Teorema del doble centralizador

El centralizador de un subanillo S de R viene dado por

${\displaystyle \mathrm {C} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=sr{\text{ para todo }}s\in S\}.\,}$

Es evidente que C _R ( C _R ( S ))  ⊇ S , pero no siempre se puede afirmar que los dos conjuntos son iguales. Los teoremas del doble centralizador proporcionan condiciones bajo las cuales se puede concluir que existe igualdad. 

Hay otro caso especial de interés. Sea M un módulo derecho R y démosle a M la estructura de módulo izquierdo E natural , donde E es End( M ), el anillo de endomorfismos del grupo abeliano M. Toda aplicación m → _r dada por m _{→ r} ( x )  = xr crea un endomorfismo aditivo de M , es decir, un elemento de E. La aplicación r → m → _r es un homomorfismo de anillos de R en el anillo E , y denotamos la imagen de R dentro de E por R _M. Se puede comprobar que el núcleo de esta aplicación canónica es el anulador Ann( M _R ). Por lo tanto, por un teorema de isomorfismo para anillos, R _M es isomorfo al anillo cociente R /Ann( M _R ). Claramente, cuando M es un módulo fiel , R y R _M son anillos isomorfos.   

Entonces, ahora E es un anillo con R _M como subanillo, y C _E ( R _M ) puede formarse. Por definición se puede comprobar que C _E ( R _M )  =  End( M _R ), el anillo de endomorfismos de módulos R de M . Por lo tanto, si ocurre que C _E ( C _E ( R _M ))  = R _M , esto es lo mismo que decir C _E (End( M _R )) = R _M .   

Quizás la versión más común sea la versión para álgebras simples centrales , como aparece en ( Knapp 2007 , p. 115) :

Teorema : Si A es un álgebra simple central de dimensión finita sobre un cuerpo F y B es una subálgebra simple de A , entonces C _A ( C _A ( B ))  = B , y además las dimensiones satisfacen 

${\displaystyle \mathrm {dim} _{F}(B)\cdot \mathrm {dim} _{F}(\mathrm {C} _{A}(B))=\mathrm {dim} _{F}(A).\,}$

La siguiente versión generalizada para anillos artinianos (que incluyen álgebras de dimensión finita) aparece en ( Isaacs 2009 , p. 187) . Dado un módulo R simple U _R , tomaremos prestada la notación de la sección de motivación anterior, incluyendo R _U y E =End( U ). Además, escribiremos D =End( U _R ) para el subanillo de E que consta de R -homomorfismos. Por el lema de Schur , D es un anillo de división .

Teorema : Sea R un anillo artiniano derecho con un módulo derecho simple U _R , y sean R _U , D y E dados como en el párrafo anterior. Entonces

${\displaystyle R_{U}=\mathrm {C} _{E}(\mathrm {C} _{E}(R_{U}))\,}$.

Observaciones

• En esta versión, los anillos se eligen con la intención de demostrar el teorema de densidad de Jacobson . Nótese que solo concluye que un subanillo en particular posee la propiedad de centralizador, a diferencia de la versión del álgebra simple central.
• Dado que las álgebras normalmente se definen sobre anillos conmutativos, y todos los anillos involucrados anteriormente pueden ser no conmutativos, está claro que las álgebras no necesariamente están involucradas.
• Si U es además un módulo fiel , de modo que R es un anillo primitivo derecho , entonces R _U es un anillo isomorfo a R.

En ( Rowen 1980 , p.154 ) , se da una versión para anillos identidad polinomiales . La notación Z( R ) se utilizará para denotar el centro de un anillo R .

Teorema : Si R es un anillo identidad polinomial simple , y A es una subálgebra Z( R ) simple de R , entonces C _R ( C _R ( A ))  = A . 

Observaciones

• Esta versión puede considerarse "entre" la versión del álgebra simple central y la versión del anillo artiniano. Esto se debe a que los anillos identidad polinomiales simples son artinianos, ^{[ 1 ]} pero a diferencia de la versión artiniana, la conclusión todavía se refiere a todos los subanillos simples centrales de R .

El teorema bicommutante de Von Neumann establece que una *-subálgebra A del álgebra de operadores acotados B ( H ) en un espacio de Hilbert H es un álgebra de von Neumann (es decir, es débilmente cerrada ) si y solo si A = C _{B ( H )} C _{B ( H )} (A).