acústica no lineal

Continuidad:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\textbf {u}})=0}$

Conservación del momento lineal:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial {\textbf {u}}}{\partial t}}+{\textbf {u}}\cdot \nabla {\textbf {u}}\right)+\nabla p=(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot {\textbf {u}})}$

con expansión de perturbación de Taylor en la densidad:

${\displaystyle \rho =\sum _{0}^{\infty }\varepsilon ^{i}\rho _{i}}$

donde ε es un parámetro pequeño, es decir, el parámetro de perturbación, la ecuación de estado se convierte en:

${\displaystyle p=\varepsilon \rho _{1}c_{0}^{2}\left(1+\varepsilon {\frac {B}{2!A}}{\frac {\rho _{1}}{\rho _{0}}}+O(\varepsilon ^{2})\right)}$

Si se omite el segundo término en el desarrollo de Taylor de la presión, se puede derivar la ecuación de onda viscosa. Si se mantiene, el término no lineal de la presión aparece en la ecuación de Westervelt.

La ecuación de onda general que tiene en cuenta la no linealidad hasta el segundo orden viene dada por la ecuación de Westervelt ^{[ 2 ].}

${\displaystyle \,\nabla ^{2}p-{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}+{\frac {\delta }{c_{0}^{4}}}{\frac {\partial ^{3}p}{\partial t^{3}}}=-{\frac {\beta }{\rho _{0}c_{0}^{4}}}{\frac {\partial ^{2}p^{2}}{\partial t^{2}}}}$

dónde${\displaystyle p}$es la presión sonora,${\displaystyle c_{0}}$es la velocidad del sonido de señal pequeña,${\displaystyle \delta }$es la difusividad del sonido,${\displaystyle \beta }$es el coeficiente de no linealidad y${\displaystyle \rho _{0}}$es la densidad ambiental.

La difusividad del sonido viene dada por

${\displaystyle \,\delta ={\frac {1}{\rho _{0}}}\left({\frac {4}{3}}\mu +\mu _{B}\right)+{\frac {k}{\rho _{0}}}\left({\frac {1}{c_{v}}}-{\frac {1}{c_{p}}}\right)}$

dónde${\displaystyle \mu }$es la viscosidad de corte,${\displaystyle \mu _{B}}$la viscosidad global,${\displaystyle k}$la conductividad térmica,${\displaystyle c_{v}}$y${\displaystyle c_{p}}$el calor específico a volumen y presión constantes, respectivamente.

La ecuación de Westervelt se puede simplificar para tomar una forma unidimensional con la suposición de ondas que se propagan estrictamente hacia adelante y el uso de una transformación de coordenadas a un marco de tiempo retardado: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}-{\frac {\beta }{\rho _{0}c_{0}^{3}}}p{\frac {\partial p}{\partial \tau }}={\frac {\delta }{2c_{0}^{3}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial \tau ^{2}}}}$

dónde${\displaystyle \tau =tz/c_{0}}$es tiempo retardado . Esto corresponde a una ecuación de Burgers viscosa:

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial t'}}+y{\frac {\partial y}{\partial x}}=d{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}}$

en el campo de presión (y=p), con una "variable de tiempo" matemática:

${\displaystyle t'={\frac {z}{c_{0}}}}$

y con una "variable de espacio":

${\displaystyle x=-{\frac {\rho _{0}c_{0}^{2}}{\beta }}\tau }$

y un coeficiente de difusión negativo:

${\displaystyle d=-{\frac {\rho _{0}c_{0}}{2\beta ^{2}}}\delta }$.

La ecuación de Burgers es la ecuación más sencilla que describe los efectos combinados de la no linealidad y las pérdidas en la propagación de ondas progresivas.

Una extensión de la ecuación de Burgers que considera los efectos combinados de la no linealidad, la difracción y la absorción en haces de sonido direccionales se describe mediante la ecuación de Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov (KZK), nombrada en honor a Rem Khokhlov , Evgenia Zabolotskaya y VP Kuznetsov. ^{[ 4 ]} Las soluciones a esta ecuación se utilizan generalmente para modelar la acústica no lineal.

Si el${\displaystyle z}$El eje está en la dirección de la trayectoria del haz de sonido y el${\displaystyle (x,y)}$El plano es perpendicular a eso, la ecuación KZK se puede escribir ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \,{\frac {\partial ^{2}p}{\partial z\partial \tau }}={\frac {c_{0}}{2}}\nabla _{\perp }^{2}p+{\frac {\delta }{2c_{0}^{3}}}{\frac {\partial ^{3}p}{\partial \tau ^{3}}}+{\frac {\beta }{2\rho _{0}c_{0}^{3}}}{\frac {\partial ^{2}p^{2}}{\partial \tau ^{2}}}}$

La ecuación puede resolverse para un sistema particular mediante un método de diferencias finitas . Dichas soluciones muestran cómo se distorsiona el haz de sonido al atravesar un medio no lineal.

El comportamiento no lineal de la atmósfera provoca un cambio en la forma de la onda en un estampido sónico . Generalmente, esto hace que el estampido sea más "agudo" o repentino, ya que el pico de mayor amplitud se desplaza hacia el frente de onda.

La levitación acústica no sería posible sin fenómenos acústicos no lineales. ^{[ 6 ]} Los efectos no lineales son particularmente evidentes debido a las ondas acústicas de alta potencia involucradas.

Debido a su elevada relación amplitud - longitud de onda , las ondas ultrasónicas suelen presentar un comportamiento de propagación no lineal. Por ejemplo, la acústica no lineal es un campo de interés para la ecografía médica, ya que puede aprovecharse para obtener imágenes de mejor calidad.

El comportamiento físico de la acústica musical es principalmente no lineal. Se realizan intentos para modelar su generación de sonido a partir de la síntesis de modelado físico , emulando su sonido a partir de mediciones de su no linealidad. ^{[ 7 ]}

Un arreglo paramétrico es un mecanismo de transducción no lineal que genera haces estrechos y prácticamente libres de lóbulos laterales de sonido de baja frecuencia, mediante la mezcla e interacción de ondas sonoras de alta frecuencia. Sus aplicaciones incluyen, por ejemplo, la acústica y el audio subacuáticos .