Coproducto

En teoría de categorías , el coproducto , o suma categórica , es una construcción que incluye como ejemplos la unión disjunta de conjuntos y de espacios topológicos , el producto libre de grupos y la suma directa de módulos y espacios vectoriales . El coproducto de una familia de objetos es esencialmente el objeto "menos específico" al que cada objeto de la familia admite un morfismo . Es la noción dual en teoría de categorías del producto categórico , lo que significa que la definición es la misma que la del producto, pero con todas las flechas invertidas. A pesar de este cambio aparentemente inocuo en el nombre y la notación, los coproductos pueden ser, y suelen ser, radicalmente diferentes de los productos dentro de una categoría dada.

Dejar${\displaystyle C}$ser una categoría y dejar${\displaystyle X_{1}}$y${\displaystyle X_{2}}$ser objetos de${\displaystyle C.}$Un objeto se llama coproducto de${\displaystyle X_{1}}$y${\displaystyle X_{2},}$escrito${\displaystyle X_{1}\sqcup X_{2},}$o${\displaystyle X_{1}\oplus X_{2},}$o a veces simplemente${\displaystyle X_{1}+X_{2},}$si existen morfismos${\displaystyle i_{1}:X_{1}\to X_{1}\sqcup X_{2}}$y${\displaystyle i_{2}:X_{2}\to X_{1}\sqcup X_{2}}$que satisface la siguiente propiedad universal : para cualquier objeto${\displaystyle Y}$y cualquier morfismo${\displaystyle f_{1}:X_{1}\to Y}$y${\displaystyle f_{2}:X_{2}\to Y,}$existe un morfismo único${\displaystyle f:X_{1}\sqcup X_{2}\to Y}$de tal manera que${\displaystyle f_{1}=f\circ i_{1}}$y${\displaystyle f_{2}=f\circ i_{2}.}$Es decir, el siguiente diagrama conmuta :

La flecha única${\displaystyle f}$hacer que este diagrama se desplace puede denotarse${\displaystyle f_{1}\sqcup f_{2},}$${\displaystyle f_{1}\oplus f_{2},}$${\displaystyle f_{1}+f_{2},}$o${\displaystyle \left[f_{1},f_{2}\right].}$Los morfismos${\displaystyle i_{1}}$y${\displaystyle i_{2}}$Se denominan inyecciones canónicas , aunque no necesariamente son inyecciones ni siquiera mónicas . También se las conoce como coproyecciones .

La definición de un coproducto puede extenderse a una familia arbitraria de objetos indexados por un conjunto${\displaystyle J.}$El coproducto de la familia${\displaystyle \left\{X_{j}:j\in J\right\}}$es un objeto${\displaystyle X}$junto con una colección de morfismos${\displaystyle i_{j}:X_{j}\to X}$de tal manera que, para cualquier objeto${\displaystyle Y}$y cualquier colección de morfismos${\displaystyle f_{j}:X_{j}\to Y}$existe un morfismo único${\displaystyle f:X\to Y}$de tal manera que${\displaystyle f_{j}=f\circ i_{j}.}$Es decir, el siguiente diagrama conmuta para cada${\displaystyle j\in J}$:

El coproducto${\displaystyle X}$de la familia${\displaystyle \left\{X_{j}\right\}}$a menudo se denota${\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}$o${\displaystyle \bigoplus _{j\in J}X_{j}.}$

A veces el morfismo${\displaystyle f:X\to Y}$puede ser denotado${\displaystyle \coprod _{j\in J}f_{j}}$para indicar su dependencia del individuo${\displaystyle f_{j}}$s.

El coproducto en la categoría de conjuntos es simplemente la unión disjunta, donde las aplicaciones i y _j son las aplicaciones de inclusión . A diferencia de los productos directos , los coproductos en otras categorías no se basan necesariamente en la noción de conjuntos, ya que las uniones no se comportan bien con respecto a las operaciones de preservación (por ejemplo, la unión de dos grupos no tiene por qué ser un grupo), por lo que los coproductos en diferentes categorías pueden ser muy distintos entre sí. Por ejemplo, el coproducto en la categoría de grupos , llamado producto libre , es bastante complejo. Por otro lado, en la categoría de grupos abelianos (e igualmente para espacios vectoriales ), el coproducto, llamado suma directa , consiste en los elementos del producto directo que tienen solo un número finito de términos distintos de cero. (Por lo tanto, coincide exactamente con el producto directo en el caso de un número finito de factores).

Dado un anillo conmutativo R , el coproducto en la categoría de R -álgebras conmutativas es el producto tensorial . En la categoría de R -álgebras (no conmutativas) , el coproducto es un cociente del álgebra tensorial (véase Producto libre de álgebras asociativas ).

En el caso de los espacios topológicos , los coproductos son uniones disjuntas con sus topologías de unión disjunta . Es decir, se trata de una unión disjunta de los conjuntos subyacentes, y los conjuntos abiertos son conjuntos abiertos en cada uno de los espacios , en un sentido bastante evidente. En la categoría de espacios con punto base , fundamental en la teoría de la homotopía , el coproducto es la suma de cuñas (que equivale a unir una colección de espacios con puntos base en un punto base común).

El concepto de unión disjunta subyace secretamente a los ejemplos anteriores: la suma directa de grupos abelianos es el grupo generado por la unión "casi" disjunta (unión disjunta de todos los elementos distintos de cero, junto con un cero común); de forma similar, para los espacios vectoriales, el espacio generado por la unión "casi" disjunta; el producto libre para grupos se genera mediante el conjunto de todas las letras de una unión "casi disjunta" similar, donde no se permite que dos elementos de conjuntos diferentes conmuten. Este patrón se cumple para cualquier variedad en el sentido del álgebra universal .

El coproducto en la categoría de espacios de Banach con mapas cortos es la suma l ¹ , que no puede conceptualizarse tan fácilmente como una suma "casi disjunta", pero sí tiene una bola unitaria generada casi disjuntamente por la bola unitaria en los cofactores. ^{[ 1 ]}

El coproducto de una categoría de poset es la operación de unión .

La construcción de coproducto dada anteriormente es en realidad un caso especial de un colímite en la teoría de categorías. El coproducto en una categoría${\displaystyle C}$puede definirse como el colímite de cualquier functor de una categoría discreta${\displaystyle J}$en${\displaystyle C}$No todas las familias${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$tendrá un coproducto en general, pero si lo tiene, entonces el coproducto es único en un sentido fuerte: si${\displaystyle i_{j}:X_{j}\rightarrow X}$y${\displaystyle k_{j}:X_{j}\rightarrow Y}$son dos coproductos de la familia${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$, entonces (por definición de coproductos) existe un isomorfismo único${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$de tal manera que${\displaystyle f\circ i_{j}=k_{j}}$para cada${\displaystyle j\in J}$.

Como ocurre con cualquier propiedad universal , el coproducto puede entenderse como un morfismo universal. Sea${\displaystyle \Delta :C\rightarrow C\times C}$sea ​​el functor diagonal que asigna a cada objeto${\displaystyle X}$el par ordenado${\displaystyle \left(X,X\right)}$y a cada morfismo${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$la pareja${\displaystyle \left(f,f\right)}$. Luego el coproducto${\displaystyle X+Y}$en${\displaystyle C}$viene dado por un morfismo universal al functor${\displaystyle \Delta }$del objeto${\displaystyle \left(X,Y\right)}$en${\displaystyle C\times C}$.

El coproducto indexado por el conjunto vacío (es decir, un coproducto vacío ) es el mismo que un objeto inicial en${\displaystyle C}$.

Si${\displaystyle J}$es un conjunto tal que todos los coproductos para familias indexadas con${\displaystyle J}$Si existen, entonces es posible elegir los productos de manera compatible para que el coproducto se convierta en un functor.${\displaystyle C^{J}\rightarrow C}$. El coproducto de la familia${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$entonces se suele denotar por

${\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}$

y los mapas${\displaystyle i_{j}}$se conocen como inyecciones naturales .

Alquiler${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(U,V\right)}$denotemos el conjunto de todos los morfismos de${\displaystyle U}$a${\displaystyle V}$en${\displaystyle C}$(es decir, un conjunto de inicio en${\displaystyle C}$), tenemos un isomorfismo natural

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right)\cong \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} _{C}(X_{j},Y)}$

dada por la biyección que mapea cada tupla de morfismos

${\displaystyle (f_{j})_{j\in J}\in \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} (X_{j},Y)}$

(un producto en Set , la categoría de conjuntos , que es el producto cartesiano , por lo que es una tupla de morfismos) al morfismo

${\displaystyle \coprod _{j\in J}f_{j}\in \operatorname {Hom} \left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right).}$

Que este mapa sea una sobreyección se deduce de la conmutatividad del diagrama: cualquier morfismo${\displaystyle f}$es el coproducto de la tupla

${\displaystyle (f\circ i_{j})_{j\in J}.}$

Que sea una inyección se deduce de la construcción universal que estipula la unicidad de tales mapas. La naturalidad del isomorfismo también es consecuencia del diagrama. Así, el hom-functor contravariante transforma los coproductos en productos. Dicho de otro modo, el hom-functor, visto como un functor de la categoría opuesta.${\displaystyle C^{\operatorname {op} }}$Establecer es continuo; conserva los límites (un coproducto en${\displaystyle C}$es un producto en${\displaystyle C^{\operatorname {op} }}$).

Si${\displaystyle J}$es un conjunto finito , por ejemplo${\displaystyle J=\lbrace 1,\ldots ,n\rbrace }$, entonces el coproducto de objetos${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$a menudo se denota por${\displaystyle X_{1}\oplus \ldots \oplus X_{n}}$Supongamos que todos los coproductos finitos existen en C , los functores de coproducto se han elegido como se indicó anteriormente, y 0 denota el objeto inicial de C correspondiente al coproducto vacío. Entonces tenemos isomorfismos naturales.

${\displaystyle X\oplus (Y\oplus Z)\cong (X\oplus Y)\oplus Z\cong X\oplus Y\oplus Z}$

${\displaystyle X\oplus 0\cong 0\oplus X\cong X}$

${\displaystyle X\oplus Y\cong Y\oplus X.}$

Estas propiedades son formalmente similares a las de un monoide conmutativo ; una categoría con coproductos finitos es un ejemplo de una categoría monoide simétrica .

Si la categoría tiene un objeto cero${\displaystyle Z}$, entonces tenemos un morfismo único${\displaystyle X\rightarrow Z}$(desde${\displaystyle Z}$es terminal ) y por lo tanto un morfismo${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow Z\oplus Y}$. Desde${\displaystyle Z}$También es inicial, tenemos un isomorfismo canónico${\displaystyle Z\oplus Y\cong Y}$como en el párrafo anterior. Por lo tanto, tenemos morfismos.${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow X}$y${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow Y}$, por lo que inferimos un morfismo canónico${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow X\times Y}$Esto puede extenderse por inducción a un morfismo canónico de cualquier coproducto finito al producto correspondiente. Este morfismo no tiene por qué ser un isomorfismo en general; en Grp es un epimorfismo propio , mientras que en Set _* (la categoría de conjuntos apuntados ) es un monomorfismo propio . En cualquier categoría preaditiva , este morfismo es un isomorfismo y el objeto correspondiente se conoce como biproducto . Una categoría con todos los biproductos finitos se conoce como categoría semiaditiva .

Si todas las familias de objetos indexadas por${\displaystyle J}$tener coproductos en${\displaystyle C}$, entonces el coproducto comprende un functor${\displaystyle C^{J}\rightarrow C}$. Nótese que, al igual que el producto, este functor es covariante .

• Producto
• Límites y colímites
• Coecualizador
• Límite directo

• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  5 (2.ª  ed.). Nueva York, NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001 . 

• Página web interactiva que genera ejemplos de coproductos en la categoría de conjuntos finitos. Escrita por Jocelyn Paine .