Efecto de diseño

En la investigación mediante encuestas, el efecto de diseño es un valor numérico que indica qué tan bien una muestra de personas puede representar a un grupo más amplio de personas para una medida de interés específica (como la media). Esto es importante cuando la muestra proviene de un método de muestreo que difiere de la simple selección aleatoria de personas .

El efecto de diseño es un número real positivo , representado por el símbolo ${\text{Deff}}$ . Si ${\text{Deff}}=1$ , entonces la muestra fue seleccionada de una manera tan buena como si las personas fueran elegidas al azar. Cuando ${\text{Deff}}>1$ En ese caso, la inferencia a partir de los datos recopilados no es tan precisa como podría haber sido si las personas hubieran sido seleccionadas al azar.

Cuando los investigadores utilizan métodos complejos para seleccionar su muestra, recurren al efecto de diseño para verificar y ajustar sus resultados. También puede utilizarse al planificar un estudio para determinar el tamaño de la muestra .

Introducción

En la metodología de encuestas , el efecto del diseño (generalmente denominado como ${\text{Deff}}$ , $D_{\text{eff}}$ , o $D_{\text{eft}}^{2}$ ) es una medida del impacto esperado de un diseño de muestreo en la varianza de un estimador para algún parámetro de una población. Se calcula como la razón de la varianza de un estimador basado en una muestra de un diseño de muestreo (a menudo) complejo , a la varianza de un estimador alternativo basado en una muestra aleatoria simple (MAS) del mismo número de elementos. ^{[ 1 ]}^{: 258} El ${\text{Deff}}$ (ya sea estimado o conocido a priori ) puede utilizarse para evaluar la varianza de un estimador en casos donde la muestra no se obtiene mediante muestreo aleatorio simple. También puede ser útil en cálculos del tamaño de la muestra ^{[ 2 ]} y para cuantificar la representatividad de muestras recolectadas con diversos diseños de muestreo.

El efecto de diseño es un número real positivo que indica una inflación ( ${\text{Deff}}>1$ ), o deflación ( ${\text{Def}}<1$ ) en la varianza de un estimador para algún parámetro, lo cual se debe a que el estudio no utiliza SRS (con ${\text{Deff}}=1$ , cuando las varianzas son idénticas). ^{[ 3 ]}^{: 53, 54} Intuitivamente podemos obtener ${\text{Def}}<1$ cuando tenemos algún conocimiento previo que podemos explotar durante el proceso de muestreo (lo cual es algo raro). Y, por el contrario, a menudo obtenemos ${\text{Deff}}>1$ cuando necesitamos compensar alguna limitación en nuestra capacidad de recopilar datos (lo cual es más común). Algunos diseños de muestreo que podrían introducir ${\text{Deff}}$ Generalmente mayor que 1 incluye: muestreo por conglomerados (como cuando hay correlación entre las observaciones), muestreo estratificado (con asignación desproporcionada a los tamaños de los estratos), ensayo controlado aleatorio por conglomerados , muestra desproporcionada (probabilidad desigual) (por ejemplo , muestreo de Poisson ), ajustes estadísticos de los datos por falta de cobertura o falta de respuesta, y muchos otros. El muestreo estratificado puede producir ${\text{Deff}}$ que es menor que 1 cuando se utiliza la asignación proporcional a los tamaños de los estratos (cuando estos se conocen a priori y están correlacionados con el resultado de interés) o la asignación óptima (cuando la varianza difiere entre los estratos y se conoce a priori).

En la literatura se han propuesto numerosos cálculos (y estimadores) sobre cómo un diseño de muestreo conocido influye en la varianza de los estimadores de interés, ya sea aumentándola o disminuyéndola. Generalmente, el efecto del diseño varía entre las diferentes estadísticas de interés, como la media total o la media de razón . También es importante si el diseño de muestreo está correlacionado con el resultado de interés. Por ejemplo, un posible diseño de muestreo podría implicar que cada elemento de la muestra tenga una probabilidad diferente de ser seleccionado. En tales casos, el nivel de correlación entre la probabilidad de selección de un elemento y su resultado medido puede influir directamente en el efecto del diseño subsiguiente. Por último, el efecto del diseño puede verse influenciado por la distribución del propio resultado. Todos estos factores deben considerarse al estimar y utilizar el efecto del diseño en la práctica. ^{[ 4 ]}^{: 13}

Historia

El término "efecto de diseño" fue acuñado por Leslie Kish en su libro de 1965 " Survey Sampling ". ^{[ 1 ]}^{: 88, 258} En él, Kish propuso la definición general del efecto de diseño, ^{[ a ]} así como fórmulas para el efecto de diseño del muestreo por conglomerados (con correlación intraclase); ^{[ 1 ]}^{: 162} y la famosa fórmula del efecto de diseño para el muestreo de probabilidad desigual . ^{[ 1 ]}^{: 427} Estos se conocen a menudo como el "efecto de diseño de Kish" y posteriormente se combinaron en una sola fórmula.

En un artículo de 1995, ^{[ 5 ]}^{: 73} Kish menciona que un concepto similar, denominado "coeficiente de Lexis", fue descrito a finales del siglo XIX. La correlación intraclase, estrechamente relacionada, fue descrita por Fisher en 1950, mientras que los cálculos de cocientes de varianzas ya habían sido publicados por Kish y otros desde finales de la década de 1940 hasta la de 1950. Uno de los precursores de la definición de Kish fue el trabajo realizado por Cornfield en 1951. ^{[ 6 ]}^{[ 4 ]}

En su artículo de 1995, Kish propuso que es necesario considerar el efecto del diseño al promediar la misma cantidad medida de múltiples encuestas realizadas durante un período de tiempo. ^{[ 5 ]}^{: 57–62} También sugirió que se debe considerar el efecto del diseño al extrapolar del error de estadísticas simples (por ejemplo, la media) a otras más complejas (por ejemplo, coeficientes de regresión). Sin embargo, al analizar datos (por ejemplo, al usar datos de encuestas para ajustar modelos), ${\text{Deff}}$ Los valores son menos útiles hoy en día debido a la disponibilidad de software especializado para analizar datos de encuestas. Antes del desarrollo de software que calcula errores estándar para muchos tipos de diseños y estimaciones, los analistas ajustaban los errores estándar producidos por software que asumía que todos los registros en un conjunto de datos eran i.i.d. multiplicándolos por un ${\text{Hábil}}$ (véase la definición de Deft a continuación).

Definiciones

Notaciones

Deff

El efecto de diseño , comúnmente denotado por ${\text{Deff}}$ (o $D_{\text{eff}}$ , a veces con subíndices adicionales), es la razón de dos varianzas teóricas para estimadores de algún parámetro ( $\theta$ ): ^{[ 1 ]}^{[ 7 ]}

El numerador representa la varianza real para un estimador de un parámetro ( ${\sombrero {\theta }}_{w}$ ) bajo un diseño de muestreo dado $p$ ;
El denominador representa la varianza suponiendo el mismo tamaño de muestra, pero si la muestra se obtuviera utilizando el estimador para muestreo aleatorio simple sin reemplazo ( ${\hat {\theta }}_{SRSWOR}$ ).

De modo que:

{\text{Deff}}_{p}({\hat {\theta }})={\frac {var({\hat {\theta }}_{w})}{var({\hat {\theta }}_{SRSWOR})}}

En otras palabras, ${\text{Deff}}$ mide el grado en que la varianza ha aumentado (o, en algunos casos, disminuido) porque la muestra se extrajo y ajustó a un diseño de muestreo específico (por ejemplo, usando ponderaciones u otras medidas) en comparación con si la muestra fuera de una muestra aleatoria simple (sin reemplazo). Observe cómo la definición de ${\text{Deff}}$ Se basa en parámetros poblacionales que a menudo se desconocen y que son difíciles de estimar directamente. En concreto, la definición implica las varianzas de los estimadores bajo dos diseños de muestreo diferentes, aunque en la práctica solo se utilice un único diseño.

Por ejemplo, al estimar la media poblacional, ${\text{Deff}}$ (para algún diseño de muestreo p) es: ^{[ 4 ]}^{: 4}^{[ 3 ]}^{: 54}^{[ b ]}

{\text{Deff}}_{p}={\frac {var_{p}({\bar {y}}_{p})}{(1-f)S_{y}^{2}/n}}

Dónde $n$ es el tamaño de la muestra, $f=n/N$ es la fracción de la muestra de la población, $(1-f)$ es la corrección de población finita (FPC) (al cuadrado), $S_{y}^{2}$ es la varianza de muestra insesgada y $var_{p}({\bar {y}}_{p})$ es algún estimador de la varianza de la media bajo el diseño de muestreo. El problema con la fórmula anterior es que es extremadamente raro poder estimar directamente la varianza de la media estimada bajo dos diseños de muestreo diferentes, ya que la mayoría de los estudios se basan en un solo diseño de muestreo.

Hay muchas formas de cálculo ${\text{Deff}}$ , dependiendo del parámetro de interés (por ejemplo, población total, media poblacional, cuantiles, razón de cantidades, etc.), el estimador utilizado y el diseño de muestreo (por ejemplo, muestreo por conglomerados, muestreo estratificado, postestratificación, muestreo multietápico, etc.). ^{[ 8 ]}^{: 98} El proceso de estimación ${\text{Deff}}$ Los diseños específicos se describirán en la siguiente sección .

Hábil

Una cantidad relacionada con ${\text{Deff}}$ , propuesto por Kish en 1995, es el Factor de Efecto de Diseño , abreviado como ${\text{Hábil}}$ (o también $D_{\text{eft}}$ ). ^{[ 5 ]}^{: 56}^{[ 4 ]} Se define como la raíz cuadrada de las razones de varianza mientras que el denominador utiliza una muestra aleatoria simple con reemplazo (SRSWR), en lugar de sin reemplazo (SRSWOR):

${\text{Deft}}={\sqrt {\frac {{\text{var}}({\hat {\theta }}_{w})}{{\text{var}}({\hat {\theta }}_{SRSWR})}}}$

En esta definición posterior (propuesta en 1995, vs 1965) Kish argumentó a favor de usar ${\text{Deft}}^{2}$ encima ${\text{Deff}}$ Por varias razones. Se argumentó que el SRS "sin reemplazo" (con su efecto positivo en la varianza) debería capturarse en la parte del denominador en la definición del efecto de diseño, ya que es parte del diseño de muestreo. Además, dado que a menudo el uso del factor está en intervalos de confianza , se afirmó que usar ${\text{Hábil}}$ será más sencillo que escribir ${\sqrt {\text{Deff}}}$ También se dice que en muchos casos, cuando la población es muy grande, ${\text{Hábil}}$ es (casi) la raíz cuadrada de ${\text{Deff}}$ ( ${\text{Deft}}\approx {\sqrt {\text{Deff}}}$ ), por lo tanto es más fácil de usar que calcular exactamente la corrección de población finita (FPC). ^[^c^]

Aun así, en varios casos un investigador podría aproximarse a la ${\text{Hábil}}$ calculando la varianza en el numerador asumiendo un muestreo aleatorio simple con reemplazo (MASPR) en lugar de un MAS sin reemplazo (MASS), aunque no sea preciso. Por ejemplo, consideremos un diseño multietápico con unidades primarias de muestreo (UPM) seleccionadas sistemáticamente con probabilidad proporcional a alguna medida de tamaño de una lista ordenada de una manera particular (por ejemplo, por número de hogares en cada UPM). Además, supongamos que se combina con un estimador que utiliza el ajuste para igualar los totales de varias variables demográficas. En tal diseño, las probabilidades de selección conjunta para las UPM, necesarias para un estimador de varianza sin reemplazo, son 0 para algunos pares de UPM, lo que implica que no existe un estimador de varianza exacto basado en el diseño (es decir, muestreo repetido). Otro ejemplo es cuando se utiliza un archivo de uso público emitido por alguna agencia gubernamental para el análisis. En tal caso, la información sobre las probabilidades de selección conjunta de las unidades de la primera etapa casi nunca se divulga. Como resultado, un analista no puede estimar una varianza con reemplazo para el numerador, aunque lo desee. La solución habitual consiste en calcular un estimador de varianza como si las unidades primarias de muestreo (UPM) se seleccionaran con reemplazo. Esta es la opción predeterminada en paquetes de software como Stata, el paquete de encuestas de R y los procedimientos de encuestas de SAS.

Tamaño efectivo de la muestra

El tamaño efectivo de la muestra , definido por Kish en 1965, se calcula dividiendo el tamaño original de la muestra por el efecto del diseño. ^{[ 1 ]}^{: 162, 259}^{[ 9 ]}^{: 190, 192} A saber:

n_{\text{eff}}={\frac {n}{\text{Deff}}}

Esta cantidad refleja cuál sería el tamaño de muestra necesario para lograr la varianza actual del estimador (para algún parámetro) con el diseño existente, si el diseño de la muestra (y su estimador de parámetros relevante) se basaran en una muestra aleatoria simple . ^{[ 10 ]}

Una magnitud relacionada es la razón del tamaño efectivo de la muestra (ESSR), que se puede calcular simplemente tomando el inverso de ${\text{Deff}}$ (es decir, ${\frac {n_{\text{eff}}}{n}}={\frac {1}{\text{Deff}}}$ ).

Por ejemplo, supongamos que el efecto del diseño, para estimar la media poblacional a partir de un diseño de muestreo determinado, es 2. Si el tamaño de la muestra es 1000, entonces el tamaño efectivo de la muestra será 500. Esto significa que la varianza de la media ponderada basada en 1000 muestras será la misma que la de una media simple basada en 500 muestras obtenidas mediante un muestreo aleatorio simple.

El efecto del diseño para diseños de muestreo conocidos

El efecto del diseño depende del diseño de muestreo y de los ajustes estadísticos.

Los diferentes diseños de muestreo y ajustes estadísticos pueden tener un impacto sustancialmente diferente en el sesgo y la varianza de los estimadores (como la media).

Un ejemplo de diseño que puede conducir a una mayor eficiencia en la estimación, en comparación con el muestreo aleatorio simple, es el muestreo estratificado . Esta eficiencia se logra aprovechando la información sobre la composición de la población. Por ejemplo, si se sabe que el género está correlacionado con el resultado de interés, y también que la proporción hombre-mujer en una población determinada es (digamos) del 50 %-50 %, entonces muestrear exactamente la mitad de la muestra de cada género reducirá la varianza del estimador del resultado. De manera similar, si una subpoblación en particular es de especial interés, sobremuestrear deliberadamente a partir de esa subpoblación disminuirá la varianza de las estimaciones realizadas sobre ella.

En ocasiones, la mejora de la eficiencia de la varianza puede verse comprometida por la conveniencia o el costo. Por ejemplo, en el muestreo por conglomerados, las unidades pueden tener probabilidades de selección iguales o desiguales, independientemente de su correlación intraclase (y su efecto negativo de aumentar la varianza de los estimadores). Podríamos decidir (por razones prácticas) recopilar respuestas de solo dos personas por hogar (es decir, un conglomerado muestreado), lo que podría requerir un ajuste posterior al muestreo más complejo para abordar las probabilidades de selección desiguales. Además, tales decisiones podrían resultar en estimadores menos eficientes que si simplemente se tomara una proporción fija de respuestas de un conglomerado.

Cuando el diseño de muestreo no se establece de antemano y debe determinarse a partir de los datos disponibles, esto puede provocar un aumento tanto de la varianza como del sesgo del estimador ponderado. Esto puede ocurrir al realizar ajustes por problemas como la falta de cobertura, la falta de respuesta o una división inesperada de la población en estratos que no estaba disponible durante la etapa inicial del muestreo. En estos casos, podemos utilizar procedimientos estadísticos como la postestratificación, el ajuste por rangos o la ponderación inversa de la puntuación de propensión (donde se estiman las puntuaciones de propensión), entre otros métodos. El uso de estos métodos requiere supuestos sobre el modelo de diseño inicial. Por ejemplo, cuando utilizamos la postestratificación basada en la edad y el género, se asume que estas variables pueden explicar una parte significativa del sesgo en la muestra. La calidad de estos estimadores está estrechamente ligada a la calidad de la información adicional y a los supuestos de datos faltantes aleatorios utilizados al elaborarlos. En cualquier caso, incluso cuando los estimadores (como los modelos de puntuación de propensión) capturan bien la mayor parte del diseño de muestreo, el uso de ponderaciones puede marcar una diferencia pequeña o grande, dependiendo del conjunto de datos específico.

Debido a la gran variedad de diseños de muestreo (con o sin efecto en probabilidades de selección desiguales), se han desarrollado diferentes fórmulas para capturar el posible efecto del diseño, así como para estimar la varianza de los estimadores al considerar los diseños de muestreo. ^{[ 11 ]} A veces, estos diferentes efectos de diseño pueden combinarse (como en el caso de probabilidad de selección desigual y muestreo por conglomerados, más detalles en las secciones siguientes). El uso de estas fórmulas, o simplemente asumir el muestreo aleatorio simple (MAS), depende de la cantidad esperada de reducción del sesgo frente al aumento de la varianza del estimador (y de la complejidad metodológica y técnica). ^{[ 1 ]}^{: 426}

Probabilidades de selección desiguales

Fuentes de probabilidades de selección desiguales

Hay varias formas de muestrear unidades de manera que cada unidad tenga exactamente la misma probabilidad de selección. Estos métodos se denominan métodos de muestreo de igual probabilidad (EPSEM). Algunos de los métodos más básicos incluyen el muestreo aleatorio simple (SRS, con o sin reemplazo) y el muestreo sistemático para obtener un tamaño de muestra fijo. También está el muestreo de Bernoulli con un tamaño de muestra aleatorio. Técnicas más avanzadas como el muestreo estratificado y el muestreo por conglomerados también pueden diseñarse para ser EPSEM. Por ejemplo, en el muestreo por conglomerados podemos usar un muestreo en dos etapas en el que muestreamos cada conglomerado (que puede ser de diferentes tamaños) con igual probabilidad, y luego muestreamos de cada conglomerado en la segunda etapa usando SRS con una proporción fija (por ejemplo, muestrear la mitad del conglomerado, el conglomerado completo, etc.). Este método producirá EPSEM, pero el número específico de elementos que obtenemos es estocástico (es decir, no determinista). ^{[ d ]}^{[ 12 ]}^{: 3–8} Otra estrategia para el muestreo por conglomerados que conduce a EPSEM es muestrear conglomerados de manera proporcional a sus tamaños, y luego muestrear un número fijo de elementos dentro de cada conglomerado. ^{[ e ]}

En sus trabajos, Kish y otros destacan varias razones conocidas que conducen a probabilidades de selección desiguales: ^{[ 1 ]}^{: 425}^{[ 9 ]}^{: 185}^{[ 5 ]}^{: 69}^{[ 13 ]}^{: 50, 395}^{[ 14 ]}^{: 306}

Muestreo desproporcionado debido al marco o procedimiento de selección. Esto ocurre cuando un investigador sobremuestrea o inframuestrea deliberadamente subpoblaciones o grupos específicos. Por ejemplo:
- En el muestreo estratificado, cuando se sabe que las unidades de algunos estratos tienen una varianza mayor que otros estratos, la intención del investigador puede ser utilizar este conocimiento previo sobre la varianza entre estratos para reducir la varianza general de un estimador de algún parámetro de interés a nivel poblacional (por ejemplo, la media). Esto se puede lograr mediante una estrategia conocida como asignación óptima , en la que un estrato $h$ se sobremuestrea proporcionalmente a una desviación estándar más alta y un costo de muestreo más bajo (es decir, $f_{h}\propto {\frac {S_{h}}{\sqrt {C_{h}}}}$ , dónde $S_{h}$ es la desviación estándar del resultado en $h$ , y $C_{h}$ se relaciona con el costo de reclutar un elemento de $h$ ). Un ejemplo de asignación óptima es la asignación óptima de Neyman que, cuando el costo de reclutar personas de cada estrato es fijo, el tamaño de la muestra es: $n_{h}=n{\frac {W_{h}S_{Uh}}{\sum _{h}W_{h}S_{Uh}}}$ . Donde la suma se realiza sobre todos los estratos: n es el tamaño total de la muestra; $n_{h}$ es el tamaño de la muestra para el estrato h ; $W_{h}={\frac {N_{h}}{N}}$ es el tamaño relativo del estrato h en comparación con toda la población N ; y $S_{Uh}$ es el error estándar en el estrato h . ^{[ 15 ]} Un concepto relacionado con el diseño óptimo es el diseño experimental óptimo .
- Si se desea comparar dos estratos (por ejemplo, personas de dos grupos sociodemográficos específicos o de dos regiones, etc.), se puede sobremuestrear el grupo más pequeño. De esta forma, se reduce la varianza del estimador que compara ambos grupos.
- En el muestreo por conglomerados puede haber conglomerados de diferentes tamaños, pero el procedimiento toma muestras de todos los conglomerados utilizando SRS , y se miden todos los elementos del conglomerado (por ejemplo, si los tamaños de los conglomerados no se conocen de antemano en la etapa de muestreo).
- En algunos muestreos por conglomerados en dos etapas basados en tamaños de conglomerados. Por ejemplo, cuando en la primera etapa los conglomerados se muestrean proporcionalmente a la estimación de su tamaño (también conocido como PPS Probabilidad Proporcional al Tamaño) y en la segunda etapa se elige una proporción fija de elementos (por ejemplo, la mitad o todos los elementos del conglomerado), entonces las probabilidades de selección son diferentes para los elementos de diferentes conglomerados. Un caso similar es cuando la primera etapa intenta muestrear los conglomerados usando PPS, la segunda etapa usa un número fijo de elementos en cada conglomerado, pero los tamaños de conglomerados utilizados para el muestreo de la primera etapa fueron inexactos (de modo que un conglomerado más pequeño puede tener una probabilidad de selección mayor de la que debería. Y viceversa para conglomerados más grandes con una probabilidad demasiado pequeña de ser muestreados). En tales casos, cuanto mayores sean los errores en las probabilidades de muestreo utilizadas en la primera etapa, mayores serán las probabilidades de selección desiguales para cada elemento. ^{[ 8 ]}^{: 109}^{[ f ]}
- Cuando el marco utilizado para el muestreo incluye duplicación de algunos elementos, lo que conlleva que algunos elementos tengan una mayor probabilidad de ser muestreados que otros (por ejemplo, si el marco de muestreo se creó mediante la fusión de varias listas, o si se reclutan usuarios de varios canales publicitarios en los que algunos usuarios están disponibles para ser reclutados en varios canales, mientras que otros solo lo están en uno), de modo que diferentes unidades tendrían diferentes probabilidades de muestreo, lo que hace que este procedimiento de muestreo no sea EPSEM. ^{[ 12 ]}^{: 3–8}^{[ 9 ]}^{: 186}
- Cuando se combinan varias muestras/marcos diferentes. Por ejemplo, al ejecutar distintas campañas publicitarias para reclutar participantes. O al combinar resultados de varios estudios realizados por diferentes investigadores y/o en diferentes momentos (es decir, metaanálisis ). ^{[ 9 ]}^{: 188}
Cuando se produce un muestreo desproporcionado debido a decisiones de diseño del muestreo, el investigador puede (en ocasiones) rastrear la decisión y calcular con precisión la probabilidad de inclusión exacta. Cuando resulta difícil rastrear estas probabilidades de selección, se pueden estimar utilizando un modelo de puntuación de propensión combinado con información de variables auxiliares (por ejemplo, edad, género, etc.).
No cobertura . ^{[ 1 ]}^{: 527, 528} Esto ocurre, por ejemplo, si las personas son muestreadas con base en alguna lista predefinida que no incluye a todas las personas de la población (por ejemplo, una guía telefónica o el uso de anuncios para reclutar personas para una encuesta). Estas unidades faltantes faltan debido a algún fallo en la creación del marco de muestreo , en lugar de la exclusión deliberada de algunas personas (por ejemplo, menores, personas que no pueden votar, etc.). El efecto de la no cobertura en la probabilidad de muestreo se considera difícil de medir (y ajustar) en diversas situaciones de encuesta, a menos que se hagan supuestos fuertes. Los ajustes por no cobertura pueden llevar a ponderaciones inadecuadas cuando no se utilizan las covariables relevantes para el ajuste. Si hay covariables que se pueden usar para corregir la no cobertura, se espera que conduzcan a ponderaciones de encuesta desiguales.
Falta de respuesta . Esto se refiere a la imposibilidad de obtener mediciones en las unidades muestreadas que se pretendían medir. Las razones de la falta de respuesta son variadas y dependen del contexto. Una persona puede no estar disponible temporalmente, por ejemplo, si no puede contestar el teléfono cuando se realiza una encuesta telefónica. Una persona también puede negarse a responder la encuesta por diversas razones, como las diferentes tendencias de respuesta de las personas de distintos grupos étnicos, demográficos o socioeconómicos; la falta de incentivos para dedicar tiempo o compartir datos; la identidad de la institución que realiza la encuesta; la incapacidad para responder (por ejemplo, debido a enfermedad, analfabetismo o barrera idiomática); la imposibilidad de localizar al encuestado (por ejemplo, porque se mudó); la respuesta se perdió o destruyó durante la codificación o la transmisión (es decir, error de medición). En el contexto de las encuestas, estas razones pueden estar relacionadas con responder la encuesta completa o solo preguntas específicas. ^{[ 1 ]}^{: 532}^{[ 9 ]}^{: 186}
Ajustes estadísticos . Estos pueden incluir métodos como post-estratificación , ajuste o modelos de puntuación de propensión (estimación) , utilizados para realizar un ajuste de la muestra a algunos tamaños de estratos conocidos (o estimados). Estos ajustes pueden ser adicionales a los pesos de diseño , que tienen como objetivo tener en cuenta los desequilibrios debidos a algún diseño de muestreo conocido. Tales procedimientos se utilizan para mitigar problemas en el muestreo que van desde el error de muestreo , la subcobertura del marco de muestreo hasta la falta de respuesta. ^{[ 16 ]}^{: 45}^{[ 17 ]} Por ejemplo, estos métodos se pueden utilizar para hacer que la muestra sea más similar a algunos "controles" objetivo (es decir, población de interés), un proceso también llamado "estandarización". ^{[ 9 ]}^{: 187} En tales casos, estos ajustes ayudan a proporcionar estimadores insesgados (a menudo con el costo de un aumento de la varianza, como se ve en las siguientes secciones). Si la muestra original es una muestra no probabilística , entonces los ajustes de post-estratificación son simplemente similares al muestreo por cuotas . ^{[ 9 ]}^{: 188, 189} Nótese que si se utiliza una muestra aleatoria simple, una postestratificación (utilizando alguna información auxiliar) no ofrece un estimador que sea uniformemente mejor que un estimador no ponderado. Sin embargo, puede considerarse un estimador más "robusto". ^{[ 18 ]} Alternativamente, cuando el diseño de muestreo se conoce completamente (lo que lleva a alguna $p_{h}$ probabilidad de selección de algún elemento del estrato h ), y la no respuesta es medible (es decir, sabemos que solo $r_{h}$ observaciones respondidas en el estrato h ), entonces se puede calcular un peso de probabilidad inversa exactamente conocido para cada elemento i del estrato h usando: $w_{i}={\frac {1}{p_{h}r_{h}}}$ . ^{[ 9 ]}^{: 186}^{[ g ]} A veces se utiliza un ajuste estadístico, como la postestratificación o el ajuste por rangos, para estimar la probabilidad de selección. Por ejemplo, al comparar la muestra que tenemos con la misma población objetivo, también conocido como emparejamiento con controles. El proceso de estimación puede centrarse únicamente en ajustar la población existente a una población alternativa (por ejemplo, si se intenta extrapolar desde un panel extraído de varias regiones a un país entero). En tal caso, el ajuste podría centrarse en algún factor de calibración. $c_{i}$ y los pesos se calcularán como $w_{i}={\frac {c_{i}}{p_{h}r_{h}}}$ . ^{[ 9 ]}^{: 187} Sin embargo, en otros casos, tanto la subcobertura como la falta de respuesta se modelan como parte del ajuste estadístico, lo que lleva a una estimación de la probabilidad de muestreo general (digamos $p_{i}'$ ). En tal caso, los pesos son simplemente: $w_{i}={\frac {1}{p_{i}'}}$ . Observe que cuando se utilizan ajustes estadísticos, $w_{i}$ a menudo se estima en función de algún modelo. La formulación en las siguientes secciones asume esto $w_{i}$ se sabe, lo cual no es cierto para los ajustes estadísticos (ya que solo tenemos ${\widehat {w}}_{i}$ ). Sin embargo, si se supone que el error de estimación de ${\widehat {w}}_{i}$ Si es muy pequeño, las siguientes secciones pueden usarse como si se conociera. Que esta suposición sea cierta depende del tamaño de la muestra utilizada para el modelado, y conviene tenerlo en cuenta durante el análisis. Cuando las probabilidades de selección pueden ser diferentes, el tamaño de la muestra es aleatorio y las probabilidades de selección por pares son independientes, a esto lo llamamos muestreo de Poisson . ^{[ 19 ]}

"Basado en el diseño" frente a "basado en el modelo" para describir las propiedades de los estimadores.

Ajustar la selección de probabilidad desigual mediante "ponderaciones de casos individuales" (por ejemplo, ponderación de probabilidad inversa ) produce diversos tipos de estimadores para las cantidades de interés. Estimadores como el de Horvitz-Thompson producen estimadores insesgados (si las probabilidades de selección se conocen, o se conocen aproximadamente) para el total y la media de la población. Deville y Särndal (1992) acuñaron el término " estimador de calibración " para los estimadores que utilizan ponderaciones que satisfacen alguna condición, como que la suma de las ponderaciones sea igual al tamaño de la población. Y, de forma más general, que la suma ponderada de las ponderaciones sea igual a alguna cantidad de una variable auxiliar. $\sum w_{i}x_{i}=X$ (p. ej., que la suma de las edades ponderadas de los encuestados sea igual al tamaño de la población en cada grupo de edad). ^{[ 20 ]}^{[ 17 ]}^{: 132}^{[ 21 ]}^{: 1}

Las dos formas principales de argumentar sobre las propiedades de los estimadores de calibración son: ^{[ 17 ]}^{: 133–134}^{[ 22 ]}

basado en la aleatorización (o en el diseño de muestreo): en este caso, los pesos ( $w_{i}$ ) y valores del resultado de interés $y_{i}$ que se miden en la muestra se tratan como conocidos. En este marco, hay variabilidad en los valores (conocidos) del resultado ( Y ). Sin embargo, la única aleatoriedad proviene de cuáles de los elementos de la población se eligieron para la muestra (a menudo denotado como $I_{i}$ , obteniendo 1 si el elemento $i$ está en la muestra y 0 si no lo está). Para una muestra aleatoria simple , cada $I_{i}$ será una distribución de Bernoulli IID con algún parámetro $p$ . Para EPSEM general (muestreo de igual probabilidad) $I_{i}$ seguirá siendo Bernoulli con algún parámetro $p$ pero es posible que ya no sean variables aleatorias independientes . Es decir, saber que una muestra es EPSEM significa que mantiene una probabilidad de selección marginalmente igual, pero no nos informa sobre la probabilidad conjunta de selección. Para algo como la postestratificación, el número de elementos en cada estrato se puede modelar como una distribución multinomial con diferentes $p_{h}$ probabilidades de inclusión para cada elemento perteneciente a algún estrato $h$ En estos casos, el tamaño de la muestra en sí mismo puede ser una variable aleatoria .
Modelo basado en datos : en este caso, la muestra y las ponderaciones son fijas, pero la variable de interés se trata como una variable aleatoria. Por ejemplo, en el caso de la postestratificación, la variable de interés puede modelarse como una función de regresión lineal donde las variables independientes son variables indicadoras que asignan cada observación a su estrato correspondiente, y la variabilidad viene representada por el término de error.

Como veremos más adelante, algunas demostraciones en la literatura se basan en el marco de la aleatorización, mientras que otras se centran en la perspectiva basada en modelos. Al pasar de la media a la media ponderada , se añade mayor complejidad. Por ejemplo, en el contexto de la metodología de encuestas , a menudo el tamaño de la población se considera una cantidad desconocida que se estima. Así, el cálculo de la media ponderada se basa en un estimador de razón , con un estimador del total en el numerador y un estimador del tamaño de la población en el denominador (lo que hace que el cálculo de la varianza sea más complejo). ^{[ 23 ]}^{[ 3 ]}^{: 182}

Tipos comunes de pesas

Existen muchos tipos (y subtipos) de ponderaciones, con diferentes maneras de usarlas e interpretarlas. En algunas ponderaciones, su valor absoluto tiene un significado importante, mientras que en otras, lo relevante son sus valores relativos entre sí. Esta sección presenta algunos de los tipos de ponderaciones más comunes para que sirvan de referencia en secciones posteriores.

Los pesos de frecuencia ^{[ 24 ]} son un tipo básico de ponderación que se presenta en los cursos de estadística introductoria. En estos, cada peso es un número entero que indica la frecuencia absoluta de un elemento en la muestra. También se les denomina a veces pesos de repetición (o de ocurrencia). El valor específico tiene un significado absoluto que se pierde si los pesos se transforman, como al escalar . Por ejemplo: si tenemos los números 10 y 20 con valores de pesos de frecuencia de 2 y 3, entonces al "distribuir" nuestros datos es: 10, 10, 20, 20, 20 (con pesos de 1 para cada uno de estos elementos). Los pesos de frecuencia incluyen la cantidad de información contenida en un conjunto de datos y, por lo tanto, permiten cosas como crear una estimación de varianza ponderada insesgada utilizando la corrección de Bessel . Nótese que dichos pesos suelen ser variables aleatorias , ya que el número específico de elementos que veremos de cada valor en el conjunto de datos es aleatorio.
La ponderación de varianza inversa , también conocida como ponderación analítica ,^{[ 24 ]} consiste en asignar a cada elemento una ponderación que es la inversa de su varianza (conocida).^{[ 25 ]}^{[ 9 ]}^{: 187} Cuando todos los elementos tienen la misma esperanza matemática, el uso de dichas ponderaciones para calcular promedios ponderados produce la menor varianza entre todos los promedios ponderados. En la formulación común, estas ponderaciones son conocidas y no aleatorias.
Los pesos normalizados (convexos) son un conjunto de pesos que forman una combinación convexa , es decir, cada peso es un número entre 0 y 1, y la suma de todos los pesos es igual a 1. Cualquier conjunto de pesos (no negativos) se puede convertir en pesos normalizados dividiendo cada peso por la suma de todos los pesos, de modo que estos pesos normalizados sumen 1.

Una forma relacionada son los pesos normalizados para que sumen el tamaño de la muestra (n) . Estos pesos (no negativos) suman el tamaño de la muestra (n), y su media es 1. Cualquier conjunto de pesos puede normalizarse al tamaño de la muestra dividiendo cada peso por el promedio de todos los pesos. Estos pesos tienen una interpretación relativa interesante: los elementos con pesos mayores que 1 son más "influyentes" (en términos de su influencia relativa sobre, por ejemplo, la media ponderada) que la observación promedio, mientras que los pesos menores que 1 son menos "influyentes" que la observación promedio.

La ponderación de probabilidad inversa , o simplemente ponderaciones de probabilidad ,^{[ 24 ]} es cuando a cada elemento se le da un peso que es (proporcional) a la probabilidad inversa de seleccionar ese elemento. Por ejemplo, al usar $w_{i}={\frac {1}{p_{i}}}$ [ ⁹^]^:^{185 Con ponderaciones de probabilidad inversa, aprendemos cuántos elementos "}^representa " cada elemento en la población objetivo. Por lo tanto, la suma de dichas ponderaciones devuelve el tamaño de la población objetivo de interés. Las ponderaciones de probabilidad inversa se pueden normalizar para que sumen 1 o para que sumen el tamaño de la muestra (n), y muchos de los cálculos de las siguientes secciones darán los mismos resultados.

Cuando una muestra es EPSEM, entonces todas las probabilidades son iguales y el inverso de la probabilidad de selección produce pesos que son todos iguales entre sí (son todos iguales entre sí).

{\frac {N}{n}}={\frac {1}{f}}

, dónde

n

es el tamaño de la muestra y

N

es el tamaño de la población). Dicha muestra se denomina muestra autoponderada . ^{[ 9 ]}^{: 193}

También existen formas indirectas de aplicar ajustes ponderados. Por ejemplo, se pueden duplicar los casos existentes para imputar observaciones faltantes (p. ej., por falta de respuesta), estimando la varianza mediante métodos como la imputación múltiple . Un enfoque alternativo consiste en eliminar (asignar un peso de 0 a) algunos casos. Por ejemplo, cuando se desea reducir la influencia de grupos sobremuestreados que son menos esenciales para algún análisis. Ambos casos son similares a la ponderación por probabilidad inversa, pero su aplicación práctica genera más o menos filas de datos (lo que potencialmente simplifica su uso en alguna implementación de software), en lugar de aplicar una columna adicional de ponderaciones. Sin embargo, las consecuencias de dichas implementaciones son similares a las de simplemente usar ponderaciones. Así, mientras que en el caso de eliminar observaciones los datos pueden ser manejados fácilmente por implementaciones de software comunes, el caso de agregar filas requiere ajustes especiales para las estimaciones de incertidumbre. No hacerlo puede llevar a conclusiones erróneas (es decir, no hay soluciones fáciles al usar representaciones alternativas de los problemas subyacentes). ^{[ 9 ]}^{: 189, 190}

El término "pesos aleatorios", acuñado por Kish, se utiliza para referirse a pesos que corresponden a probabilidades de selección desiguales , pero que no están relacionados con la esperanza o la varianza de los elementos seleccionados. ^{[ 9 ]}^{: 190, 191}

Pesos aleatorios con media de razón estimada: efecto de diseño de Kish

Fórmula

Al tomar una muestra no restringida de $n$ elementos, luego podemos dividir aleatoriamente estos elementos en $H$ estratos disjuntos , cada uno de ellos conteniendo algún tamaño de $n_{h}$ elementos para que $\sum \limits _{h=1}^{H}n_{h}=n$ . Todos los elementos en cada estrato $h$ tiene algún peso no negativo (conocido) asignado a ellos ( $w_{h}$ ). El peso $w_{h}$ puede producirse mediante el inverso de alguna probabilidad de selección desigual para los elementos en cada estrato. $h$ (es decir, ponderación de probabilidad inversa siguiendo un procedimiento como la postestratificación). En este contexto, el efecto de diseño de Kish , para el aumento en la varianza de la media ponderada de la muestra debido a este diseño (reflejado en los pesos), frente a SRS de alguna variable de resultado y (cuando no hay correlación entre los pesos y el resultado, es decir, pesos aleatorios) es: ^{[ 1 ]}^{: 427}^{[ 9 ]}^{: 191(4.2)}

{\text{Deff}}={\frac {n\sum \limits _{h=1}^{H}(n_{h}w_{h}^{2})}{(\sum \limits _{h=1}^{H}n_{h}w_{h})^{2}}}

Al tratar cada elemento como proveniente de su propio estrato $\forall h:n_{h}=1$ , Kish (en 1992) simplificó la fórmula anterior a la siguiente versión (bien conocida): ^{[ 9 ]}^{: 191(4.3)}^{[ 26 ]}^{: 318}^{[ 4 ]}^{: 8}

{\text{Deff}}={\frac {n\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}{(\sum _{i=1}^{n}w_{i})^{2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)^{2}}}={\frac {\overline {w^{2}}}{{\overline {w}}^{2}}}

Esta versión de la fórmula es válida cuando un estrato tiene varias observaciones (es decir, cada una con el mismo peso), o cuando hay muchos estratos, cada uno con una sola observación, pero varios de ellos tienen la misma probabilidad de selección. Si bien la interpretación es ligeramente diferente, el cálculo en ambos casos es el mismo.

Al utilizar el efecto de diseño de Kish para ponderaciones desiguales, puede utilizar la siguiente fórmula simplificada para el " Tamaño efectivo de la muestra de Kish " ^{[ 27 ]}^{[ 1 ]}^{: 162, 259}

n_{\text{eff}}={\frac {(\sum _{i=1}^{n}w_{i})^{2}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}}

[Prueba]

$n_{\text{eff}}={\frac {n}{\text{Deff}}}={\frac {n}{\frac {n\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}{(\sum _{i=1}^{n}w_{i})^{2}}}}={\frac {(\sum _{i=1}^{n}w_{i})^{2}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}}$

Supuestos y demostraciones

La fórmula anterior, de Kish , da el aumento en la varianza de la media ponderada basada en ponderaciones "aleatorias" . Esto también se puede escribir como la siguiente fórmula donde y son observaciones seleccionadas usando probabilidades de selección desiguales (sin correlación dentro del clúster y sin relación con la esperanza o varianza de la medición del resultado), ^{[ 9 ]}^{: 190, 191} e y' son las observaciones que habríamos tenido si las hubiéramos obtenido de una muestra aleatoria simple :

${\text{Deff}}_{\text{Kish}}={\frac {{\text{var}}\left({\bar {y}}_{w}\right)}{{\text{var}}\left({\bar {y}}'\right)}}={\frac {{\text{var}}\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)}{{\text{var}}\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}y_{i}'}{n}}\right)}}$

Se puede demostrar que la fórmula de la razón de varianzas se puede reducir a la fórmula de Kish utilizando una perspectiva basada en modelos . ^{[ 28 ]} En ella, la fórmula de Kish se cumplirá cuando todas las n observaciones ( $y_{1},...,y_{n}$ ) no están correlacionados (al menos aproximadamente ) $\forall (i\neq j):{\text{cor}}(y_{i},y_{j})=0$ ), con la misma varianza ( $\sigma ^{2}$ ) en la variable de respuesta de interés (y). También será necesario suponer que los pesos en sí mismos no son una variable aleatoria , sino más bien algunas constantes conocidas (por ejemplo, el inverso de la probabilidad de selección, para algún diseño de muestreo predeterminado y conocido ).

[Prueba]

La siguiente es una prueba simplificada para cuando no hay conglomerados (es decir, no hay correlación intraclase entre los elementos de la muestra) y cada estrato incluye solo una observación: ^{[ 28 ]}

${\begin{aligned}{\text{var}}\left({\bar {y}}_{w}\right)&{\stackrel {1}{=}}{\text{var}}\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}\right){\stackrel {2}{=}}{\text{var}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}'y_{i}\right){\stackrel {3}{=}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\text{var}}\left(w_{i}'y_{i}\right)\\&{\stackrel {4}{=}}\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}'^{2}{\text{var}}\left(y_{i}\right){\stackrel {5}{=}}\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}'^{2}\sigma ^{2}{\stackrel {6}{=}}{\frac {\sigma ^{2}}{n}}{\frac {n\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}{\left(\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}\right)^{2}}}{\stackrel {7}{=}}{\text{var}}\left({\bar {y}}'\right)D_{eff(kish)}\\&\implies D_{eff(kish)}={\frac {{\text{var}}\left({\bar {y}}_{w}\right)}{{\text{var}}\left({\bar {y}}'\right)}}\end{aligned}}$

Transiciones:

a partir de la definición de la media ponderada .
utilizando la definición de pesos normalizados (convexos) (pesos que suman 1): $w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}$ .
suma de variables aleatorias no correlacionadas .
Si los pesos son constantes (a partir de las propiedades básicas de la varianza). Otra forma de decirlo es que los pesos se conocen de antemano para cada observación i. Es decir, que en realidad estamos calculando ${\text{var}}\left({\bar {y}}_{w}|w\right)$
cuando todas las observaciones tienen la misma varianza ( $\sigma ^{2}$ ).
Un poco de álgebra: Movimiento $\sigma ^{2}$ a la izquierda, agregando un término de multiplicación de ${\frac {n}{n}}$ y apertura $w_{i}'$ atrás.
Volvamos a las definiciones.

Las condiciones sobre y se cumplen trivialmente si las observaciones de y son IID con la misma esperanza y varianza . En tales casos, $y=y'$ y podemos estimar $var\left({\bar {y}}_{w}\right)$ mediante el uso ${\overline {{\text{var}}\left({\bar {y}}_{w}\right)}}={\overline {{\text{var}}\left({\bar {y}}\right)}}\times {\text{Deff}}$ . ^{[ 9 ]}^{[ 29 ]} Si las y no tienen todas las mismas expectativas, entonces no podemos usar la varianza estimada para el cálculo, ya que esa estimación supone que todas $y_{i}$ s tienen la misma expectativa. Específicamente, si hay una correlación entre los pesos y la variable de resultado y, entonces significa que la expectativa de y no es la misma para todas las observaciones (sino que depende del valor de peso específico para cada observación). En tal caso, aunque la fórmula del efecto de diseño podría seguir siendo correcta (si se cumplen las demás condiciones), requeriría un estimador diferente para la varianza de la media ponderada. Por ejemplo, podría ser mejor usar un estimador de varianza ponderada .

Si es diferente $y_{i}$ Si los valores s tienen varianzas diferentes, entonces, aunque la varianza ponderada podría capturar la varianza correcta a nivel de población, la fórmula de Kish para el efecto de diseño puede dejar de ser válida.

Un problema similar ocurre si existe alguna estructura de correlación en las muestras (como cuando se utiliza el muestreo por conglomerados ).

Relación con el coeficiente de variación

Nótese que la definición de Kish del efecto de diseño está estrechamente ligada al coeficiente de variación (Kish también lo denomina relvariancia o relvar , abreviado ^{[ h ]} ) de las ponderaciones (cuando se utiliza la desviación estándar muestral no corregida (a nivel poblacional) para la estimación ). Esto tiene varias notaciones en la literatura: ^{[ 9 ]}^{: 191}^{[ 13 ]}^{: 396}

{\text{Deff}}=1+L=1+{C_{V}}^{2}=1+{\text{relvar}}(w)=1+{\frac {V(w)}{{\bar {w}}^{2}}}

.

Dónde $V(w)={\frac {\sum (w_{i}-{\bar {w}})^{2}}{n}}$ es la varianza poblacional de $w$ , y ${\bar {w}}={\frac {\sum w_{i}}{n}}$ es la media. Cuando los pesos se normalizan al tamaño de la muestra (de modo que su suma sea igual a n y su media sea igual a 1), entonces ${C_{V}}^{2}=V(w)$ y la fórmula se reduce a ${\text{Deff}}=1+V(w)$ Si bien es cierto que asumimos que los pesos son fijos, podemos pensar en su varianza como la varianza de una distribución empírica definida al muestrear (con igual probabilidad) un peso de nuestro conjunto de pesos (de manera similar a como pensaríamos en la correlación de x e y en una regresión lineal simple ).

[Prueba]

${C_{V}}^{2}=\left({\frac {s_{w}}{\bar {w}}}\right)^{2}={\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}(w_{i}-{\bar {w}})^{2}}{n}}{{\bar {w}}^{2}}}={\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}^{2}-n{\bar {w}}^{2}}{n}}{{\bar {w}}^{2}}}={\frac {{\overline {w}}^{2}-{\bar {w}}^{2}}{{\bar {w}}^{2}}}={\frac {{\overline {w}}^{2}}{{\bar {w}}^{2}}}-1={\text{Deff}}-1\implies {\text{Deff}}=1+{C_{V}}^{2}$

Relación con el muestreo estratificado desproporcionado

La definición original de Kish comparaba la varianza bajo algún diseño de muestreo con la varianza obtenida mediante una muestra aleatoria simple . Algunos estudios proporcionan la siguiente definición alternativa para el efecto de diseño de Kish: "la razón entre la varianza de la media ponderada de la encuesta bajo muestreo estratificado desproporcionado y la varianza bajo muestreo estratificado proporcional cuando todas las varianzas de las unidades de estrato son iguales". ^{[ 26 ]}^{: 318}^{[ 13 ]}^{: 396} Reflexionando sobre esto, Park y Lee (2006) afirmaron que "La razón de ser de la derivación de [...][Kish] es que la pérdida de precisión de [la media ponderada] debido a una ponderación desigual aleatoria puede aproximarse mediante la razón entre la varianza bajo muestreo estratificado desproporcionado y la del muestreo estratificado proporcional". ^{[ 4 ]}^{: 8}

Cabe señalar que esta definición alternativa es solo una aproximación, ya que si el denominador se basa en un "muestreo estratificado proporcional" (obtenido mediante muestreo estratificado ), dicha selección generará una varianza reducida en comparación con un muestreo aleatorio simple . Esto se debe a que el muestreo estratificado elimina parte de la variabilidad en el número específico de elementos por estrato, como ocurre en el muestreo aleatorio simple.

En este sentido, Cochran (1977) proporciona una fórmula para el aumento proporcional de la varianza debido a la desviación de la asignación óptima (lo que, en las fórmulas de Kish, se denominaría L ). ^{[ 3 ]}^{: 116}

Convenciones de nomenclatura alternativas

Los primeros artículos utilizaron el término ${\text{Deff}}$ . ^{[ 9 ]}^{: 192} A medida que aparecieron más definiciones del efecto de diseño, el efecto de diseño de Kish para probabilidades de selección desiguales se denotó ${\text{Deff}}_{\text{Kish}}$ (o ${\text{Deft}}_{\text{Kish}}^{2}$ ) o simplemente ${\text{Deff}}_{K}$ abreviado. ^{[ 4 ]}^{: 8}^{[ 13 ]}^{: 396}^{[ 26 ]}^{: 318} El efecto de diseño de Kish también se conoce como el "Efecto de Ponderación Desigual" (o simplemente UWE), término acuñado por Liu et al. en 2002. ^{[ 30 ]}^{: 2124}

Cuando el resultado se correlaciona con las probabilidades de selección

Def de Spencer para el total estimado

El estimador para el total es el estimador "p-expandido con reemplazo" (también conocido como: estimador pwr o Hansen y Hurwitz ). Se basa en una muestra aleatoria simple (con reemplazo, denotada SIR ) de n elementos ( $y_{k}$ ) de una población de tamaño N. ^{[ i ]} Cada elemento tiene una probabilidad de $p_{k}$ (k de 1 a N) a ser extraído en una sola extracción ( $\sum _{U}p_{k}=1$ (es decir, es una distribución multinomial ). La probabilidad de que un evento específico ocurra $y_{k}$ aparecerá en la muestra es $p_{k}$ . El valor "p-expandido con reemplazo" es $Z_{i}={\frac {y_{k}}{p_{k}}}$ con la siguiente expectativa: $E[Z_{i}]=E[I_{i}{\frac {y_{k}}{p_{k}}}]={\frac {y_{k}}{p_{k}}}E[I_{i}]={\frac {y_{k}}{p_{k}}}p_{k}=y_{k}$ . Por eso ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i}^{n}Z_{i}$ , el estimador pwr, es un estimador insesgado para la suma total de y. ^{[ 3 ]}^{: 51}

En 2000, Bruce D. Spencer propuso una fórmula para estimar el efecto del diseño para la varianza de estimar el total (no la media) de alguna cantidad ( ${\hat {Y}}$ ), cuando existe correlación entre las probabilidades de selección de los elementos y la variable de resultado de interés. ^{[ 31 ]}

En esta configuración, se extrae una muestra de tamaño n (con reemplazo) de una población de tamaño N. Cada elemento se extrae con probabilidad $P_{i}$ (dónde $\sum _{i=1}^{N}P_{i}=1$ , es decir, distribución multinomial ). Las probabilidades de selección se utilizan para definir los pesos normalizados (convexos) : $w_{i}={\frac {1}{nP_{i}}}$ . Nótese que para algún conjunto aleatorio de n elementos, la suma de los pesos será igual a 1 solo por expectativa ( $E[w_{i}]=1$ ) con cierta variabilidad de la suma a su alrededor (es decir, la suma de elementos de una distribución binomial de Poisson ). La relación entre $y_{i}$ y $P_{i}$ se define mediante la siguiente regresión lineal simple (poblacional) :

y_{i}=\alpha +\beta P_{i}+\epsilon _{i}

Dónde $y_{i}$ es el resultado del elemento i , que depende linealmente de $P_{i}$ con la intercepción $\alpha$ y pendiente $\beta$ . El residuo de la línea ajustada es $\epsilon _{i}=y_{i}-(\alpha +\beta P_{i})$ También podemos definir las varianzas poblacionales del resultado y los residuos como $\sigma _{y}^{2}$ y $\sigma _{\epsilon }^{2}$ . La correlación entre $P_{i}$ y $y_{i}$ es $\rho _{y,P}$ .

El efecto de diseño (aproximado) de Spencer para estimar el total de y es: ^{[ 31 ]}^{: 138}^{[ 32 ]}^{: 4}^{[ 13 ]}^{: 401}

{\text{Deff}}_{Spencer}=(1-{\hat {\rho }}_{y,P}^{2})(1+L)+\left({\frac {\hat {\alpha }}{{\hat {\sigma }}_{y}}}\right)^{2}L

Dónde:

${\hat {\rho }}_{y,P}^{2}$ estimaciones $\rho _{y,P}^{2}$
${\hat {\alpha }}$ estima la pendiente $\alpha$
${\hat {\sigma }}_{y}$ estima la varianza poblacional $\sigma _{y}$ , y
L es la relavarianza de los pesos, tal como se define en la fórmula de Kish : $L=cv_{w}^{2}={\text{relvar}}(w)={\frac {V(w)}{{\bar {w}}^{2}}}$ .

Esto supone que el modelo de regresión se ajusta bien de modo que la probabilidad de selección y los residuos sean independientes , ya que lleva a que los residuos, y los residuos al cuadrado, no estén correlacionados con los pesos, es decir, que $\rho _{\epsilon ,W}=0$ y también $\rho _{\epsilon ^{2},W}=0$ . ^{[ 31 ]}^{: 138}

Cuando el tamaño de la población (N) es muy grande, la fórmula se puede escribir como: ^{[ 26 ]}^{: 319}

{\text{Deff}}_{Spencer}=(1-{\hat {\rho }}_{y,P}^{2})(1+cv_{w}^{2})+\left({\frac {1}{cv_{Y}^{2}}}\right)^{2}cv_{w}^{2}

(desde $\alpha ={\bar {Y}}-\beta \times {\bar {P}}={\bar {Y}}-\beta \times {\frac {1}{N}}\approx {\bar {Y}}$ , dónde $cv_{Y}^{2}={\frac {\sigma _{Y}^{2}}{{\bar {Y}}^{2}}}$ )

Esta aproximación supone que se cumple la relación lineal entre P e y . Y también que la correlación de los pesos con los errores, y los errores al cuadrado, son ambos cero. Es decir, $\rho _{w,e}=0$ y $\rho _{w,e^{2}}=0$ . ^{[ 32 ]}^{: 4}

Observamos que si ${\hat {\rho }}_{y,P}\approx 0$ , entonces ${\hat {\alpha }}\approx {\bar {y}}$ (es decir, el promedio de y ). En tal caso, la fórmula se reduce a

{\text{Deff}}_{Spencer}=(1+L)+\left({\frac {1}{{\text{relvar}}(y)}}\right)^{2}L

Solo si la varianza de y es mucho mayor que su media, entonces el término más a la derecha está cerca de 0 (es decir, ${\frac {1}{{\text{relvar}}(y)}}={\frac {\bar {Y}}{\sigma _{y}}}\approx 0$ ), lo que reduce el efecto de diseño de Spencer (para el total estimado) a igual al efecto de diseño de Kish (para las medias de la razón): ^{[ 32 ]}^{: 5} ${\text{Deff}}_{Spencer}\approx (1+L)={\text{Deff}}_{\text{Kish}}$ De lo contrario, las dos fórmulas arrojarán resultados diferentes, lo que demuestra la diferencia entre el efecto de diseño del total y el efecto de diseño de la media.

Def de Park y Lee para la razón media estimada

En 2001, Park y Lee extendieron la fórmula de Spencer al caso de la razón-media (es decir, estimando la media dividiendo el estimador del total entre el estimador del tamaño de la población). Es: ^{[ 32 ]}^{: 4}

{\text{Deff}}_{Park\&Lee}=(1-{\hat {\rho }}_{y,P}^{2})(1+cv_{w}^{2})+{\frac {{\hat {\rho }}_{y,P}^{2}}{cv_{P}^{2}}}cv_{w}^{2}

Dónde:

$cv_{P}^{2}$ es el coeficiente de variación al cuadrado (estimado) de las probabilidades de selección.

La fórmula de Park y Lee es exactamente igual a la fórmula de Kish cuando ${\hat {\rho }}_{y,P}^{2}=0$ Ambas fórmulas se relacionan con el efecto de diseño de la media de y , mientras que la de Spencer ${\text{Deff}}$ Se relaciona con la estimación de la población total.

En general, el ${\text{Deff}}$ para el total ( ${\hat {Y}}$ ) tiende a ser menos eficiente que el ${\text{Deff}}$ para la razón media ( ${\hat {\bar {Y}}}$ ) cuando $\rho _{y,P}$ es pequeño. Y en general, $\rho _{y,P}$ impacta la eficiencia de ambos efectos de diseño. ^{[ 4 ]}^{: 8}

Muestreo por conglomerados

Para los datos recopilados mediante muestreo por conglomerados, asumimos la siguiente estructura:

$n_{k}$ observaciones en cada clúster y K clústeres, y con un total de $n=\sum n_{k}$ observaciones.
Las observaciones tienen una matriz de correlación diagonal por bloques en la que cada par de observaciones del mismo grupo está correlacionado con una correlación intraclase de $\rho$ , mientras que cada par de clústeres diferentes no está correlacionado. ^{[ 33 ]} Es decir, para cada par de observaciones, $i$ y $j$ si pertenecen al mismo grupo $k$ , obtenemos $cov(y_{i},y_{j})=\rho \sigma ^{2}$ . Y dos elementos de dos grupos diferentes no están correlacionados, es decir: $cov(y_{i},y_{j})=0$ .
Se supone que un elemento de cualquier clúster tiene la misma varianza: ${\text{var}}(y_{i})=\sigma _{h}^{2}=\sigma ^{2}$ .

Cuando todos los grupos tienen el mismo tamaño $n^{*}$ El efecto de diseño D _eff , propuesto por Kish en 1965 (y posteriormente revisado por otros), viene dado por: ^{[ 1 ]}^{: 162}^{[ 13 ]}^{: 399}^{[ 4 ]}^{: 9}^{[ 34 ]}^{[ 35 ]}^{[ 14 ]}^{: 241}

{\text{Deff}}=1+(n^{*}-1)\rho .

A veces también se le denomina como ${\text{Deff}}_{C}$ . ^{[ 30 ]}^{: 2124}

En varios artículos, cuando los tamaños de los clústeres no son iguales, la fórmula anterior también se utiliza con $n^{*}$ como el tamaño promedio del clúster (que a veces también se denota como ${\bar {b}}$ ). ^{[ 36 ]}^{[ 28 ]}^{: 105} En tales casos, la fórmula de Kish (utilizando el peso promedio del clúster) sirve como un límite superior conservador del efecto de diseño exacto. ^{[ 28 ]}^{: 106}

Existen fórmulas alternativas para tamaños de clúster desiguales. ^{[ 1 ]}^{: 193} Un trabajo posterior analizó la sensibilidad del uso del tamaño promedio del clúster con diversas suposiciones. ^{[ 37 ]}

El efecto del diseño para diseños complejos

Probabilidades de selección desiguales multiplicadas por el muestreo por conglomerados

En un artículo de 1987, Kish propuso un efecto de diseño combinado que incorpora tanto los efectos debidos a la ponderación que tiene en cuenta las probabilidades de selección desiguales como el muestreo por conglomerados: ^{[ 36 ]}^{: 16}^{[ 28 ]}^{: 105}^{[ 38 ]}^{: 4}^{[ 32 ]}^{: 2}

{\text{Deff}}_{\text{Kish}}={\frac {n\sum \limits _{h=1}^{H}(n_{h}w_{h}^{2})}{\left(\sum \limits _{h=1}^{H}n_{h}w_{h}\right)^{2}}}\left(1+(n^{*}-1)\rho \right)={\text{Deff}}_{k}\times {\text{Deff}}_{C}

Lo anterior utiliza notaciones similares a las que se usan en este artículo (la publicación original de 1987 usó una notación diferente). ^{[ j ]} Gabler et al. proporcionaron una justificación basada en un modelo para esta fórmula. ^{[ 28 ]}

Muestreo estratificado tiempos probabilidades de selección desiguales tiempos muestreo por conglomerados

En 2000, Liu y Aragon propusieron una descomposición del efecto de diseño de probabilidades de selección desiguales para diferentes estratos en el muestreo estratificado. ^{[ 39 ]} En 2002, Liu et al. extendieron ese trabajo para tener en cuenta las muestras estratificadas, donde dentro de cada estrato hay un conjunto de ponderaciones de probabilidad de selección desiguales. El muestreo por conglomerados es global o por estrato. ^{[ 30 ]} Park et al. también realizaron un trabajo similar en 2003. ^{[ 40 ]}

Chen-Rust Deff: Efectos del diseño en diseños de dos y tres etapas con estratificación

El óxido de Chen ${\text{Deff}}$ Extiende la justificación basada en modelos de la fórmula de Kish de 1987 para los efectos del diseño propuesta por Gabler et al. ^{[ 28 ]} , aplicándola a diseños de dos etapas con estratificación en la primera etapa y a diseños de tres etapas sin estratificación. ^{[ 41 ]} Las fórmulas modificadas definen el efecto general del diseño utilizando ponderaciones de la encuesta y correlaciones intraclúster de la población. Estas fórmulas permiten interpretaciones perspicaces de los efectos del diseño a partir de diversas fuentes y pueden estimar correlaciones intraclúster en encuestas completadas o predecir efectos del diseño en encuestas futuras.

Deff de Henry: una medida del efecto de diseño para la ponderación de calibración en muestras de una sola etapa.

De Henry ${\text{Deff}}$ ^{[ 26 ]} propone una medida de efecto de diseño de ponderación asistida por modelo extendida para ajustes de ponderación de muestreo y calibración de una sola etapa para un caso donde $y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\epsilon _{i}$ , dónde $x_{i}$ es un vector de covariables, los errores del modelo son independientes y el estimador del total de la población es el estimador de regresión general (GREG) de Särndal, Swensson y Wretman (1992). ^{[ 3 ]} La nueva medida considera los efectos combinados del diseño de muestreo no epsem, los pesos desiguales de los ajustes de calibración y la correlación entre una variable de análisis y las auxiliares utilizadas en la calibración.

Def de Lohr: un efecto de diseño para la pendiente de regresión en una muestra por conglomerados.

De Lohr ${\text{Deff}}$ ^{[ 42 ]} se refiere amínimos cuadrados ordinarios(MCO) y mínimos cuadrados generalizados (MCG) en el contexto del muestreo por conglomerados, utilizando un modelo de regresión de coeficientes aleatorios. Lohr presenta condiciones bajo las cuales el estimador MCG de la pendiente de regresión tiene un efecto de diseño menor que 1, lo que indica una mayor eficiencia. Sin embargo, el efecto de diseño del estimador MCG es altamente sensible a la especificación del modelo. Si un modelo subyacente de coeficientes aleatorios se especifica incorrectamente como un modelo de intercepto aleatorio, el efecto de diseño puede subestimarse seriamente. Por el contrario, el estimador MCO de la pendiente de regresión y el efecto de diseño calculado desde una perspectiva basada en el diseño son robustos a la especificación incorrecta de la estructura de varianza, lo que los hace más confiables en situaciones donde la especificación del modelo puede no ser precisa.

Usos

$Deff$ Puede utilizarse al planificar una futura recopilación de datos, así como una herramienta de diagnóstico: ^{[ 14 ]}^{: 85}

Al planificar una futura recopilación de datos : $Deff$ Puede utilizarse para evaluar la eficiencia del muestreo. Por ejemplo, si existe un aumento potencialmente excesivo de la varianza debido a alguna decisión de diseño de muestreo, o si algún diseño alternativo (económicamente viable) es más eficiente. Esto también influye en el tamaño de la muestra (general, por estrato, por conglomerado, etc.). Al planificar el tamaño de la muestra, se puede trabajar para corregir el efecto del diseño con el fin de separar el efecto del entrevistador (error de medición) de los efectos del diseño de muestreo sobre la varianza del muestreo. ^{[ 43 ]}
Como herramienta de diagnóstico - $Deff$ puede ayudar a evaluar posibles problemas con un análisis de ponderación post-hoc (por ejemplo, de ajustes por falta de respuesta). ^{[ 8 ]} Por ejemplo, si el $Deff$ Si el valor es especialmente alto, podría indicar un problema con el esquema de muestreo o ponderación. Esto también puede ayudar al realizar alguna manipulación en los pesos (por ejemplo, recorte de pesos), el efecto de diseño podría usarse para evaluar la influencia de la manipulación en el tamaño efectivo de la muestra. ^{[ 44 ]} Y también para identificar problemas evidentes con los datos o su análisis (por ejemplo, que van desde errores hasta la presencia de valores atípicos ). ^{[ 9 ]}^{: 191} Aunque algunos estudios sugieren que $Deff>1.5$ Es probable que requiera cierta atención, ^{[ 13 ]}^{: 396} no existe una regla general universal para determinar qué valor del efecto de diseño es "demasiado alto". Consideraciones prácticas de $Deff$ Los valores suelen depender del contexto.

Considerar el efecto del diseño es innecesario cuando ^{[ 5 ]}^{: 57–62} la población de origen es muy similar a IID , o cuando el diseño de muestreo de los datos se obtuvo mediante un muestreo aleatorio simple . También es menos útil cuando el tamaño de la muestra es relativamente pequeño (al menos parcialmente, por razones prácticas).

Si bien Kish inicialmente esperaba que el efecto del diseño fuera lo más independiente posible de la distribución subyacente de los datos, las probabilidades de muestreo, sus correlaciones y las estadísticas de interés, investigaciones posteriores han demostrado que estos factores sí influyen en el efecto del diseño. Por lo tanto, estas propiedades deben considerarse cuidadosamente al decidir qué $Deff$ Cálculo a utilizar y cómo utilizarlo. ^{[ 4 ]}^{: 13}^{[ 32 ]}^{: 6}

El efecto de diseño rara vez se aplica al construir intervalos de confianza. Idealmente, se podría determinar, para un estimador de un parámetro particular, tanto la varianza bajo muestreo aleatorio simple (MAS) con reemplazo como el efecto de diseño (que considera todos los elementos del diseño de muestreo que cambian la varianza). En tales escenarios, la varianza básica y el efecto de diseño podrían haberse multiplicado para calcular la varianza del estimador para el diseño específico. ^{[ 1 ]}^{: 259} Este valor calculado puede luego emplearse para formar intervalos de confianza. Sin embargo, en aplicaciones del mundo real, es poco común estimar ambos valores simultáneamente. Como resultado, se prefieren otros métodos. Por ejemplo, la linealización de Taylor se utiliza para construir intervalos de confianza basados en la varianza de la media ponderada . Más ampliamente, el método bootstrap, también conocido como ponderaciones de replicación , se aplica para una gama de estadísticas ponderadas.

Implementaciones de software

El efecto de diseño de Kish se implementa en varios paquetes de software estadístico:

Python : design_effect del paquete balance . ^{[ 45 ]}
R : surveysummary del paquete survey . ^{[ 46 ]} También está implementado en otros paquetes de R (por ejemplo, pewmethods , ^{[ 47 ]} y samplesize4surveys ^{[ 48 ]} ).
SAS: Uso de Proc Surveymeans. ^{[ 49 ]}
Stata: Uso del comando estat de post-estimación después del comando svy: mean. ^{[ 50 ]}

Sudán. ^{[ 51 ]}
WESVAR: calcula el efecto de diseño de Kish con reemplazo (SRSWR), es decir $Deft$ . ^{[ 52 ]}

Notas

↑ Es decir, que el efecto del diseño es la razón de las varianzas de dos estimadores, uno de una muestra con algún diseño y el otro de una muestra aleatoria simple.
↑ En Cochran 1977 se presenta una fórmula general para el efecto de diseño (teórico) de estimar un total (no la media), para algún diseño.^{[ 3 ]}^{: 54}
↑ La intención original de Kish para ${\text{Deft}}$ Se trataba de que "expresara los efectos del diseño de la muestra más allá de la variabilidad elemental". ${\frac {S_{n}^{2}}{n}}$ , eliminando tanto la unidad de medida como el tamaño de la muestra como parámetros molestos". La esperanza era que el efecto del diseño fuera generalizable (relevante para) muchas estadísticas y variables dentro de la misma encuesta (e incluso entre encuestas). ^{[ 5 ]}^{: 55} Sin embargo, trabajos posteriores han demostrado que el efecto del diseño depende del diseño de muestreo específico, el resultado y la estadística de interés (por ejemplo, el total de la población frente a la media). Especialmente, el ${\text{Deft}}$ depende de la asociación entre algún resultado específico con un diseño específico (por ejemplo, la correlación entre $y_{i}$ y la probabilidad de selección $p_{i}$ ). ^{[ 4 ]}^{: 5} Por lo tanto, la literatura actual no respalda la generalización de la ${\text{Deft}}$ en numerosas estadísticas y medidas de resultados.
↑ Como ejemplo sencillo, imaginemos que tenemos grupos de distintos tamaños y que muestreamos solo uno (mediante muestreo aleatorio simple) y medimos todos sus elementos. Esto dará lugar a EPSEM, pero el número de observaciones que obtendremos dependerá del tamaño del grupo.
↑ Para ser más precisos: supongamos que $S_{i}$ es la medida del tamaño del clúster $i$ Un método común de muestreo PPS (probabilidad proporcional al tamaño) consiste en muestrear cada conglomerado con una probabilidad de selección proporcional a su tamaño, como sigue: $P({\text{Selecting cluster }}i)={\frac {mS_{i}}{\sum _{U_{i}\in U}S_{i}}}$ dónde $m$ es el número de clústeres que queremos muestrear y $U$ es el marco utilizado para el muestreo de clústeres. Si tomamos un submuestreo de un número igual, ${\bar {n}}$ , de elementos dentro de cada grupo de muestras utilizando algún método de probabilidad igual, y $S_{i}$ es el número correcto de elementos en el clúster $i$ , entonces la probabilidad de selección del elemento $j$ (en algún grupo $i$ ) será el mismo para cada elemento en todos los clústeres (es decir, EPSEM): $\pi _{j}={\frac {mS_{i}}{\sum _{U_{i}\in U}S_{i}}}{\frac {\bar {n}}{S_{i}}}={\frac {m{\bar {n}}}{\sum _{U_{i}\in U}S_{i}}}$ . Si $S_{i}$ resulta que no es el tamaño correcto, muestreando a la tasa de ${\frac {\bar {n}}{S_{i}}}$ seguirá dando como resultado EPSEM (método de selección de probabilidad igual). Nótese que si enumeramos (tomamos medidas de) todas las unidades en un grupo de muestra (en lugar de un número fijo) ${\bar {n}}$ o una proporción fija ${\frac {\bar {n}}{S_{i}}}$ ), entonces cada unidad en el grupo $i$ tiene la probabilidad de selección del clúster, lo que dará lugar a una probabilidad desigual de selecciones entre elementos de diferentes clústeres (es decir, $\pi _{j}(i)={\frac {mS_{i}}{\sum _{U_{i}\in U}S_{i}}}$ ).
↑ Por ejemplo, supongamos que para cada clúster $i$ que su tamaño es $S_{i}$ , podemos tomar muestras $m$ grupos con la siguiente probabilidad de selección: $P({\text{Selecting cluster }}i)={\frac {mS_{i}}{\sum _{U_{i}\in U}S_{i}}}$ . Y luego, tomamos un número fijo de ${\bar {n}}$ elementos de cada clúster. En tal caso, si decimos que el tamaño real del clúster es, por ejemplo, $S_{i}^{*}$ , entonces la probabilidad de selección para cada elemento $j$ tomado del clúster $i$ , será: $\pi _{j}(j)={\frac {mS_{i}}{\sum _{U_{i}\in U}S_{i}}}{\frac {\bar {n}}{S_{i}^{*}}}$ Tenga en cuenta que esto podría mitigarse en la etapa de muestreo si tomamos muestras de cada grupo utilizando la tasa ${\frac {\bar {n}}{S_{i}}}$ , entonces la probabilidad de selección será EPSEM (aunque el tamaño real del clúster fue $S_{i}^{*}$ y no $S_{i}$ ).
↑ Esta fórmula se aplicaría solo si se seleccionara una muestra de igual probabilidad en el estrato h y cada elemento tuviera la misma probabilidad de responder.
↑ Nótese que existe otro término llamado varianza relativa , que es diferente. Es la razón entre la varianza y la media, mientras que la varianza relativa de Kish es la razón entre la varianza y la media al cuadrado.
↑ En la literatura, los tamaños de muestra y de población a veces se designan como n y N , y a vecescomo m y M. En este artículo utilizamos n y N.
↑ La fórmula para el efecto de diseño de Kish utilizando la notación original:^{[ 36 ]}^{: 16}
${\text{Deff}}_{\text{Kish}}={\text{Deft}}^{2}=deftu_{s}^{2}(1+L)=\left(1+\rho ({\bar {b}}-1)\right){\frac {n\sum {k_{j}^{2}}}{\left(\sum {k_{j}}\right)^{2}}}$

Véase también

Referencias

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[5] Es decir, que el efecto del diseño es la razón de las varianzas de dos estimadores, uno de una muestra con algún diseño y el otro de una muestra aleatoria simple.

[9] En Cochran 1977 se presenta una fórmula general para el efecto de diseño (teórico) de estimar un total (no la media), para algún diseño.^{[ 3 ]}^{: 54}

[11] La intención original de Kish para ${\text{Deft}}$ Se trataba de que "expresara los efectos del diseño de la muestra más allá de la variabilidad elemental". ${\frac {S_{n}^{2}}{n}}$ , eliminando tanto la unidad de medida como el tamaño de la muestra como parámetros molestos". La esperanza era que el efecto del diseño fuera generalizable (relevante para) muchas estadísticas y variables dentro de la misma encuesta (e incluso entre encuestas). ^{[ 5 ]}^{: 55} Sin embargo, trabajos posteriores han demostrado que el efecto del diseño depende del diseño de muestreo específico, el resultado y la estadística de interés (por ejemplo, el total de la población frente a la media). Especialmente, el ${\text{Deft}}$ depende de la asociación entre algún resultado específico con un diseño específico (por ejemplo, la correlación entre $y_{i}$ y la probabilidad de selección $p_{i}$ ). ^{[ 4 ]}^{: 5} Por lo tanto, la literatura actual no respalda la generalización de la ${\text{Deft}}$ en numerosas estadísticas y medidas de resultados.

[15] Como ejemplo sencillo, imaginemos que tenemos grupos de distintos tamaños y que muestreamos solo uno (mediante muestreo aleatorio simple) y medimos todos sus elementos. Esto dará lugar a EPSEM, pero el número de observaciones que obtendremos dependerá del tamaño del grupo.

[17] Para ser más precisos: supongamos que $S_{i}$ es la medida del tamaño del clúster $i$ Un método común de muestreo PPS (probabilidad proporcional al tamaño) consiste en muestrear cada conglomerado con una probabilidad de selección proporcional a su tamaño, como sigue: $P({\text{Selecting cluster }}i)={\frac {mS_{i}}{\sum _{U_{i}\in U}S_{i}}}$ dónde $m$ es el número de clústeres que queremos muestrear y $U$ es el marco utilizado para el muestreo de clústeres. Si tomamos un submuestreo de un número igual, ${\bar {n}}$ , de elementos dentro de cada grupo de muestras utilizando algún método de probabilidad igual, y $S_{i}$ es el número correcto de elementos en el clúster $i$ , entonces la probabilidad de selección del elemento $j$ (en algún grupo $i$ ) será el mismo para cada elemento en todos los clústeres (es decir, EPSEM): $\pi _{j}={\frac {mS_{i}}{\sum _{U_{i}\in U}S_{i}}}{\frac {\bar {n}}{S_{i}}}={\frac {m{\bar {n}}}{\sum _{U_{i}\in U}S_{i}}}$ . Si $S_{i}$ resulta que no es el tamaño correcto, muestreando a la tasa de ${\frac {\bar {n}}{S_{i}}}$ seguirá dando como resultado EPSEM (método de selección de probabilidad igual). Nótese que si enumeramos (tomamos medidas de) todas las unidades en un grupo de muestra (en lugar de un número fijo) ${\bar {n}}$ o una proporción fija ${\frac {\bar {n}}{S_{i}}}$ ), entonces cada unidad en el grupo $i$ tiene la probabilidad de selección del clúster, lo que dará lugar a una probabilidad desigual de selecciones entre elementos de diferentes clústeres (es decir, $\pi _{j}(i)={\frac {mS_{i}}{\sum _{U_{i}\in U}S_{i}}}$ ).

[21] Por ejemplo, supongamos que para cada clúster $i$ que su tamaño es $S_{i}$ , podemos tomar muestras $m$ grupos con la siguiente probabilidad de selección: $P({\text{Selecting cluster }}i)={\frac {mS_{i}}{\sum _{U_{i}\in U}S_{i}}}$ . Y luego, tomamos un número fijo de ${\bar {n}}$ elementos de cada clúster. En tal caso, si decimos que el tamaño real del clúster es, por ejemplo, $S_{i}^{*}$ , entonces la probabilidad de selección para cada elemento $j$ tomado del clúster $i$ , será: $\pi _{j}(j)={\frac {mS_{i}}{\sum _{U_{i}\in U}S_{i}}}{\frac {\bar {n}}{S_{i}^{*}}}$ Tenga en cuenta que esto podría mitigarse en la etapa de muestreo si tomamos muestras de cada grupo utilizando la tasa ${\frac {\bar {n}}{S_{i}}}$ , entonces la probabilidad de selección será EPSEM (aunque el tamaño real del clúster fue $S_{i}^{*}$ y no $S_{i}$ ).

[25] Esta fórmula se aplicaría solo si se seleccionara una muestra de igual probabilidad en el estrato h y cada elemento tuviera la misma probabilidad de responder.

[37] Nótese que existe otro término llamado varianza relativa , que es diferente. Es la razón entre la varianza y la media, mientras que la varianza relativa de Kish es la razón entre la varianza y la media al cuadrado.

[39] En la literatura, los tamaños de muestra y de población a veces se designan como n y N , y a vecescomo m y M. En este artículo utilizamos n y N.

[48] La fórmula para el efecto de diseño de Kish utilizando la notación original:^{[ 36 ]}^{: 16}
${\text{Deff}}_{\text{Kish}}={\text{Deft}}^{2}=deftu_{s}^{2}(1+L)=\left(1+\rho ({\bar {b}}-1)\right){\frac {n\sum {k_{j}^{2}}}{\left(\sum {k_{j}}\right)^{2}}}$

[Kish1965-1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Kish, Leslie (1965). Muestreo de encuestas . Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-10949-5.

[2] Heo, Moonseong; Kim, Yongman; Xue, Xiaonan; Kim, Mimi Y. (2010). "Requisito de tamaño de muestra para detectar un efecto de intervención al final del seguimiento en un ensayo aleatorizado por conglomerados longitudinal" . Statistics in Medicine . 29 (3): 382– 390. doi : 10.1002/sim.3806 . ISSN 1097-0258 . PMID 20014353. S2CID 30001378 . {{cite journal}}: CS1 maint: servicio de archivado obsoleto ( enlace )

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Introducción

Historia

Definiciones

Notaciones

Deff

Hábil

Tamaño efectivo de la muestra

El efecto del diseño para diseños de muestreo conocidos

El efecto del diseño depende del diseño de muestreo y de los ajustes estadísticos.

Probabilidades de selección desiguales

Fuentes de probabilidades de selección desiguales

"Basado en el diseño" frente a "basado en el modelo" para describir las propiedades de los estimadores.

Tipos comunes de pesas

Pesos aleatorios con media de razón estimada: efecto de diseño de Kish

Fórmula

Supuestos y demostraciones

Relación con el coeficiente de variación

Relación con el muestreo estratificado desproporcionado

Convenciones de nomenclatura alternativas

Cuando el resultado se correlaciona con las probabilidades de selección

Def de Spencer para el total estimado

Def de Park y Lee para la razón media estimada

Muestreo por conglomerados

El efecto del diseño para diseños complejos

Probabilidades de selección desiguales multiplicadas por el muestreo por conglomerados

Muestreo estratificado tiempos probabilidades de selección desiguales tiempos muestreo por conglomerados

Chen-Rust Deff: Efectos del diseño en diseños de dos y tres etapas con estratificación

Deff de Henry: una medida del efecto de diseño para la ponderación de calibración en muestras de una sola etapa.

Def de Lohr: un efecto de diseño para la pendiente de regresión en una muestra por conglomerados.

Usos

Implementaciones de software

Notas

Véase también

Referencias

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