Universo construible

En matemáticas , en teoría de conjuntos , el universo construible (o universo construible de Gödel ), denotado por${\displaystyle L,}$es una clase particular de conjuntos que se pueden describir completamente en términos de conjuntos más simples.${\displaystyle L}$es la unión de la jerarquía constructible${\displaystyle L_{\alpha }}$Fue introducido por Kurt Gödel en su artículo de 1938 «La consistencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo generalizado». ^{[ 1 ]} En este artículo, demostró que el universo constructible es un modelo interno de la teoría de conjuntos ZF (es decir, de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección excluido), y también que el axioma de elección y la hipótesis del continuo generalizado son verdaderos en el universo constructible. Esto demuestra que ambas proposiciones son consistentes con los axiomas básicos de la teoría de conjuntos, si ZF mismo es consistente. Dado que muchos otros teoremas solo se cumplen en sistemas en los que una o ambas proposiciones son verdaderas, su consistencia es un resultado importante.

${\displaystyle L}$puede pensarse que se construye en "etapas" que se asemejan a la construcción del universo de von Neumann ,${\displaystyle V}$Las etapas están indexadas por ordinales . En el universo de von Neumann, en una etapa sucesora , se toma${\displaystyle V_{\alpha +1}}$ser el conjunto de todos los subconjuntos de la etapa anterior,${\displaystyle V_{\alpha }}$Por el contrario, en el universo construible de Gödel${\displaystyle L}$, se utilizan únicamente aquellos subconjuntos de la etapa anterior que son:

• definible mediante una fórmula en el lenguaje formal de la teoría de conjuntos,
• con parámetros de la etapa anterior y,
• con los cuantificadores interpretados como un rango sobre la etapa anterior.

Al limitarse a conjuntos definidos únicamente en términos de lo que ya se ha construido, uno se asegura de que los conjuntos resultantes se construyan de una manera independiente de las peculiaridades del modelo de teoría de conjuntos circundante y que esté contenida en cualquier modelo de este tipo.

Defina el operador Def: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \operatorname {Def} (X):={\Bigl \{}\{y\in X\mid (X,\in )\models \Phi (y,z_{1},\ldots ,z_{n})\}~{\Big |}~\Phi {\text{ es una fórmula de primer orden y }}z_{1},\ldots ,z_{n}\in X{\Bigr \}}.}$$

${\displaystyle L}$se define mediante recursión transfinita de la siguiente manera:

• ${\textstyle L_{0}:=\varnada.}$
• ${\textstyle L_{\alpha +1}:=\operatorname {Def} (L_{\alpha }).}$
• Si${\textstyle \lambda }$es un ordinal límite , entonces${\textstyle L_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }.}$Aquí${\textstyle \alpha <\lambda }$medio${\textstyle \alpha }$precede${\textstyle \lambda }$.
• ${\textstyle L:=\bigcup _{\alpha \in \mathbf {Ord} }L_{\alpha }.}$Aquí, Ord denota la clase de todos los ordinales.

Si${\displaystyle z}$es un elemento de${\displaystyle L_{\alpha }}$, entonces${\displaystyle z=\{y\in L_{\alpha }\mid y\in z\}\in {\textrm {Def}}(L_{\alpha })=L_{\alpha +1}}$. ^{[ 3 ]} Entonces${\displaystyle L_{\alpha }}$es un subconjunto de${\displaystyle L_{\alpha +1}}$, que es un subconjunto del conjunto potencia de${\displaystyle L_{\alpha }}$. En consecuencia, se trata de una torre de conjuntos transitivos anidados . Pero${\displaystyle L}$en sí misma es una clase propiamente dicha .

Los elementos de${\displaystyle L}$se denominan conjuntos "construibles"; y${\displaystyle L}$en sí mismo es el "universo construible". El " axioma de constructibilidad ", a veces denominado "${\displaystyle V=L}$", dice que cada conjunto (de${\displaystyle V}$) es construible, es decir en${\displaystyle L}$.

Una definición equivalente para${\displaystyle L_{\alpha }}$es:

Para cualquier ordinal${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle L_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }\operatorname {Def} (L_{\beta })\!}$.

Para cualquier ordinal finito${\displaystyle n}$, los conjuntos${\displaystyle L_{n}}$y${\displaystyle V_{n}}$son lo mismo (si${\displaystyle V}$igual${\displaystyle L}$o no), y por lo tanto${\displaystyle L_{\omega }}$=${\displaystyle V_{\omega }}$: sus elementos son exactamente los conjuntos hereditariamente finitos . La igualdad más allá de este punto no se cumple. Incluso en modelos de ZFC en los que${\displaystyle V}$igual${\displaystyle L}$,${\displaystyle L_{\omega +1}}$es un subconjunto propio de${\displaystyle V_{\omega +1}}$y posteriormente${\displaystyle L_{\alpha +1}}$es un subconjunto propio del conjunto potencia de${\displaystyle L_{\alpha }}$a pesar de${\displaystyle \alpha >\omega }$. Por otro lado,${\displaystyle V=L}$implica que${\displaystyle V_{\alpha }}$igual${\displaystyle L_{\alpha }}$si${\displaystyle \alpha =\omega _{\alpha }}$, por ejemplo si${\displaystyle \alpha }$es inaccesible . En términos más generales,${\displaystyle V=L}$implica${\displaystyle H_{\alpha }}$=${\displaystyle L_{\alpha }}$para todos los cardinales infinitos${\displaystyle \alpha }$, dónde${\displaystyle H_{\alpha }}$es el conjunto de conjuntos que son hereditariamente de cardinalidad menor que${\displaystyle \alpha }$(véase conjunto hereditariamente numerable#Generalizaciones ).

Si${\displaystyle \alpha }$es un ordinal infinito entonces hay una biyección entre${\displaystyle L_{\alpha }}$y${\displaystyle \alpha }$y la biyección es construible. Por lo tanto, estos conjuntos son equinumerosos en cualquier modelo transitivo de teoría de conjuntos que los incluya.

Como se definió anteriormente,${\displaystyle {\textrm {Def}}(X)}$es el conjunto de subconjuntos de${\displaystyle X}$definido por${\displaystyle \Delta _{0}}$fórmulas (con respecto a la jerarquía de Lévy , es decir, fórmulas de la teoría de conjuntos que contienen solo cuantificadores acotados ) que utilizan como parámetros únicamente${\displaystyle X}$y sus elementos. ^{[ 4 ]}

Otra definición, debida a Gödel, caracteriza a cada uno${\displaystyle L_{\alpha +1}}$como la intersección del conjunto de potencias de${\displaystyle L_{\alpha }}$con el cierre de${\displaystyle L_{\alpha }\cup \{L_{\alpha }\}}$bajo un conjunto de nueve funciones explícitas, similares a las operaciones de Gödel . Esta definición no hace referencia a la definibilidad.

Todos los subconjuntos aritméticos de${\displaystyle \omega }$y relaciones en${\displaystyle \omega }$pertenecer a${\displaystyle L_{\omega +1}}$(porque la definición aritmética da uno en${\displaystyle L_{\omega +1}}$). Por el contrario, cualquier subconjunto de${\displaystyle \omega }$perteneciente a${\displaystyle L_{\omega +1}}$es aritmético (porque los elementos de${\displaystyle L_{\omega }}$puede ser codificado por números naturales de tal manera que${\displaystyle \in }$es definible, es decir, aritmético). Por otro lado,${\displaystyle L_{\omega +2}}$ya contiene ciertos subconjuntos no aritméticos de${\displaystyle \omega }$, como el conjunto de (codificación de números naturales) enunciados aritméticos verdaderos (esto se puede definir desde${\displaystyle L_{\omega +1}}$${\displaystyle }$así es en${\displaystyle L_{\omega +2}}$).

Todos los subconjuntos hiperaritméticos de${\displaystyle \omega }$y relaciones en${\displaystyle \omega }$pertenecer a${\ Displaystyle L _ {\ omega _ {1} ^ {\ mathrm {CK}}}}$(dónde${\displaystyle \omega _ {1}^{\mathrm {CK} }}$representa el ordinal Church-Kleene ), y a la inversa cualquier subconjunto de${\displaystyle \omega }$que pertenece a${\ Displaystyle L _ {\ omega _ {1} ^ {\ mathrm {CK}}}}$es hiperaritmético. ^{[ 5 ]}

${\displaystyle (L,\in )}$es un modelo transitivo estándar , es decir${\displaystyle L}$es una clase transitiva y la interpretación utiliza la relación de elemento real, por lo que está bien fundamentada .${\displaystyle L}$es un modelo interno , es decir, contiene todos los números ordinales de${\displaystyle V}$y no tiene conjuntos "extra" más allá de los que se encuentran en${\displaystyle V}$. Sin embargo${\displaystyle L}$podría ser estrictamente una subclase de${\displaystyle V}$.${\displaystyle L}$es un modelo de ZFC , lo que significa que satisface los siguientes axiomas :

• Axioma de regularidad : Todo conjunto no vacío${\displaystyle x}$contiene algún elemento${\displaystyle y}$de tal manera que${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son conjuntos disjuntos.

${\displaystyle (L,\in )}$es una subestructura de${\displaystyle (V,\in )}$, lo cual está bien fundamentado, por lo tanto${\displaystyle L}$está bien fundamentado. En particular, si${\displaystyle y\in x\in L}$, luego por la transitividad de${\displaystyle L}$,${\displaystyle y\in L}$. Si usamos este mismo${\displaystyle y}$como en${\displaystyle V}$, entonces sigue estando separado de${\displaystyle x}$porque estamos utilizando la misma relación de elementos y no se agregaron nuevos conjuntos.

• Axioma de extensionalidad : Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.

Si${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$están en${\displaystyle L}$y tienen los mismos elementos en${\displaystyle L}$, luego por${\displaystyle L}$'s transitividad, tienen los mismos elementos (en${\displaystyle V}$). Por lo tanto, son iguales (en${\displaystyle V}$y por lo tanto en${\displaystyle L}$).

• Axioma del conjunto vacío : {} es un conjunto.

${\displaystyle \{\}=L_{0}=\{y\mid y\in L_{0}\land y=y\}}$, que está en${\displaystyle L_{1}}$. Entonces${\displaystyle \{\}\in L}$. Dado que la relación de elementos es la misma y no se agregaron nuevos elementos, este es el conjunto vacío de${\displaystyle L}$.

• Axioma de emparejamiento : Si${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$son conjuntos, entonces${\displaystyle \{x,y\}}$es un conjunto.

Si${\displaystyle x\in L}$y${\displaystyle y\in L}$, entonces hay algún ordinal${\displaystyle \alpha }$de tal manera que${\displaystyle x\in L_{\alpha }}$y${\displaystyle y\in L_{\alpha }}$. Entonces${\displaystyle \{x,y\}=\{s\mid s\in L_{\alpha }\;\mathrm {y} \;(s=x\;\mathrm {o} \;s=y)\}\in L_{\alpha +1}}$. De este modo${\displaystyle \{x,y\}\in L}$y tiene el mismo significado para${\displaystyle L}$para${\displaystyle V}$.

• Axioma de unión : Para cualquier conjunto${\displaystyle x}$hay un conjunto${\displaystyle y}$cuyos elementos son precisamente los elementos de los elementos de${\displaystyle x}$.

Si${\displaystyle x\in L_{\alpha }}$, entonces sus elementos están en${\displaystyle L_{\alpha }}$y sus elementos también están en${\displaystyle L_{\alpha }}$. Entonces${\displaystyle y}$es un subconjunto de${\displaystyle L_{\alpha }}$. Entonces${\displaystyle y=\{s\mid s\in L_{\alpha }\;\mathrm {y} \;\mathrm {existe} \;z\in x\;\mathrm {tal} \;\mathrm {que} \;s\in z\}\in L_{\alpha +1}}$. De este modo${\displaystyle y\in L}$.

• Axioma del infinito : Existe un conjunto${\displaystyle x}$de tal manera que${\displaystyle \varnothing }$está en${\displaystyle x}$y siempre${\displaystyle y}$está en${\displaystyle x}$, así es la unión${\displaystyle y\cup \{y\}}$.

La inducción transfinita se puede utilizar para mostrar cada ordinal${\displaystyle \alpha }$está en${\displaystyle L_{\alpha +1}}$. En particular,${\displaystyle \omega \in L_{\omega +1}}$y por lo tanto${\displaystyle \omega \in L}$.

• Axioma de separación : Dado cualquier conjunto${\displaystyle S}$y cualquier proposición${\displaystyle P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})}$,${\displaystyle \{x\mid x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\}}$es un conjunto.

Por inducción en subfórmulas de${\displaystyle P}$, se puede demostrar que hay un${\displaystyle \alpha }$de tal manera que${\displaystyle L_{\alpha }}$contiene${\displaystyle S}$y${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$y (${\displaystyle P}$es cierto en${\displaystyle L_{\alpha }}$si y solo si${\displaystyle P}$es cierto en${\displaystyle L}$), este último se denomina " principio de reflexión ". Así pues${\displaystyle \{x\mid x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L\}}$=${\displaystyle \{x\mid x\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L_{\alpha }\}\in L_{\alpha +1}}$. Por lo tanto, el subconjunto está en${\displaystyle L}$. ^{[ 6 ]}

• Axioma de reemplazo : Dado cualquier conjunto${\displaystyle S}$y cualquier mapeo (definido formalmente como una proposición)${\displaystyle P(x,y)}$dónde${\displaystyle P(x,y)}$y${\displaystyle P(x,z)}$implica${\displaystyle y=z}$),${\displaystyle \{y\mid \;\mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;x\in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;P(x,y)\}}$es un conjunto.

Dejar${\displaystyle Q(x,y)}$sea ​​la fórmula que relativiza${\displaystyle P}$a${\displaystyle L}$, es decir, todos los cuantificadores en${\displaystyle P}$están restringidos a${\displaystyle L}$.${\displaystyle Q}$es una fórmula mucho más compleja que${\displaystyle Q}$, pero sigue siendo una fórmula finita, y dado que${\displaystyle P}$fue un mapeo sobre${\displaystyle L}$,${\displaystyle Q}$debe ser un mapeo sobre${\displaystyle V}$; por lo tanto podemos aplicar el reemplazo en${\displaystyle V}$a${\displaystyle Q}$. Entonces${\displaystyle \{y\mid y\in L\;\mathrm {and} \;\mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;x\in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;P(x,y)\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L\}}$=${\displaystyle \{y\mid \mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;\mathrm {x} \in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;Q(x,y)\}}$es un conjunto en${\displaystyle V}$y una subclase de${\displaystyle L}$. Nuevamente usando el axioma de reemplazo en${\displaystyle V}$, podemos demostrar que debe haber un${\displaystyle \alpha }$de tal manera que este conjunto es un subconjunto de${\displaystyle L_{\alpha }\in L_{\alpha +1}}$Entonces se puede utilizar el axioma de separación en${\displaystyle L}$para terminar de demostrar que es un elemento de${\displaystyle L}$

• Axioma del conjunto potencia : Para cualquier conjunto${\displaystyle x}$existe un conjunto${\displaystyle y}$, de tal manera que los elementos de${\displaystyle y}$son precisamente los subconjuntos de${\displaystyle x}$.

En general, algunos subconjuntos de un conjunto en${\displaystyle L}$no estará en${\displaystyle L}$Entonces, todo el conjunto de potencias de un conjunto en${\displaystyle L}$normalmente no estará en${\displaystyle L}$. Lo que necesitamos aquí es demostrar que la intersección del conjunto potencia con${\displaystyle L}$está en${\displaystyle L}$. Utilice el reemplazo en${\displaystyle V}$para demostrar que existe un α tal que la intersección es un subconjunto de${\displaystyle L_{\alpha }}$Entonces la intersección es${\displaystyle \{z\mid z\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;z\;\mathrm {is} \;\mathrm {a} \;\mathrm {subset} \;\mathrm {of} \;x\}\in L_{\alpha +1}}$. Por lo tanto, el conjunto requerido está en${\displaystyle L}$.

• Axioma de elección : Dado un conjunto${\displaystyle x}$de conjuntos no vacíos mutuamente disjuntos, hay un conjunto${\displaystyle y}$(un conjunto de opciones para${\displaystyle x}$) que contiene exactamente un elemento de cada miembro de${\displaystyle x}$.

Se puede demostrar que existe un buen ordenamiento definible de L , en particular basado en el ordenamiento de todos los conjuntos en${\displaystyle L}$por sus definiciones y por el rango en el que aparecen. Entonces se elige el elemento más pequeño de cada miembro de${\displaystyle x}$para formar${\displaystyle y}$utilizando los axiomas de unión y separación en${\displaystyle L}$

Nótese que la prueba de que${\displaystyle L}$es un modelo ZFC que solo requiere que${\displaystyle V}$ser un modelo de ZF, es decir, no asumimos que el axioma de elección se cumple en${\displaystyle V}$.

Si${\displaystyle W}$¿Existe algún modelo estándar de ZF que comparta los mismos ordinales que...?${\displaystyle V}$, entonces el${\displaystyle L}$definido en${\displaystyle W}$es lo mismo que el${\displaystyle L}$definido en${\displaystyle V}$. En particular,${\displaystyle L_{\alpha }}$es lo mismo en${\displaystyle W}$y${\displaystyle V}$, para cualquier ordinal${\displaystyle \alpha }$. Y las mismas fórmulas y parámetros en${\displaystyle \mathrm {Def} (L_{\alpha })}$producir los mismos conjuntos construibles en${\displaystyle L_{\alpha +1}}$.

Además, dado que${\displaystyle L}$es una subclase de${\displaystyle V}$y, de manera similar,${\displaystyle L}$es una subclase de${\displaystyle W}$,${\displaystyle L}$es la clase más pequeña que contiene todos los ordinales que es un modelo interno de ZF. De hecho,${\displaystyle L}$es la intersección de todas esas clases.

Si hay un conjunto${\displaystyle W}$en${\displaystyle V}$ese es un modelo interno de ZF y el ordinal${\displaystyle \kappa }$es el conjunto de ordinales que aparecen en${\displaystyle W}$, entonces${\displaystyle L_{\kappa }}$es el${\displaystyle L}$de${\displaystyle W}$. Si existe un conjunto que sea un modelo estándar de ZF, entonces el conjunto más pequeño de este tipo es tal${\displaystyle L_{\kappa }}$Este conjunto se denomina modelo mínimo de ZFC. Utilizando el teorema de Löwenheim-Skolem descendente , se puede demostrar que el modelo mínimo (si existe) es un conjunto numerable.

Por supuesto, toda teoría consistente debe tener un modelo, así que incluso dentro del modelo mínimo de la teoría de conjuntos existen conjuntos que son modelos de ZF (suponiendo que ZF sea consistente). Sin embargo, esos modelos de conjuntos no son estándar. En particular, no utilizan la relación normal de elementos y carecen de fundamento sólido.

Porque ambos "${\displaystyle L}$construido dentro${\displaystyle L}$" y "${\displaystyle V}$construido dentro${\displaystyle L}$"resulta en el real${\displaystyle L}$y ambos${\displaystyle L}$de${\displaystyle L_{\kappa }}$y el${\displaystyle V}$de${\displaystyle L_{\kappa }}$son los verdaderos${\displaystyle L_{\kappa }}$, lo entendemos${\displaystyle V=L}$es cierto en${\displaystyle L}$y en cualquier${\displaystyle L_{\kappa }}$Ese es un modelo de ZF. Sin embargo,${\displaystyle V=L}$No se aplica a ningún otro modelo estándar de ZF.

Hay varias formas de ordenar bien${\displaystyle L}$Algunos de estos implican la "estructura fina" de${\displaystyle L}$, que fue descrita por primera vez por Ronald Bjorn Jensen en su artículo de 1972 titulado "La estructura fina de la jerarquía constructible". En lugar de explicar la estructura fina, daremos un esquema de cómo${\displaystyle L}$podría ordenarse correctamente utilizando únicamente la definición dada anteriormente.

Suponer${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son dos conjuntos diferentes en${\displaystyle L}$y deseamos determinar si${\displaystyle x<y}$o${\displaystyle x>y}$. Si${\displaystyle x}$aparece por primera vez en${\displaystyle L_{\alpha +1}}$y${\displaystyle y}$aparece por primera vez en${\displaystyle L_{\beta +1}}$y${\displaystyle \beta }$es diferente de${\displaystyle \alpha }$, entonces deja${\displaystyle x<y}$si y solo si${\displaystyle \alpha <\beta }$. Por lo tanto, suponemos que${\displaystyle \beta =\alpha }$.

El escenario${\displaystyle L_{\alpha +1}=\mathrm {Def} (L_{\alpha })}$utiliza fórmulas con parámetros de${\displaystyle L_{\alpha }}$para definir los conjuntos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$Si se omiten (por el momento) los parámetros, las fórmulas pueden numerarse con la numeración estándar de Gödel mediante los números naturales.${\displaystyle \Phi }$es la fórmula con el número de Gödel más pequeño que se puede utilizar para definir${\displaystyle x}$, y${\displaystyle \Psi }$es la fórmula con el número de Gödel más pequeño que se puede utilizar para definir${\displaystyle y}$, y${\displaystyle \Psi }$es diferente de${\displaystyle \Phi }$, entonces deja${\displaystyle x<y}$si y solo si${\displaystyle \Phi <\Psi }$en la numeración de Gödel. De ahora en adelante, suponemos que${\displaystyle \Psi =\Phi }$.

Supongamos que${\displaystyle \Phi }$usos${\displaystyle n}$parámetros de${\displaystyle L_{\alpha }}$. Suponer${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$es la secuencia de parámetros que se pueden utilizar con${\displaystyle \Phi }$definir${\displaystyle x}$, y${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$hace lo mismo para${\displaystyle y}$. Entonces deja${\displaystyle x<y}$si y solo si alguna de las siguientes situaciones${\displaystyle z_{n}<w_{n}}$o (${\displaystyle z_{n}=w_{n}}$y${\displaystyle z_{n-1}<w_{n-1}}$) o (${\displaystyle z_{n}=w_{n}}$y${\displaystyle z_{n-1}=w_{n-1}}$y${\displaystyle z_{n-2}<w_{n-2}}$), etc. Esto se denomina ordenación lexicográfica inversa ; si existen múltiples secuencias de parámetros que definen uno de los conjuntos, elegimos la menor bajo esta ordenación. Entendiéndose que los posibles valores de cada parámetro se ordenan según la restricción de la ordenación de${\displaystyle L}$a${\displaystyle L_{\alpha }}$, por lo que esta definición implica recursión transfinita en${\displaystyle \alpha }$.

El buen ordenamiento de los valores de los parámetros individuales viene dado por la hipótesis inductiva de la inducción transfinita. Los valores de${\displaystyle n}$Las tuplas de parámetros están bien ordenadas por el ordenamiento del producto. Las fórmulas con parámetros están bien ordenadas por la suma ordenada (por números de Gödel) de los buenos ordenamientos. Y${\displaystyle L}$está bien ordenado por la suma ordenada (indexada por${\displaystyle \alpha }$) de los pedidos en${\displaystyle L_{\alpha +1}}$.

Nótese que este ordenamiento adecuado puede definirse dentro${\displaystyle L}$en sí misma mediante una fórmula de teoría de conjuntos sin parámetros, solo las variables libres${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$Y esta fórmula da el mismo valor de verdad independientemente de si se evalúa en${\displaystyle L}$,${\displaystyle V}$, o${\displaystyle W}$(algún otro modelo estándar de ZF con los mismos ordinales) y supondremos que la fórmula es falsa si alguna de las siguientes condiciones:${\displaystyle x}$o${\displaystyle y}$no está en${\displaystyle L}$.

Es bien sabido que el axioma de elección es equivalente a la capacidad de ordenar correctamente cualquier conjunto. Ser capaz de ordenar correctamente la clase adecuada${\displaystyle V}$(como lo hemos hecho aquí con${\displaystyle L}$) es equivalente al axioma de elección global , que es más poderoso que el axioma de elección ordinario porque también cubre clases propias de conjuntos no vacíos.

Demostrar que el axioma de separación , el axioma de reemplazo y el axioma de elección se cumplen en${\displaystyle L}$requiere (al menos como se muestra arriba) el uso de un principio de reflexión para${\displaystyle L}$Aquí describimos dicho principio.

Por inducción en${\displaystyle n<\omega }$, podemos usar ZF en${\displaystyle V}$para demostrar que para cualquier ordinal${\displaystyle \alpha }$, hay un ordinal${\displaystyle \beta >\alpha }$de tal manera que para cualquier oración${\displaystyle P(z_{1},\ldots ,z_{k})}$con${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$en${\displaystyle L_{\beta }}$y que contiene menos de${\displaystyle n}$símbolos (contando un símbolo constante para un elemento de${\displaystyle L_{\beta }}$como un símbolo) obtenemos que${\displaystyle P(z_{1},\ldots ,z_{k})}$se sostiene en${\displaystyle L_{\beta }}$si y solo si se mantiene en${\displaystyle L}$.

Dejar${\displaystyle S\in L_{\alpha }}$y dejar${\displaystyle T}$ser cualquier subconjunto construible de${\displaystyle S}$. Luego hay algunos${\displaystyle \beta }$con${\displaystyle T\in L_{\beta +1}}$, entonces${\displaystyle T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in S:\Phi (x,z_{i})\}}$, para alguna fórmula${\displaystyle \Phi }$y algunos${\displaystyle z_{i}}$extraído de${\displaystyle L_{\beta }}$Por el teorema descendente de Löwenheim-Skolem y el colapso de Mostowski , debe existir algún conjunto transitivo .${\displaystyle K}$que contiene${\displaystyle L_{\alpha }}$y algunos${\displaystyle w_{i}}$y tener la misma teoría de primer orden que${\displaystyle L_{\beta }}$con el${\displaystyle w_{i}}$sustituido por el${\displaystyle z_{i}}$; y esto${\displaystyle K}$tendrá el mismo cardinal que${\displaystyle L_{\alpha }}$. Desde${\displaystyle V=L}$es cierto en${\displaystyle L_{\beta }}$, también es cierto en K , por lo tanto${\displaystyle K=L_{\gamma }}$para algunos${\displaystyle \gamma }$tener el mismo cardinal que${\displaystyle \alpha }$. Y${\displaystyle T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in L_{\gamma }:x\in S\wedge \Phi (x,w_{i})\}}$porque${\displaystyle L_{\beta }}$y${\displaystyle L_{\gamma }}$tienen la misma teoría. Entonces${\displaystyle T}$de hecho está en${\displaystyle L_{\gamma +1}}$.

Así pues, todos los subconjuntos construibles de un conjunto infinito${\displaystyle S}$tener rangos con (como máximo) el mismo cardinal${\displaystyle \kappa }$como el rango de${\displaystyle S}$; de ello se deduce que si${\displaystyle \delta }$es el ordinal inicial para${\displaystyle \kappa ^{+}}$, entonces${\displaystyle L\cap {\mathcal {P}}(S)\subseteq L_{\delta }}$sirve como el "conjunto de poder" de${\displaystyle S}$dentro${\displaystyle L}$Por lo tanto, este "conjunto de poder"${\displaystyle L\cap {\mathcal {P}}(S)\in L_{\delta +1}}$. Y esto a su vez significa que el "conjunto de potencias" de${\displaystyle S}$tiene cardinal en la mayoría${\displaystyle \vert \delta \vert }$. Suponiendo${\displaystyle S}$en sí mismo tiene cardinal${\displaystyle \kappa }$, el "conjunto potencia" debe entonces tener cardinalidad exactamente${\displaystyle \kappa ^{+}}$. Pero esta es precisamente la hipótesis del continuo generalizado relativizada a${\displaystyle L}$.

Existe una fórmula de la teoría de conjuntos que expresa la idea de que${\displaystyle X=L_{\alpha }}$. Solo tiene variables libres para${\displaystyle X}$y${\displaystyle \alpha }$. Usando esto podemos ampliar la definición de cada conjunto construible. Si${\displaystyle S\in L_{\alpha +1}}$, entonces${\displaystyle S=\{y\mid y\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;\Phi (y,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;(L_{\alpha },\in )\}}$para alguna fórmula${\displaystyle \Phi }$y algunos${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$en${\displaystyle L_{\alpha }}$Esto equivale a decir que: para todo${\displaystyle y}$,${\displaystyle y\in S}$si y solo si [existe]${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle X=L_{\alpha }}$y${\displaystyle y\in X}$y${\displaystyle \Psi (X,y,z_{1},\ldots ,z_{n})}$] dónde${\displaystyle \Psi (X,\ldots )}$es el resultado de restringir cada cuantificador en${\displaystyle \Phi (\ldots )}$a${\displaystyle X}$. Observe que cada${\displaystyle z_{k}\in L_{\beta +1}}$para algunos${\displaystyle \beta <\alpha }$. Combine fórmulas para el${\displaystyle z}$con la fórmula para${\displaystyle S}$y aplicar cuantificadores existenciales sobre el${\displaystyle z}$está fuera y se obtiene una fórmula que define el conjunto construible${\displaystyle S}$utilizando únicamente los ordinales${\displaystyle \alpha }$que aparecen en expresiones como${\displaystyle x=L_{\alpha }}$como parámetros.

Ejemplo: El conjunto${\displaystyle \{5,\omega \}}$es construible. Es el conjunto único${\displaystyle s}$que satisface la fórmula:

$${\displaystyle \forall y(y\in s\iff (y\in L_{\omega +1}\land (\forall a(a\in y\iff a\in L_{5}\land Ord(a))\lor \forall b(b\in y\iff b\in L_{\omega }\land Ord(b)))))}$$

dónde${\displaystyle Ord(a)}$es la abreviatura de:

$${\displaystyle \forall c\in a(\forall d\in c(d\in a\land \forall e\in d(e\in c))).}$$

En realidad, incluso esta fórmula compleja se ha simplificado con respecto a lo que darían las instrucciones dadas en el primer párrafo. Pero la cuestión sigue siendo que existe una fórmula de la teoría de conjuntos que es válida solo para el conjunto construible deseado.${\displaystyle S}$y que contiene parámetros solo para ordinales.

A veces es deseable encontrar un modelo de teoría de conjuntos que sea estrecho como${\displaystyle L}$, pero eso incluye o está influenciado por un conjunto que no es construible. Esto da lugar al concepto de construibilidad relativa, del cual hay dos variantes, denotadas por${\displaystyle L(A)}$y${\displaystyle L[A]}$.

La clase${\displaystyle L(A)}$para un conjunto no construible${\displaystyle A}$es la intersección de todas las clases que son modelos estándar de la teoría de conjuntos y contienen${\displaystyle A}$y todos los ordinales.

${\displaystyle L(A)}$puede definirse mediante recursión transfinita de la siguiente manera:

• ${\displaystyle L_{0}(A)}$= el conjunto transitivo más pequeño que contiene${\displaystyle A}$como un elemento, es decir, el cierre transitivo de${\displaystyle \{A\}}$.
• ${\displaystyle L_{\alpha +1}(A)}$=${\displaystyle \mathrm {Def} (L_{\alpha }(A))}$
• Si${\displaystyle \lambda }$es un ordinal límite, entonces${\displaystyle L_{\lambda }(A)=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }(A)}$.
• ${\displaystyle L(A)=\bigcup _{\alpha }L_{\alpha }(A)}$.

Si${\displaystyle L(A)}$contiene un buen ordenamiento del cierre transitivo de${\displaystyle \{A\}}$, entonces esto puede extenderse a un buen ordenamiento de${\displaystyle L(A)}$De lo contrario, el axioma de elección fallará en${\displaystyle L(A)}$.

Un ejemplo común es${\displaystyle L(\mathbb {R} )}$, el modelo más pequeño que contiene todos los números reales, que se utiliza ampliamente en la teoría descriptiva de conjuntos moderna .

La clase${\displaystyle L[A]}$es la clase de conjuntos cuya construcción está influenciada por${\displaystyle A}$, dónde${\displaystyle A}$puede ser un conjunto (presumiblemente no construible) o una clase propia. La definición de esta clase utiliza${\displaystyle \mathrm {Def} _{A}(X)}$, que es lo mismo que${\displaystyle \mathrm {Def} (X)}$excepto en lugar de evaluar la veracidad de las fórmulas${\displaystyle \Phi }$en el modelo${\displaystyle (X,\in )}$, uno utiliza el modelo${\displaystyle (X,\in ,A)}$dónde${\displaystyle A}$es un predicado unario. La interpretación prevista de${\displaystyle A(y)}$es${\displaystyle y\in A}$. Entonces la definición de${\displaystyle L[A]}$es exactamente eso de${\displaystyle L}$solo con${\displaystyle \mathrm {Def} }$reemplazado por${\displaystyle \mathrm {Def} _{A}}$.

${\displaystyle L[A]}$siempre es un modelo del axioma de elección. Incluso si${\displaystyle A}$es un conjunto,${\displaystyle A}$no es necesariamente un miembro de${\displaystyle L[A]}$, aunque siempre lo es si${\displaystyle A}$es un conjunto de ordinales.

Los conjuntos en${\displaystyle L(A)}$o${\displaystyle L[A]}$Por lo general, no son realmente construibles, y las propiedades de estos modelos pueden ser bastante diferentes de las propiedades de${\displaystyle L}$sí mismo.

• Axioma de constructibilidad
• Afirmaciones verdaderas en L
• Principio de reflexión
• Teoría axiomática de conjuntos
• Conjunto transitivo
• L(R)
• Definible ordinal
• Lema de condensación

• Barwise, Jon (1975). Conjuntos y estructuras admisibles . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-07451-1.
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