Operador compacto

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , un operador compacto es un operador lineal que se comporta, en varios aspectos importantes, como un operador de dimensión finita, como una matriz . En espacios de dimensión infinita, los conjuntos acotados no suelen ser compactos , y las sucesiones acotadas no necesariamente tienen subsucesiones convergentes . Los operadores compactos restauran parcialmente este comportamiento de dimensión finita al transformar conjuntos acotados en conjuntos cuyas clausuras son compactas, o, equivalentemente, en espacios normados, al transformar sucesiones acotadas en sucesiones con subsucesiones convergentes.

Los operadores compactos surgieron por primera vez en la teoría de ecuaciones integrales , donde muchos operadores integrales poseen propiedades de compacidad. Desempeñan un papel fundamental en la alternativa de Fredholm , en la teoría espectral de operadores lineales y en aplicaciones a ecuaciones diferenciales y espacios de Sobolev . Por ejemplo, la compacidad suele implicar que el espectro no nulo de un operador consta de autovalores aislados de multiplicidad finita, con posible acumulación únicamente en cero.

Los operadores compactos se estudiaron por primera vez en relación con ecuaciones integrales . Un ejemplo típico es un operador de la forma

${\displaystyle (Kf)(x)=\int _{a}^{b}k(x,y)f(y)\,dy,}$

donde la función${\displaystyle k}$se denomina núcleo integral . Bajo supuestos de regularidad adecuados en${\displaystyle k}$, el operador${\displaystyle K}$envía familias acotadas de funciones a familias que son uniformemente acotadas y equicontinuas . Por el teorema de Arzelà-Ascoli , dichas familias tienen cierre compacto en espacios tales como${\displaystyle C([a,b])}$. Por lo tanto, muchos operadores integrales son compactos. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Esta compacidad es útil porque hace que algunas ecuaciones lineales de dimensión infinita se asemejen a sistemas de ecuaciones lineales de dimensión finita. Por ejemplo, la ecuación de Fredholm.

${\displaystyle u-\lambda Ku=f}$

A menudo se pueden estudiar mediante la aproximación de dimensión finita y la alternativa de Fredholm . De esta manera, los operadores compactos proporcionan un puente entre las ecuaciones integrales concretas y la teoría espectral abstracta de operadores en espacios de funciones. ^{[ 3 ]}

La misma idea aparece en otras partes del análisis. Las incrustaciones compactas de espacios de funciones, como ciertas incrustaciones de espacios de Sobolev en espacios Lp , permiten tratar problemas diferenciales y de valores en la frontera mediante métodos similares a los utilizados para operadores integrales compactos.

A lo largo de esta sección,${\displaystyle X,Y,Z}$denotan espacios normados o de Banach, según se especifique, y${\displaystyle B(X,Y)}$denota el espacio de operadores lineales acotados desde${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y}$Los operadores compactos de${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y}$se denotan por${\displaystyle K(X,Y)}$.

Los operadores compactos están estrechamente relacionados con los operadores de Fredholm y la alternativa de Fredholm . Esta conexión es una de las razones por las que los operadores compactos se comportan, en muchos aspectos, como aplicaciones lineales de dimensión finita.

Dejar${\displaystyle X}$ser un espacio Banach y dejar${\displaystyle K:X\to X}$ser compacto. Entonces

${\displaystyle IK}$

es un operador de Fredholm de índice cero. Equivalentemente, el núcleo de${\displaystyle IK}$es de dimensión finita, el rango de${\displaystyle IK}$está cerrado y

${\displaystyle \dim \ker(IK)=\dim {\bigl (}X/\operatorname {Estoy} (IK){\bigr )}.}$

De manera más general, para cada escalar${\displaystyle \lambda \neq 0}$, el operador

${\displaystyle \lambda IK}$

es Fredholm de índice cero. ^{[ 3 ] [ 10 ]}

La teoría espectral de operadores compactos está más cerca del álgebra lineal de dimensión finita que la teoría espectral de operadores acotados generales.

Dejar${\displaystyle X}$Sea un espacio de Banach complejo de dimensión infinita , y sea${\displaystyle T:X\to X}$Sé un operador compacto. Entonces${\displaystyle 0}$pertenece al espectro${\displaystyle \sigma (T)}$. Aparte de${\displaystyle 0}$, cada valor espectral de${\displaystyle T}$es un autovalor de multiplicidad finita. Más precisamente, si${\displaystyle \lambda \neq 0}$y${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$, entonces

${\displaystyle \ker(T-\lambda I)}$

es de dimensión finita, el rango de${\displaystyle T-\lambda I}$está cerrado y${\displaystyle \lambda }$es un punto aislado del espectro. ^{[ 3 ] [ 11 ]}

Por lo tanto, el espectro no nulo es finito o infinitamente numerable. Si es infinito, su único punto de acumulación posible es${\displaystyle 0}$. De forma equivalente, para cada${\displaystyle r>0}$, el conjunto

${\displaystyle \{\lambda \in \sigma (T):|\lambda |>r\}}$

es finito. Por lo tanto, los operadores compactos no pueden tener una banda continua de valores espectrales distintos de cero.

El carácter de dimensión finita del espectro no nulo también puede expresarse en términos de la teoría de Fredholm. Para${\displaystyle \lambda \neq 0}$, el operador

${\displaystyle T-\lambda I}$

tiene un núcleo y un conúcleo de dimensión finita, y estas dimensiones son iguales:

${\displaystyle \dim \ker(T-\lambda I)=\dim {\bigl (}X/\operatorname {Im} (T-\lambda I){\bigr )}.}$

En particular,${\displaystyle T-\lambda I}$no es invertible precisamente porque${\displaystyle \lambda }$es un valor propio, no debido a un espectro residual o continuo alejado de cero.

El adjunto tiene los mismos valores espectrales distintos de cero. Si${\displaystyle \lambda \neq 0}$está en el espectro de${\displaystyle T}$, entonces${\displaystyle \lambda }$es también un valor propio del operador adjunto${\displaystyle T^{*}:X^{*}\to X^{*}}$. Más precisamente,

${\displaystyle \dim \ker(T-\lambda I)=\dim \ker(T^{*}-\lambda I)}$

cuando se tienen en cuenta las multiplicidades algebraicas. ^{[ 3 ]}

Estos resultados se denominan a menudo teoría de Riesz-Schauder de operadores compactos. Generalizan el hecho elemental de que una aplicación lineal de dimensión finita tiene un espectro que consiste únicamente en valores propios, al tiempo que permiten el fenómeno de dimensión infinita de que los valores propios pueden acumularse en${\displaystyle 0}$.

Una noción relacionada con la compacidad de un operador es un operador con resolvente compacto . Un operador no acotado${\displaystyle A}$, como un operador diferencial , se dice que tiene resolvente compacta si${\displaystyle (A-\lambda I)^{-1}}$existe para algunos${\displaystyle \lambda }$y es un operador compacto. Esta condición implica que el espectro de${\displaystyle A}$tiene autovalores discretos de multiplicidad finita, sin punto de acumulación finito. Las resolventes compactas suelen aparecer para operadores elípticos en dominios acotados, donde las incrustaciones de Sobolev compactas proporcionan la compacidad requerida.

Los operadores compactos en espacios de Hilbert guardan una estrecha relación con el álgebra lineal de dimensión finita. Además de las propiedades espectrales generales de los operadores compactos en espacios de Banach, los operadores compactos en espacios de Hilbert admiten descomposiciones ortogonales, expansiones en valores singulares y, en el caso autoadjunto, un teorema espectral similar al teorema espectral para matrices hermíticas de dimensión finita.

Dejar${\displaystyle X,Y}$sean espacios de Banach. Un operador lineal acotado${\displaystyle T:X\to Y}$Se dice que es completamente continua si, para cada sucesión débilmente convergente,${\displaystyle (x_{n})}$de${\displaystyle X}$, la secuencia${\displaystyle (Tx_{n})}$es convergente en normas en${\displaystyle Y}$. ^{[ 15 ]}

Los operadores compactos entre espacios de Banach son siempre completamente continuos, pero lo contrario es falso, porque existe un operador completamente continuo que no es compacto. Sin embargo, lo contrario es verdadero si${\displaystyle X}$es un espacio de Banach reflexivo : entonces todo operador completamente continuo${\displaystyle T:X\to Y}$es compacto. ^{[ 15 ]}

Resulta algo confuso que, en la literatura antigua, a los operadores compactos se les denomine a veces "completamente continuos", aunque esta última condición sea menos estricta en la terminología moderna.

Los operadores de rango finito son los ejemplos más simples de operadores compactos. Si${\displaystyle T:X\to Y}$tiene un rango de dimensión finita, entonces la imagen bajo${\displaystyle T}$de cualquier subconjunto acotado de${\displaystyle X}$es un subconjunto acotado de un espacio normado de dimensión finita y, por lo tanto, tiene cierre compacto. Así, los operadores de rango finito son compactos. En espacios de dimensión finita, esto se aplica a todos los operadores lineales acotados, pero en espacios de dimensión infinita, la compacidad es una restricción real.

Una clase de ejemplos la proporcionan los operadores diagonales o de multiplicación en espacios de secuencias. Por ejemplo, en${\displaystyle \ell ^{p}}$, con${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$, un operador de la forma

${\displaystyle (Tx)_{n}=t_{n}x_{n}}$

es compacto cuando la secuencia escalar${\displaystyle (t_{n})}$tiende a cero. Dicho operador puede aproximarse en norma de operador mediante operadores diagonales de rango finito obtenidos al truncar la secuencia.${\displaystyle (t_{n})}$. Por el contrario, si${\displaystyle (t_{n})}$Si no tiende a cero, las imágenes de vectores de coordenadas adecuados no pueden tener una subsecuencia convergente, por lo que el operador de multiplicación correspondiente no es compacto.

Los operadores integrales también proporcionan operadores compactos en muchos casos importantes. Si

${\displaystyle (Kf)(x)=\int _{a}^{b}k(x,y)f(y)\,dy}$

tiene un núcleo suficientemente regular${\displaystyle k}$, entonces${\displaystyle K}$A menudo, las familias acotadas de funciones se transforman en familias uniformemente acotadas y equicontinuas. Según el teorema de Arzelà-Ascoli , dichas familias tienen cierre compacto en espacios como${\displaystyle C([a,b])}$. Por ejemplo, el operador

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)g(t)\,dt,}$

dónde${\displaystyle g\in C([0,1])}$, define un operador compacto en${\displaystyle C([0,1])}$En los espacios de Hilbert, los operadores integrales de Hilbert-Schmidt son compactos; en particular, si${\displaystyle k\in L^{2}(\Omega \times \Omega )}$, entonces el operador integral

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{\Omega }k(x,y)f(y)\,dy}$

es compacto en${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$.

El operador identidad en un espacio de Banach de dimensión infinita es un ejemplo básico de no compacidad. Es acotado, pero no compacto, porque la bola unitaria cerrada de un espacio de Banach de dimensión infinita no es compacta. De forma equivalente, el operador identidad sería compacto solo si toda sucesión acotada tuviera una subsucesión convergente, lo cual no ocurre en espacios de Banach de dimensión infinita. El mismo argumento demuestra que cualquier múltiplo escalar no nulo de la identidad no es compacto en un espacio de Banach de dimensión infinita.

Los operadores de desplazamiento unilateral en espacios de secuencias tampoco son compactos. Por ejemplo, en${\displaystyle \ell ^{2}}$, el desplazamiento hacia adelante envía el vector base estándar${\displaystyle e_{n}}$a${\displaystyle e_{n+1}}$La secuencia${\displaystyle (e_{n+1})}$no tiene ninguna subsecuencia convergente en norma, por lo que la imagen de la secuencia acotada${\displaystyle (e_{n})}$no es relativamente compacto. El desplazamiento hacia atrás no es compacto por la misma razón.

Todo operador lineal acotado de un espacio normado a un espacio nuclear completo es compacto, porque los conjuntos acotados en espacios nucleares completos son precompactos. ^{[ 16 ] [ 17 ]} Un ejemplo analítico complejo lo proporciona el operador integral de Cauchy . Para el disco unitario${\displaystyle \mathbb {D} }$, definir

${\displaystyle (Tf)(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial \mathbb {D} }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta ,\qquad z\in \mathbb {D} .}$

Como operador de${\displaystyle L^{2}(\partial \mathbb {D} )}$en el espacio Fréchet${\displaystyle {\mathcal {O}}(\mathbb {D} )}$de funciones holomorfas en${\displaystyle \mathbb {D} }$Con la topología de convergencia uniforme en subconjuntos compactos, este operador es compacto. La imagen de un conjunto acotado en${\displaystyle L^{2}(\partial \mathbb {D} )}$está localmente uniformemente acotado en${\displaystyle \mathbb {D} }$y, por lo tanto, es relativamente compacto según el teorema de Montel . ^{[ 18 ]} La compacidad proviene de considerar las funciones holomorfas solo en subconjuntos compactos estrictamente dentro del dominio. Las oscilaciones de frontera pueden permanecer grandes en${\displaystyle L^{2}(\partial \mathbb {D} )}$, pero se vuelven invisibles en la topología compacta-abierta de${\displaystyle {\mathcal {O}}(\mathbb {D} )}$.

Los operadores compactos suelen surgir como mapas de inclusión entre espacios de funciones.${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son espacios normalizados con${\displaystyle X\subseteq Y}$, la inclusión

${\displaystyle I:X\to Y,\qquad Iu=u,}$

se denomina incrustación cuando es continua. La incrustación se denomina compacta si este mapa de inclusión es un operador compacto; es decir, si toda secuencia acotada en${\displaystyle X}$tiene una subsecuencia que converge en la norma de${\displaystyle Y}$. Las incrustaciones compactas se suelen denotar ^{[ 19 ] [ 20 ]}

${\displaystyle X{\overset {c}{\hookrightarrow }}Y.}$

La compacidad de una incrustación es más fuerte que la continuidad. Una incrustación continua proporciona una estimación de la forma.

${\displaystyle \|u\|_{Y}\leq C\|u\|_{X},}$

mientras que una incrustación compacta también afirma una propiedad de precompacidad: conjuntos acotados en el espacio más fuerte${\displaystyle X}$se vuelven relativamente compactos cuando se ven en el espacio más débil${\displaystyle Y}$.

El teorema de Arzelà-Ascoli proporciona un ejemplo. La inclusión de una familia de funciones uniformemente acotada y equicontinua en${\displaystyle C([a,b])}$tiene cierre compacto. Esta es una razón por la que muchos operadores integrales son compactos: envían conjuntos acotados de funciones a familias equicontinuas. ^{[ 1 ] [ 21 ]}

El teorema de Rellich-Kondrachov produce otras incrustaciones compactas. Si${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$Si es un dominio acotado con la regularidad adecuada, entonces ciertas incrustaciones en el espacio de Sobolev son compactas. Por ejemplo, si${\displaystyle 1\leq p<n}$y

${\displaystyle 1\leq q<p^{*}={\frac {np}{n-p}},}$

entonces la inclusión natural

${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )\hookrightarrow L^{q}(\Omega )}$

es compacto. Por lo tanto, toda secuencia acotada en${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$tiene una subsecuencia que converge en${\displaystyle L^{q}(\Omega )}$. ^{[ 20 ] [ 19 ]}

Un ejemplo contrario es la inclusión de espacios de Lebesgue . Si${\displaystyle (X,\mu )}$es un espacio de medida finito , entonces por la desigualdad de Hölder${\displaystyle L^{q}(X,\mu )\subset L^{p}(X,\mu )}$cuando sea${\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty }$. ^{[ 22 ]} Sin embargo, esta inclusión no es compacta en general. Por ejemplo, en${\displaystyle [0,1]}$con la medida de Lebesgue, las funciones de Rademacher forman una secuencia acotada en cada${\displaystyle L^{q}}$, pero ninguna subsecuencia converge en${\displaystyle L^{p}}$. ^{[ 22 ]} Por lo tanto, la compacidad de las incrustaciones como las del teorema de Rellich-Kondrachov depende de una regularidad adicional, no simplemente de la inclusión de un espacio normado más fuerte en uno más débil.

Las incrustaciones compactas son fundamentales en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales y cálculo de variaciones . Permiten reemplazar secuencias débiles o acotadas de soluciones aproximadas, tras pasar a subsecuencias, por secuencias fuertemente convergentes en una norma más débil. Esta compacidad se utiliza en demostraciones de existencia, en el estudio de problemas de contorno elípticos y para demostrar que muchos operadores diferenciales tienen un comportamiento espectral discreto análogo al de los operadores compactos. ^{[ 23 ]}

Los espacios de funciones holomorfas proporcionan otra clase de incrustaciones compactas.${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}}$sea ​​un dominio, y deje que${\displaystyle {\mathcal {O}}(\Omega )}$denotemos el espacio de funciones holomorfas en${\displaystyle \Omega }$, con la topología de convergencia uniforme en subconjuntos compactos. Muchos espacios de Banach de funciones holomorfas se incrustan de forma compacta en${\displaystyle {\mathcal {O}}(\Omega )}$. Por ejemplo, en el disco de la unidad, la inclusión

${\displaystyle H^{p}(\mathbb {D} )\hookrightarrow {\mathcal {O}}(\mathbb {D} )}$

del espacio Hardy${\displaystyle H^{p}(\mathbb {D} )}$en el espacio de funciones holomorfas es compacto para${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$. Un conjunto acotado en${\displaystyle H^{p}(\mathbb {D} )}$está localmente uniformemente acotado en${\displaystyle \mathbb {D} }$y por lo tanto es relativamente compacto en la topología compacta-abierta según el teorema de Montel . ^{[ 18 ] [ 24 ]}

El mismo principio se aplica a los espacios de Bergman . Si${\displaystyle A^{p}(\Omega )}$es un espacio de Bergman de funciones holomorfas en un dominio${\displaystyle \Omega }$, entonces las estimaciones en subconjuntos compactos dan, para cada conjunto compacto${\displaystyle K\subset \Omega }$,

${\displaystyle \sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{A^{p}(\Omega )}.}$

Por lo tanto, los conjuntos acotados en${\displaystyle A^{p}(\Omega )}$son familias normales y la inclusión natural

${\displaystyle A^{p}(\Omega )\hookrightarrow {\mathcal {O}}(\Omega )}$

es compacto. Declaraciones de compacidad similares son válidas para restricciones a subdominios más pequeños.${\displaystyle \Omega '\Subset \Omega }$donde los conjuntos acotados en espacios de Hardy o Bergman se vuelven relativamente compactos en espacios de funciones holomorfas en${\displaystyle \Omega '}$. ^{[ 24 ]}

En varias variables complejas , aparecen incrustaciones compactas análogas para espacios de Hardy y Bergman en dominios acotados, y para espacios de Hardy en dominios tubulares . Por ejemplo, los espacios de Hardy en dominios tubulares sobre conos consisten en funciones holomorfas que satisfacen uniformemente${\displaystyle L^{p}}$Límites de tipo en secciones reales trasladadas. Las estimaciones interiores implican nuevamente acotación local en subconjuntos compactos del tubo, por lo que los conjuntos acotados forman familias normales y son compactos en la topología compacta-abierta. ^{[ 24 ] [ 25 ]}

• Conway, John B. (1985). Un curso de análisis funcional . Springer-Verlag. Sección 2.4. ISBN 978-3-540-96042-3.
• Duren, Peter L. (1970), Theory of H^p Spaces , Pure and Applied Mathematics, vol.  38, Nueva York: Academic Press, ISBN 978-0-12-225150-4.
• Enflo, P. (1973). "Un contraejemplo al problema de aproximación en espacios de Banach" . Acta Mathematica . 130 (1): 309– 317. doi : 10.1007/BF02392270 . ISSN 0001-5962 . MR 0402468 .  
• Kreyszig, Erwin (1978). Análisis funcional introductorio con aplicaciones . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-50731-4.
• Kutateladze, SS (1996). Fundamentos del Análisis Funcional . Textos en Ciencias Matemáticas. vol.  12 (2ª  ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag.  292.ISBN​ 978-0-7923-3898-7.
• Lax, Peter (2002). Análisis funcional . Nueva York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6OCLC 47767143​​ 
• McLean, William (2000), Sistemas fuertemente elípticos y ecuaciones integrales de frontera , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66375-5.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda  edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834​​ 
• Renardy, M.; Rogers, RC (2004). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos de Matemáticas Aplicadas. Vol.  13 (2.ª  ed.). Nueva York: Springer-Verlag . p.  356. ISBN 978-0-387-00444-0.(Sección 7.5)
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277​​ 
• Rudin, Walter (1980), Teoría de funciones en la bola unitaria de C^n , Nueva York: Springer-Verlag.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 
• Stein, Elias M.; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1OCLC 853623322 .​