Principio de superposición

El principio de superposición , ^{[ 1 ]} también conocido como propiedad de superposición , establece que, para todos los sistemas lineales , la respuesta neta causada por dos o más estímulos es la suma de las respuestas que habría causado cada estímulo individualmente. Así, si la entrada A produce la respuesta X , y la entrada B produce la respuesta Y , entonces la entrada ( A + B ) produce la respuesta ( X + Y ).

Una función${\displaystyle F(x)}$Una función que satisface el principio de superposición se denomina función lineal . La superposición se puede definir mediante dos propiedades más simples: aditividad$${\displaystyle F(x_{1}+x_{2})=F(x_{1})+F(x_{2})}$$ y homogeneidad$${\displaystyle F(ax)=aF(x)}$$ para el escalar a .

Este principio tiene numerosas aplicaciones en física e ingeniería , ya que muchos sistemas físicos pueden modelarse como sistemas lineales. Por ejemplo, una viga puede modelarse como un sistema lineal donde el estímulo de entrada es la carga aplicada y la respuesta de salida es su deflexión . La importancia de los sistemas lineales radica en su facilidad de análisis matemático; existe un amplio conjunto de técnicas matemáticas, métodos de transformación lineal en el dominio de la frecuencia , como las transformadas de Fourier y Laplace , y la teoría de operadores lineales , que son aplicables. Dado que los sistemas físicos generalmente solo son aproximadamente lineales, el principio de superposición constituye únicamente una aproximación del comportamiento físico real.

El principio de superposición se aplica a cualquier sistema lineal, incluyendo ecuaciones algebraicas , ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones de estas formas. Los estímulos y respuestas pueden ser números, funciones, vectores, campos vectoriales , señales variables en el tiempo o cualquier otro objeto que satisfaga ciertos axiomas . Cabe destacar que, cuando intervienen vectores o campos vectoriales, la superposición se interpreta como una suma vectorial . Si se cumple la superposición, también se cumple automáticamente para todas las operaciones lineales aplicadas a estas funciones (por definición), como gradientes, diferenciales o integrales (si existen).

Al expresar un estímulo muy general (en un sistema lineal) como la superposición de estímulos de una forma específica y simple, a menudo resulta más fácil calcular la respuesta.

Por ejemplo, en el análisis de Fourier , el estímulo se expresa como la superposición de infinitas funciones sinusoidales . Gracias al principio de superposición, cada una de estas funciones sinusoidales puede analizarse por separado y su respuesta individual puede calcularse. (La respuesta es en sí misma una función sinusoidal, con la misma frecuencia que el estímulo, pero generalmente con amplitud y fase diferentes ). Según el principio de superposición, la respuesta al estímulo original es la suma (o integral) de todas las respuestas sinusoidales individuales.

Como otro ejemplo común, en el análisis de la función de Green , el estímulo se escribe como la superposición de infinitas funciones de impulso , y la respuesta es entonces una superposición de respuestas de impulso .

El análisis de Fourier es particularmente común para las ondas . Por ejemplo, en la teoría electromagnética, la luz ordinaria se describe como una superposición de ondas planas (ondas de frecuencia , polarización y dirección fijas). Siempre que se cumpla el principio de superposición (lo cual ocurre con frecuencia, pero no siempre; véase óptica no lineal ), el comportamiento de cualquier onda luminosa puede entenderse como una superposición del comportamiento de estas ondas planas más simples .

Las ondas se describen generalmente mediante variaciones de ciertos parámetros en el espacio y el tiempo; por ejemplo, la altura de una ola de agua, la presión de una onda sonora o el campo electromagnético de una onda luminosa. El valor de este parámetro se denomina amplitud de la onda, y la onda misma es una función que especifica la amplitud en cada punto.

En cualquier sistema con ondas, la forma de onda en un momento dado depende de las fuentes (es decir, las fuerzas externas, si las hay, que crean o afectan la onda) y de las condiciones iniciales del sistema. En muchos casos (por ejemplo, en la ecuación de onda clásica ), la ecuación que describe la onda es lineal. Cuando esto ocurre, se puede aplicar el principio de superposición. Esto significa que la amplitud resultante de dos o más ondas que se propagan por el mismo espacio es la suma de las amplitudes que habrían producido las ondas individuales por separado. Por ejemplo, dos ondas que viajan una hacia la otra se atravesarán sin distorsión alguna en el otro extremo. (Véase la imagen superior).

interferencia de ondas

El fenómeno de interferencia entre ondas se basa en esta idea. Cuando dos o más ondas recorren el mismo espacio, la amplitud resultante en cada punto es la suma de las amplitudes de las ondas individuales. En algunos casos, como en los auriculares con cancelación de ruido , la variación resultante tiene una amplitud menor que las variaciones de los componentes; esto se denomina interferencia destructiva . En otros casos, como en un arreglo lineal , la variación resultante tendrá una amplitud mayor que la de cualquiera de los componentes individualmente; esto se denomina interferencia constructiva .

Un tipo común de problema de valores en la frontera es (para decirlo de forma abstracta) encontrar una función y que satisfaga alguna ecuación. $${\displaystyle F(y)=0}$$ con alguna especificación de límites $${\displaystyle G(y)=z.}$$ Por ejemplo, en la ecuación de Laplace con condiciones de contorno de Dirichlet , F sería el operador laplaciano en una región R , G sería un operador que restringe y al límite de R , y z sería la función a la que se requiere que y sea igual en el límite de R.

En el caso de que F y G sean ambos operadores lineales, entonces el principio de superposición dice que una superposición de soluciones de la primera ecuación es otra solución de la primera ecuación: $${\displaystyle F(y_{1})=F(y_{2})=\cdots =0\quad \Rightarrow \quad F(y_{1}+y_{2}+\cdots )=0,}$$ mientras que los valores límite se superponen: $${\ Displaystyle G (y_ {1}) + G (y_ {2}) = G (y_ {1} + y_ {2}).}$$ Utilizando estos datos, si se puede elaborar una lista de soluciones para la primera ecuación, estas soluciones se pueden superponer cuidadosamente de manera que satisfagan la segunda ecuación. Este es un método común para abordar problemas de valores en la frontera.

Consideremos un sistema lineal simple: $${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2}),\qquad x(0)=x_{0}.}$$

Por el principio de superposición, el sistema puede descomponerse en $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=Ax_{1}+Bu_{1},&&x_{1}(0)=x_{0},\\{\dot {x}}_{2}&=Ax_{2}+Bu_{2},&&x_{2}(0)=0\end{aligned}}}$$ con $${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}.}$$

El principio de superposición solo es aplicable a sistemas lineales. Sin embargo, la descomposición aditiva de estados puede aplicarse tanto a sistemas lineales como no lineales. A continuación, consideremos un sistema no lineal. $${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2})+\phi \left(c^{\mathsf {T}}x\right),\qquad x(0)=x_{0},}$$ dónde${\displaystyle \phi }$es una función no lineal. Mediante la descomposición aditiva de estados, el sistema puede descomponerse aditivamente en $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=Ax_{1}+Bu_{1}+\phi (y_{d}),&&x_{1}(0)=x_{0},\\{\dot {x}}_{2}&=Ax_{2}+Bu_{2}+\phi \left(c^{\mathsf {T}}x_{1}+c^{\mathsf {T}}x_{2}\right)-\phi (y_{d}),&&x_{2}(0)=0\end{aligned}}}$$ con $${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}.}$$

Esta descomposición puede ayudar a simplificar el diseño del controlador.

• En ingeniería eléctrica , en un circuito lineal , la entrada (una señal de voltaje variable en el tiempo) se relaciona con la salida (una corriente o voltaje en cualquier punto del circuito) mediante una transformación lineal. Por lo tanto, la superposición (es decir, la suma) de las señales de entrada dará como resultado la superposición de las respuestas.
• En física , las ecuaciones de Maxwell implican que las distribuciones (posiblemente variables en el tiempo) de cargas y corrientes están relacionadas con los campos eléctricos y magnéticos mediante una transformación lineal. Por lo tanto, el principio de superposición puede utilizarse para simplificar el cálculo de los campos que surgen de una distribución dada de carga y corriente. Este principio también se aplica a otras ecuaciones diferenciales lineales que aparecen en física, como la ecuación del calor .
• En ingeniería , la superposición se utiliza para calcular las deflexiones de vigas y estructuras bajo cargas combinadas cuando los efectos son lineales (es decir, cada carga no afecta los resultados de las demás, y el efecto de cada carga no altera significativamente la geometría del sistema estructural). ^{[ 9 ]} El método de superposición de modos utiliza las frecuencias naturales y las formas modales para caracterizar la respuesta dinámica de una estructura lineal. ^{[ 10 ]}
• En hidrogeología , el principio de superposición se aplica al descenso del nivel freático en dos o más pozos que bombean en un acuífero ideal . Este principio se utiliza en el método de elementos analíticos para desarrollar elementos analíticos que puedan combinarse en un único modelo.
• En el control de procesos , el principio de superposición se utiliza en el control predictivo basado en modelos .
• El principio de superposición se puede aplicar cuando se analizan pequeñas desviaciones de una solución conocida de un sistema no lineal mediante linealización .

Según Léon Brillouin , el principio de superposición fue enunciado por primera vez por Daniel Bernoulli en 1753: «El movimiento general de un sistema vibrante viene dado por la superposición de sus vibraciones propias». Este principio fue rechazado por Leonhard Euler y posteriormente por Joseph Lagrange . Bernoulli argumentó que cualquier cuerpo sonoro podía vibrar en una serie de modos simples con una frecuencia de oscilación bien definida. Como ya había indicado, estos modos podían superponerse para producir vibraciones más complejas. En su reacción a las memorias de Bernoulli, Euler elogió a su colega por haber desarrollado de la mejor manera la parte física del problema de las cuerdas vibrantes, pero negó la generalidad y superioridad de la solución multimodo. ^{[ 11 ]}

Más tarde fue aceptada, en gran parte gracias al trabajo de Joseph Fourier . ^{[ 12 ]}

• Descomposición de estados aditivos
• Ritmo (acústico)
• Coherencia (física)
• Circunvolución
• La función de Green
• Respuesta impulsional
• Interferencia
• Superposición cuántica

• Contenido multimedia relacionado con el principio de superposición en Wikimedia Commons.
• Definición de interferencia en el diccionario Wikcionario