Muestreo de Bernoulli

En la teoría del muestreo de poblaciones finitas, el muestreo de Bernoulli es un proceso de muestreo en el que cada elemento de la población se somete a un ensayo de Bernoulli independiente que determina si el elemento pasa a formar parte de la muestra. Una propiedad esencial del muestreo de Bernoulli es que todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser incluidos en la muestra. ^{[ 1 ]}

El muestreo de Bernoulli es, por lo tanto, un caso especial del muestreo de Poisson . En el muestreo de Poisson, cada elemento de la población puede tener una probabilidad diferente de ser incluido en la muestra. En el muestreo de Bernoulli, la probabilidad es la misma para todos los elementos.

Debido a que cada elemento de la población se considera por separado para la muestra, el tamaño de la muestra no es fijo, sino que sigue una distribución binomial .

El método de Bernoulli más básico genera n variables aleatorias para extraer una muestra de una población de n elementos. Supongamos que se desea extraer un porcentaje determinado de la población. El algoritmo se puede describir de la siguiente manera: ^{[ 2 ]}

para cada elemento del conjunto generar un número entero no negativo aleatorio R si (R mod 100) < pct entonces seleccionar artículo

Un porcentaje del 20%, por ejemplo, se suele expresar como una probabilidad p = 0,2. En ese caso, se generan variables aleatorias en el intervalo unitario . Tras ejecutar el algoritmo, se habrá seleccionado una muestra de tamaño k . Cabría esperar que se hubiera${\displaystyle k\approx n\cdot p}$, lo cual es cada vez más probable a medida que n crece. De hecho, es posible calcular la probabilidad de obtener un tamaño de muestra k mediante la distribución binomial :

$${\displaystyle f(k,n,p)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{nk}}$$

A la izquierda se muestra esta función para cuatro valores de${\displaystyle n}$y${\displaystyle p=0.2}$. Para comparar los valores para diferentes valores de${\displaystyle n}$, el${\displaystyle k}$Los valores en el eje de abscisas están escalados desde${\displaystyle \left[0,n\right]}$al intervalo unitario, mientras que el valor de la función, en el eje de ordenadas, se multiplica por el inverso, de modo que el área bajo la gráfica mantiene el mismo valor; esa área está relacionada con la función de distribución acumulativa correspondiente . Los valores se muestran en escala logarítmica .

A la derecha los valores mínimos de${\displaystyle n}$que satisfacen los límites de error dados con una probabilidad del 95%. Dado un error, el conjunto de${\displaystyle k}$Los límites de 's se pueden describir de la siguiente manera:

$${\displaystyle K_{n,p}=\left\{k\in \mathbb {N}$$ :\left\vert {\frac {k}{n}}-p\right\vert <\mathrm {error} \right\}}

La probabilidad de terminar dentro${\displaystyle K}$se da nuevamente mediante la distribución binomial como:

$${\displaystyle \sum _{k\in K}f(k,n,p).}$$

La imagen muestra los valores más bajos de${\displaystyle n}$de tal manera que la suma sea al menos 0,95. Para${\displaystyle p=0.0}$y${\displaystyle p=1.00}$El algoritmo ofrece resultados exactos para todos.${\displaystyle n}$'s. El${\displaystyle p}$Los intermedios se obtienen por bisección . Tenga en cuenta que, si${\displaystyle 100\cdot p}$es un porcentaje entero,${\displaystyle \mathrm {error} =0,005}$, garantiza que${\displaystyle 100\cdot k/n=100\cdot p}$Valores tan altos como${\displaystyle n=38400}$puede ser necesario para una coincidencia tan exacta.

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