Matriz complementaria

En álgebra lineal , la matriz compañera de Frobenius del polinomio mónico$${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$$ es la matriz cuadrada definida como

$${\displaystyle C(p)={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}.}$$

Algunos autores utilizan la transpuesta de esta matriz,${\displaystyle C(p)^{T}}$, lo cual es más conveniente para algunos propósitos, como las relaciones de recurrencia lineal ( ver más abajo ).

${\displaystyle C(p)}$se define a partir de los coeficientes de${\displaystyle p(x)}$, mientras que el polinomio característico, así como el polinomio mínimo de${\displaystyle C(p)}$son iguales a${\displaystyle p(x)}$. ^{[ 1 ]} En este sentido, la matriz${\displaystyle C(p)}$y el polinomio${\displaystyle p(x)}$son "compañeros".

Cualquier matriz A con entradas en un campo F tiene un polinomio característico${\displaystyle p(x)=\det(xI-A)}$, que a su vez tiene una matriz compañera${\displaystyle C(p)}$Estas matrices se relacionan de la siguiente manera.

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• A es similar a F​${\displaystyle C(p)}$, es decir, A puede conjugarse con su matriz compañera mediante matrices en GL _n ( F ) ;
• el polinomio característico${\displaystyle p(x)}$coincide con el polinomio mínimo de A , es decir, el polinomio mínimo tiene grado n ;
• el mapeo lineal${\displaystyle A:F^{n}\to F^{n}}$marcas${\displaystyle F^{n}}$un cíclico${\displaystyle F[A]}$-módulo, que tiene como base la forma${\displaystyle \{v,Av,\ldots ,A^{n-1}v\}}$; o equivalentemente${\displaystyle F^{n}\cong F[X]/(p(x))}$como${\displaystyle F[A]}$-módulos.

Si se cumple lo anterior, se dice que A no es despectivo .

No toda matriz cuadrada es similar a una matriz compañera, pero toda matriz cuadrada es similar a una matriz diagonal por bloques formada por matrices compañeras. Si además exigimos que el polinomio de cada bloque diagonal divida al siguiente, quedan determinados unívocamente por A , y esto da la forma canónica racional de A.

Las raíces del polinomio característico${\displaystyle p(x)}$son los valores propios de${\displaystyle C(p)}$.

Si hay n valores propios distintos${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$, entonces${\displaystyle C(p)}$es diagonalizable como${\displaystyle C(p)=V^{-1}\!DV}$donde D es la matriz diagonal y V es la matriz de Vandermonde correspondiente a los λ : $${\displaystyle D={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\!\!\!\cdots \!\!\!&0\\0&\lambda _{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&0\\\vdots &\vdots &\!\!\!\ddots \!\!\!&\vdots \\0&0&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{n}\end{bmatrix}},\qquad V={\begin{bmatrix}1&\lambda _{1}&\lambda _{1}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{1}^{n-1}\\1&\lambda _{2}&\lambda _{2}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{2}^{n-1}\\[-1em]\vdots &\vdots &\vdots &\!\!\!\ddots \!\!\!&\vdots \\1&\lambda _{n}&\lambda _{n}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{n}^{n-1}\end{bmatrix}}.}$$ De hecho, un cálculo razonablemente difícil muestra que la transpuesta${\displaystyle C(p)^{T}}$tiene vectores propios${\displaystyle v_{i}=(1,\lambda _{i},\ldots ,\lambda _{i}^{n-1})}$con${\displaystyle C(p)^{T}\!(v_{i})=\lambda _{i}v_{i}}$, que se deduce de${\displaystyle p(\lambda _{i})=c_{0}+c_{1}\lambda _{i}+\cdots +c_{n-1}\lambda _{i}^{n-1}+\lambda _{i}^{n}=0}$. Por lo tanto, su matriz de cambio de base diagonalizada es${\displaystyle V^{T}=[v_{1}^{T}\ldots v_{n}^{T}]}$, significado${\displaystyle C(p)^{T}=V^{T}D\,(V^{T})^{-1}}$y tomando la transpuesta de ambos lados se obtiene${\displaystyle C(p)=V^{-1}\!DV}$Podemos leer los autovectores de${\displaystyle C(p)}$con${\displaystyle C(p)(w_{i})=\lambda _{i}w_{i}}$de la ecuación${\displaystyle C(p)=V^{-1}\!DV}$Son los vectores columna de la matriz inversa de Vandermonde.${\displaystyle V^{-1}=[w_{1}^{T}\cdots w_{n}^{T}]}$Esta matriz se conoce explícitamente, lo que proporciona los autovectores.${\displaystyle w_{i}=(L_{0i},\ldots ,L_{(n-1)i})}$, con coordenadas iguales a los coeficientes de los polinomios de Lagrange$${\displaystyle L_{i}(x)=L_{0i}+L_{1i}x+\cdots +L_{(n-1)i}x^{n-1}=\prod _{j\neq i}{\frac {x-\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}={\frac {p(x)}{(x-\lambda _{i})\,p'(\lambda _{i})}}.}$$ Alternativamente, los autovectores escalados${\displaystyle {\tilde {w}}_{i}=p'\!(\lambda _{i})\,w_{i}}$tienen coeficientes más simples.

Si${\displaystyle p(x)}$tiene múltiples raíces, entonces${\displaystyle C(p)}$no es diagonalizable. Más bien, la forma canónica de Jordan de${\displaystyle C(p)}$contiene un bloque de Jordan para cada raíz distinta; si la multiplicidad de la raíz es m , entonces el bloque es una matriz m × m con ${\displaystyle \lambda }$en la diagonal y 1 en las entradas justo encima de la diagonal. En este caso, V se convierte en una matriz de Vandermonde confluente . ^{[ 2 ]}

Una secuencia recursiva lineal definida por${\displaystyle a_{k+n}=-c_{0}a_{k}-c_{1}a_{k+1}\cdots -c_{n-1}a_{k+n-1}}$para${\displaystyle k\geq 0}$tiene el polinomio característico${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$, cuya matriz compañera transpuesta${\displaystyle C(p)^{T}}$genera la secuencia: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n-1}\\a_{k+n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\cdots &-c_{n-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{k}\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+n-2}\\a_{k+n-1}\end{bmatrix}}.}$$ El vector${\displaystyle v=(1,\lambda ,\lambda ^{2},\ldots ,\lambda ^{n-1})}$es un vector propio de esta matriz, donde el valor propio${\displaystyle \lambda }$es una raíz de${\displaystyle p(x)}$Al establecer los valores iniciales de la secuencia iguales a este vector, se obtiene una secuencia geométrica.${\displaystyle a_{k}=\lambda ^{k}}$que satisface la recurrencia. En el caso de n autovalores distintos, una solución arbitraria${\displaystyle a_{k}}$se puede escribir como una combinación lineal de dichas soluciones geométricas, y los autovalores de la norma compleja más grande dan una aproximación asintótica .

De forma similar al caso anterior de recursiones lineales, consideremos una EDO lineal homogénea de orden n para la función escalar.${\displaystyle y=y(t)}$: $${\displaystyle y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +c_{1}y^{(1)}+c_{0}y=0.}$$ Esto puede describirse de forma equivalente como un sistema acoplado de EDO lineales homogéneas de orden 1 para la función vectorial.${\displaystyle z(t)=(y(t),y'(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t))}$: $${\displaystyle z'=C(p)^{T}z}$$ dónde${\displaystyle C(p)^{T}}$es la matriz compañera transpuesta para el polinomio característico $${\displaystyle p(x)=x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}.}$$ Aquí están los coeficientes${\displaystyle c_{i}=c_{i}(t)}$También pueden ser funciones, no solo constantes.

Si${\displaystyle C(p)^{T}}$Si es diagonalizable, entonces un cambio de base diagonalizante lo transformará en un sistema desacoplado equivalente a una EDO lineal escalar homogénea de primer orden en cada coordenada.

Una ecuación no homogénea $${\displaystyle y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +c_{1}y^{(1)}+c_{0}y=f(t)}$$ es equivalente al sistema: $${\displaystyle z'=C(p)^{T}z+F(t)}$$ con el término de inhomogeneidad${\displaystyle F(t)=(0,\ldots ,0,f(t))}$.

Nuevamente, un cambio de base diagonalizante transformará esto en un sistema desacoplado de EDO lineales escalares no homogéneas de primer orden.

En el caso de${\displaystyle p(x)=x^{n}-1}$Cuando los valores propios son las raíces complejas de la unidad , tanto la matriz compañera como su transpuesta se reducen a la matriz de desplazamiento cíclico de Sylvester , una matriz circulante .

Consideremos un polinomio${\displaystyle p(x)=x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}}$con coeficientes en un campo${\displaystyle F}$y supongamos que${\displaystyle p(x)}$es irreducible en el anillo de polinomios${\displaystyle F[x]}$Luego, adjuntando una raíz${\displaystyle \lambda }$de${\displaystyle p(x)}$produce una extensión de campo${\displaystyle K=F(\lambda )\cong F[x]/(p(x))}$, que también es un espacio vectorial sobre${\displaystyle F}$con base estándar${\displaystyle \{1,\lambda ,\lambda ^{2},\ldots ,\lambda ^{n-1}\}}$. Entonces el${\displaystyle F}$-mapeo de multiplicación lineal

${\displaystyle m_{\lambda }:K\to K}$ definido por ${\displaystyle m_{\lambda }(\alpha )=\lambda \alpha }$

tiene una matriz n × n${\displaystyle [m_{\lambda }]}$con respecto a la base estándar. Dado que${\displaystyle m_{\lambda }(\lambda ^{i})=\lambda ^{i+1}}$y${\displaystyle m_{\lambda }(\lambda ^{n-1})=\lambda ^{n}=-c_{0}-\cdots -c_{n-1}\lambda ^{n-1}}$, esta es la matriz complementaria de${\displaystyle p(x)}$: $${\displaystyle [m_{\lambda }]=C(p).}$$ Suponiendo que esta extensión sea separable (por ejemplo, si${\displaystyle F}$tiene característica cero o es un campo finito ),${\displaystyle p(x)}$tiene raíces distintivas${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$con${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda }$, de modo que $${\displaystyle p(x)=(x-\lambda _{1})\cdots (x-\lambda _{n}),}$$ y tiene campo divisorio${\displaystyle L=F(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$. Ahora${\displaystyle m_{\lambda }}$no es diagonalizable sobre${\displaystyle F}$; más bien, debemos extenderlo a un${\displaystyle L}$-mapa lineal en${\displaystyle L^{n}\cong L\otimes _{F}K}$, un espacio vectorial sobre${\displaystyle L}$con base estándar${\displaystyle \{1{\otimes }1,\,1{\otimes }\lambda ,\,1{\otimes }\lambda ^{2},\ldots ,1{\otimes }\lambda ^{n-1}\}}$, que contienen vectores${\displaystyle w=(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})=\beta _{1}{\otimes }1+\cdots +\beta _{n}{\otimes }\lambda ^{n-1}}$. El mapeo extendido se define por${\displaystyle m_{\lambda }(\beta \otimes \alpha )=\beta \otimes (\lambda \alpha )}$.

La matriz${\displaystyle [m_{\lambda }]=C(p)}$no cambia, pero como se indicó anteriormente, se puede diagonalizar mediante matrices con entradas en${\displaystyle L}$: $${\displaystyle [m_{\lambda }]=C(p)=V^{-1}\!DV,}$$ para la matriz diagonal${\displaystyle D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$y la matriz de Vandermonde V correspondiente a${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in L}$. La fórmula explícita para los autovectores (los vectores columna escalados de la matriz inversa de Vandermonde)${\displaystyle V^{-1}}$) se puede escribir como: $${\displaystyle {\tilde {w}}_{i}=\beta _{0i}{\otimes }1+\beta _{1i}{\otimes }\lambda +\cdots +\beta _{(n-1)i}{\otimes }\lambda ^{n-1}=\prod _{j\neq i}(1{\otimes }\lambda -\lambda _{j}{\otimes }1)}$$ dónde${\displaystyle \beta _{ij}\in L}$son los coeficientes del polinomio de Lagrange escalado $${\displaystyle {\frac {p(x)}{x-\lambda _{i}}}=\prod _{j\neq i}(x-\lambda _{j})=\beta _{0i}+\beta _{1i}x+\cdots +\beta _{(n-1)i}x^{n-1}.}$$

Es posible calcular la matriz compañera de forma rápida mediante el uso de algoritmos rápidos de multiplicación de matrices en el tiempo${\displaystyle O({n^{\omega }})}$para${\displaystyle ~2.37\leq \omega <3}$. Los algoritmos respectivos se dan en ^{[ 3 ]}

• endomorfismo de Frobenius
• Teorema de Cayley-Hamilton
• subespacio de Krylov