Discretización

La evaluación numérica de Q _d es un poco más complicada debido a la integral exponencial de la matriz. Sin embargo, se puede calcular construyendo primero una matriz y calculando su exponencial ^{[ 3 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\begin{bmatrix}-\mathbf {A} &\mathbf {Q} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} ^{\top }\end{bmatrix}}T\\[2pt]\mathbf {G} &=e^{\mathbf {F} }={\begin{bmatrix}\dots &\mathbf {A_{d}} ^{-1}\mathbf {Q_{d}} \\\mathbf {0} &\mathbf {A_{d}} ^{\top }\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$ El ruido del proceso discretizado se evalúa multiplicando la transpuesta de la partición inferior derecha de G por la partición superior derecha de G : $${\displaystyle \mathbf {Q_{d}} =(\mathbf {A_{d}} ^{\top })^{\top }(\mathbf {A_{d}} ^{-1}\mathbf {Q_{d}} )=\mathbf {A_{d}} (\mathbf {A_{d}} ^{-1}\mathbf {Q_{d}} ).}$$

Comenzando con el modelo continuo $${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t)}$$ Sabemos que la exponencial de la matriz es $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{\mathbf {A} t}=\mathbf {A} e^{\mathbf {A} t}=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {A} }$$ y premultiplicando el modelo obtenemos $${\displaystyle e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {\dot {x}} (t)=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {Ax} (t)+e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {Bu} (t)}$$ que reconocemos como $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\Bigl [}e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t){\Bigr ]}=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {Bu} (t)}$$ y mediante la integración, $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t)-e^{0}\mathbf {x} (0)&=\int _{0}^{t}e^{-\mathbf {A} \tau }\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \\[2pt]\mathbf {x} (t)&=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}e^{\mathbf {A} (t-\tau )}\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \end{aligned}}}$$ que es una solución analítica al modelo continuo.

Ahora queremos discretizar la expresión anterior. Suponemos que u es constante durante cada paso de tiempo. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k]&\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (kT)\\[6pt]\mathbf {x} [k]&=e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \\[4pt]\mathbf {x} [k+1]&=e^{\mathbf {A} (k+1)T}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} [(k+1)T-\tau ]}\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \\[2pt]\mathbf {x} [k+1]&=e^{\mathbf {A} T}\left[e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \right]+\int _{kT}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} (kT+T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau \end{aligned}}}$$ Reconocemos la expresión entre corchetes como${\displaystyle \mathbf {x} [k]}$y el segundo término se puede simplificar sustituyendo por la función${\displaystyle v(\tau )=kT+T-\tau }$. Tenga en cuenta que${\displaystyle d\tau =-dv}$. También suponemos que u es constante durante la integral , lo que a su vez produce

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k+1]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{v(kT)}^{v((k+1)T)}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {Bu} [k]\\[2pt]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{T}^{0}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {Bu} [k]\\[2pt]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {Bu} [k]\\[4pt]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\mathbf {A} ^{-1}\left(e^{\mathbf {A} T}-\mathbf {I} \right)\mathbf {Bu} [k]\end{aligned}}}$$

que es una solución exacta al problema de discretización.

Cuando A es singular, la última expresión aún se puede usar reemplazando${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}}$por su expansión de Taylor , $${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}(\mathbf {A} T)^{k}.}$$ Esto produce $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k+1]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {Bu} [k]\\[2pt]&=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}(\mathbf {A} T)^{k}\right)\mathbf {x} [k]+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\mathbf {A} ^{k-1}T^{k}\right)\mathbf {Bu} [k],\end{aligned}}}$$ que es el formato utilizado en la práctica.

La discretización exacta a veces puede resultar intratable debido a las complejas operaciones de integración y exponenciales matriciales involucradas. Es mucho más sencillo calcular un modelo discreto aproximado, basado en el anterior para pasos de tiempo pequeños.${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \mathbf {I} +\mathbf {A} T}$La solución aproximada queda entonces: $${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]\approx (\mathbf {I} +\mathbf {A} T)\mathbf {x} [k]+T\mathbf {Bu} [k]}$$

Esto también se conoce como el método de Euler , que también se conoce como el método de Euler hacia adelante. Otras posibles aproximaciones son:${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx (\mathbf {I} -\mathbf {A} T)^{-1}}$, también conocido como el método de Euler hacia atrás y${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx (\mathbf {I} +{\tfrac {1}{2}}\mathbf {A} T)(\mathbf {I} -{\tfrac {1}{2}}\mathbf {A} T)^{-1}}$, que se conoce como la transformada bilineal o transformada de Tustin. Cada una de estas aproximaciones tiene propiedades de estabilidad diferentes. La transformada bilineal preserva la inestabilidad del sistema de tiempo continuo.