[ 22 ] [ 21 ]}

Para materiales lineales, homogéneos e isotrópicos , E y D son proporcionales y constantes en toda la región, no hay dependencia de la posición: $${\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} )=\varepsilon \mathbf {E} (\mathbf {r} ).}$$

Para materiales no homogéneos, existe una dependencia de la posición en todo el material: ^{[ 23 ]}$${\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} )=\varepsilon (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$$

Para materiales anisotrópicos, los campos E y D no son paralelos, por lo que E y D están relacionados por el tensor de permitividad (un campo tensorial de segundo orden ), en forma de componentes: $${\displaystyle D_{i}=\varepsilon _{ij}E_{j}}$$

En medios no lineales, E y D no son proporcionales. Los materiales pueden presentar distintos grados de linealidad, homogeneidad e isotropía.

La invariancia de la forma de las ecuaciones de Maxwell bajo la transformación de Lorentz puede utilizarse para derivar el campo eléctrico de una carga puntual en movimiento uniforme. La carga de una partícula se considera invariante respecto al marco, como lo respalda la evidencia experimental. ^{[ 24 ]} Alternativamente, el campo eléctrico de cargas puntuales en movimiento uniforme puede derivarse de la transformación de Lorentz de la cuadrifuerza experimentada por cargas de prueba en el marco de referencia en reposo de la fuente , dada por la ley de Coulomb y asignando el campo eléctrico y el campo magnético según su definición dada por la forma de la fuerza de Lorentz . ^{[ 25 ]} Sin embargo, la siguiente ecuación solo es aplicable cuando no hay aceleración involucrada en la historia de la partícula, donde se puede considerar la ley de Coulomb o se pueden utilizar argumentos de simetría para resolver las ecuaciones de Maxwell de manera simple. El campo eléctrico de dicha carga puntual en movimiento uniforme viene dado por: ^{[ 26 ]}$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}\mathbf {r} ,}$$ dónde${\displaystyle q}$es la carga de la fuente puntual,${\displaystyle \mathbf {r} }$es el vector de posición desde el punto de origen hasta el punto en el espacio,${\displaystyle \beta }$es la relación entre la velocidad observada de la partícula cargada y la velocidad de la luz y${\displaystyle \theta }$es el ángulo entre${\displaystyle \mathbf {r} }$y la velocidad observada de la partícula cargada.

La ecuación anterior se reduce a la dada por la ley de Coulomb para velocidades no relativistas de la carga puntual. La simetría esférica no se satisface debido a la ruptura de simetría en el problema al especificar la dirección de la velocidad para el cálculo del campo. Para ilustrar esto, las líneas de campo de cargas en movimiento a veces se representan como líneas radiales desigualmente espaciadas que aparecerían igualmente espaciadas en un sistema de referencia en movimiento. ^{[ 24 ]}

La teoría especial de la relatividad impone el principio de localidad , que requiere que causa y efecto sean eventos separados en el tiempo, donde la eficacia causal no viaja más rápido que la velocidad de la luz . ^{[ 27 ]} Se ha comprobado que las leyes de Maxwell confirman esta visión, ya que las soluciones generales de los campos se dan en términos de tiempo retardado, lo que indica que las perturbaciones electromagnéticas viajan a la velocidad de la luz. El tiempo avanzado, que también proporciona una solución para la ley de Maxwell, se ignora por ser una solución no física.

Para el movimiento de una partícula cargada , considerando, por ejemplo, el caso de una partícula en movimiento con el campo eléctrico descrito anteriormente que se detiene abruptamente, los campos eléctricos en puntos alejados de ella no vuelven inmediatamente al estado clásico dado para una carga estacionaria. Al detenerse, el campo alrededor de los puntos estacionarios comienza a regresar al estado esperado y este efecto se propaga hacia afuera a la velocidad de la luz, mientras que las líneas de campo eléctrico lejos de esta seguirán apuntando radialmente hacia una supuesta carga en movimiento. Esta partícula virtual nunca estará fuera del rango de propagación de la perturbación en el campo electromagnético , ya que las partículas cargadas están restringidas a tener velocidades menores que la de la luz, lo que hace imposible construir una superficie gaussiana en esta región que viole la ley de Gauss . Otra dificultad técnica que apoya esto es que las partículas cargadas que viajan más rápido o igual a la velocidad de la luz ya no tienen un tiempo retardado único. Dado que las líneas de campo eléctrico son continuas, se genera un pulso electromagnético de radiación que se conecta en el límite de esta perturbación que se propaga hacia afuera a la velocidad de la luz. ^{[ 28 ]} En general, cualquier carga puntual acelerada irradia ondas electromagnéticas ; sin embargo, es posible la aceleración no radiante en sistemas de cargas.

Para cargas puntuales que se mueven arbitrariamente, la propagación de campos potenciales como los campos de gauge de Lorenz a la velocidad de la luz debe tenerse en cuenta utilizando el potencial de Liénard-Wiechert . ^{[ 29 ]} Dado que los potenciales satisfacen las ecuaciones de Maxwell , los campos derivados para la carga puntual también satisfacen las ecuaciones de Maxwell. El campo eléctrico se expresa como: ^{[ 30 ]}$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\mathbf {t} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {\left(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}{\gamma ^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}\right|^{2}}}+{\frac {\mathbf {n} _{s}\times \left(\left(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\times {\dot {{\boldsymbol {\beta }}_{s}}}\right)}{c\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}\right|}}\right)_{t=t_{r}}}$$ dónde${\displaystyle q}$es la carga de la fuente puntual,${\textstyle {t_{r}}}$es el tiempo retardado o el tiempo en el que se originó la contribución de la fuente del campo eléctrico,${\textstyle {r}_{s}(t)}$es el vector de posición de la partícula,${\textstyle \mathbf {n} _{s}(\mathbf {r} ,t)}$es un vector unitario que apunta desde la partícula cargada hacia el punto en el espacio,${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)}$es la velocidad de la partícula dividida por la velocidad de la luz, y${\textstyle \gamma (t)}$es el factor de Lorentz correspondiente . El tiempo retardado se obtiene como solución de: $${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|}{c}}}$$

La singularidad de la solución para${\textstyle {t_{r}}}$para dado${\displaystyle t}$,${\displaystyle \mathbf {r} }$y${\displaystyle r_{s}(t)}$Es válido para partículas cargadas que se mueven más lento que la velocidad de la luz. Se sabe que la radiación electromagnética de cargas aceleradas es causada por el término dependiente de la aceleración en el campo eléctrico, a partir del cual se obtiene la corrección relativista para la fórmula de Larmor . ^{[ 30 ]}

Existe otro conjunto de soluciones para la ecuación de Maxwell de la misma forma, pero para tiempos avanzados.${\textstyle {t_{a}}}$en lugar del tiempo retardado dado como solución de:

$${\displaystyle t_{a}=t+{\frac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{a})\right|}{c}}}$$

Dado que la interpretación física de esto indica que el campo eléctrico en un punto está regido por el estado de la partícula en un instante futuro, se considera una solución no física y, por lo tanto, se descarta. Sin embargo, existen teorías que exploran soluciones de tiempo avanzado para las ecuaciones de Maxwell , como la teoría del absorbedor de Feynman-Wheeler .

La ecuación anterior, si bien es consistente con la de cargas puntuales en movimiento uniforme, así como con su límite no relativista, no está corregida para tener en cuenta los efectos de la mecánica cuántica.