Por Enflo

Per H. Enflo ( en sueco: [ˈpæːr ˈěːnfluː] ; nacido el 20 de mayo de 1944) es un matemático sueco que trabajó principalmente en análisis funcional , un campo en el que resolvió problemas que se habían considerado fundamentales. Tres de estos problemas habían estado abiertos durante más de cuarenta años: ^[1]

• El problema de la base y el problema de aproximación ^[2] y posteriores
• El problema del subespacio invariante para espacios de Banach . ^[3]

Para resolver estos problemas, Enflo desarrolló nuevas técnicas que luego fueron utilizadas por otros investigadores en análisis funcional y teoría de operadores durante años. Algunas de las investigaciones de Enflo también han sido importantes en otros campos matemáticos, como la teoría de números y la informática , especialmente el álgebra computacional y los algoritmos de aproximación .

Enflo trabaja en la Universidad Estatal de Kent , donde tiene el título de profesor universitario. Enflo ha ocupado anteriormente puestos en el Instituto Miller de Investigación Básica en Ciencias de la Universidad de California, Berkeley , la Universidad de Stanford , École Polytechnique ( París ) y el Instituto Real de Tecnología de Estocolmo .

Enflo también es pianista de concierto .

En matemáticas , el análisis funcional se ocupa del estudio de los espacios vectoriales y los operadores que actúan sobre ellos. Tiene sus raíces históricas en el estudio de los espacios funcionales , en particular las transformaciones de funciones , como la transformada de Fourier , así como en el estudio de las ecuaciones diferenciales e integrales . En el análisis funcional, una clase importante de espacios vectoriales consiste en los espacios vectoriales normados completos sobre los números reales o complejos , que se denominan espacios de Banach . Un ejemplo importante de un espacio de Banach es un espacio de Hilbert , donde la norma surge de un producto interno . Los espacios de Hilbert son de importancia fundamental en muchas áreas, incluida la formulación matemática de la mecánica cuántica , los procesos estocásticos y el análisis de series de tiempo . Además de estudiar los espacios de funciones, el análisis funcional también estudia los operadores lineales continuos en espacios de funciones.

En la Universidad de Estocolmo, Hans Rådström sugirió que Enflo considerara el quinto problema de Hilbert en el espíritu del análisis funcional. ^[4] En dos años, 1969-1970, Enflo publicó cinco artículos sobre el quinto problema de Hilbert; estos artículos se recopilan en Enflo (1970), junto con un breve resumen. Algunos de los resultados de estos artículos se describen en Enflo (1976) y en el último capítulo de Benyamini y Lindenstrauss .

Las técnicas de Enflo han encontrado aplicación en la ciencia informática . Los teóricos de algoritmos derivan algoritmos de aproximación que incrustan espacios métricos finitos en espacios euclidianos de baja dimensión con baja "distorsión" (en la terminología de Gromov para la categoría de Lipschitz ; cf. distancia de Banach-Mazur ). Los problemas de baja dimensión tienen una menor complejidad computacional , por supuesto. Más importante aún, si los problemas se incrustan bien en el plano euclidiano o en el espacio euclidiano tridimensional , entonces los algoritmos geométricos se vuelven excepcionalmente rápidos.

Sin embargo, estas técnicas de incrustación tienen limitaciones, como lo demuestra el teorema de Enflo (1969): ^[5]

Para cada , el cubo de Hamming no puede ser incrustado con "distorsión " (o menos) en un espacio euclidiano de dimensión - si . En consecuencia, la incrustación óptima es la incrustación natural, que se realiza como un subespacio del espacio euclidiano de dimensión -. ^[6]${\displaystyle m\geq 2}$ $Estilo de visualización C_ {m}}$${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización 2^{m}}$${\displaystyle D<{\sqrt {m}}}$${\displaystyle \{0,1\}^{m}}$${\estilo de visualización m}$

Este teorema, "descubierto por Enflo [1969], es probablemente el primer resultado que muestra una distorsión ilimitada para las incrustaciones en espacios euclidianos . Enflo consideró el problema de la incrustabilidad uniforme entre espacios de Banach , y la distorsión fue un recurso auxiliar en su prueba". ^[7]

Un espacio uniformemente convexo es un espacio de Banach de modo que, para cada hay algún tal que para cualesquiera dos vectores con y${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle \|x\|\leq 1}$${\displaystyle \|y\|\leq 1,}$

${\displaystyle \|x+y\|>2-\delta }$

implica que

${\displaystyle \|xy\|<\epsilon .}$

Intuitivamente, el centro de un segmento de línea dentro de la bola unitaria debe estar profundamente dentro de la bola unitaria a menos que el segmento sea corto.

En 1972 Enflo demostró que "todo espacio de Banach superreflexivo admite una norma uniformemente convexa equivalente ". ^{[8] [9]}

En un artículo, publicado en 1973, Per Enflo resolvió tres problemas que habían desconcertado a los analistas funcionales durante décadas: el problema de la base de Stefan Banach , el " problema del ganso " de Stanislaw Mazur y el problema de aproximación de Alexander Grothendieck . Grothendieck había demostrado que su problema de aproximación era el problema central en la teoría de los espacios de Banach y los operadores lineales continuos .

El problema de la base fue planteado por Stefan Banach en su libro Teoría de operadores lineales . Banach preguntó si todo espacio de Banach separable tiene una base de Schauder .

Una base de Schauder o base contable es similar a la base habitual (de Hamel) de un espacio vectorial ; la diferencia es que para las bases de Hamel utilizamos combinaciones lineales que son sumas finitas , mientras que para las bases de Schauder pueden ser sumas infinitas . Esto hace que las bases de Schauder sean más adecuadas para el análisis de espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita, incluidos los espacios de Banach .

Las bases de Schauder fueron descritas por Juliusz Schauder en 1927. ^{[10] [11]} Sea V un espacio de Banach sobre el cuerpo F . Una base de Schauder es una secuencia ( b _n ) de elementos de V tal que para cada elemento v ∈ V existe una secuencia única ( α _n ) de elementos en F tal que

${\displaystyle v=\suma _{n\in \mathbb {N}}\alpha _{n}b_{n}\,}$

donde la convergencia se entiende con respecto a la topología de la norma . Las bases de Schauder también se pueden definir de forma análoga en un espacio vectorial topológico general .

Banach y otros matemáticos polacos trabajaban en problemas matemáticos en el Café Escocés . Cuando un problema era especialmente interesante y su solución parecía difícil, se escribía en el libro de problemas, que pronto se conocería como el Libro Escocés . En el caso de los problemas que parecían especialmente importantes o difíciles, o ambas cosas, el proponente del problema a menudo se comprometía a otorgar un premio por su solución.

El 6 de noviembre de 1936, Stanislaw Mazur planteó un problema sobre la representación de funciones continuas. Tras escribir formalmente el problema 153 en el Scottish Book , Mazur prometió como recompensa un "ganso vivo", un premio especialmente alto durante la Gran Depresión y en vísperas de la Segunda Guerra Mundial .

Poco tiempo después, se descubrió que el problema de Mazur estaba estrechamente relacionado con el problema de Banach sobre la existencia de bases de Schauder en espacios de Banach separables. La mayoría de los demás problemas del Libro Escocés se resolvieron con regularidad. Sin embargo, hubo pocos avances en el problema de Mazur y en algunos otros problemas, que se convirtieron en problemas abiertos famosos para los matemáticos de todo el mundo. ^[12]

El trabajo de Grothendieck sobre la teoría de los espacios de Banach y los operadores lineales continuos introdujo la propiedad de aproximación . Se dice que un espacio de Banach tiene la propiedad de aproximación , si cada operador compacto es un límite de operadores de rango finito . La inversa siempre es cierta. ^[13]

En una extensa monografía, Grothendieck demostró que si cada espacio de Banach tuviera la propiedad de aproximación, entonces cada espacio de Banach tendría una base de Schauder. Grothendieck centró así la atención de los analistas funcionales en decidir si cada espacio de Banach tenía la propiedad de aproximación. ^[13]

En 1972, Per Enflo construyó un espacio de Banach separable que carece de la propiedad de aproximación y de una base de Schauder. ^[14] En 1972, Mazur le otorgó un ganso vivo a Enflo en una ceremonia en el Centro Stefan Banach en Varsovia ; la ceremonia de la "recompensa del ganso" se transmitió por toda Polonia . ^[15]

En el análisis funcional , uno de los problemas más destacados fue el problema del subespacio invariante , que requería la evaluación de la verdad de la siguiente proposición:

Dado un espacio de Banach complejo H de dimensión > 1 y un operador lineal acotado T  :  H  →  H , entonces H tiene un subespacio T -invariante cerrado no trivial , es decir, existe un subespacio lineal cerrado W de H que es diferente de {0} y H tal que T ( W ) ⊆ W .

Para los espacios de Banach , el primer ejemplo de un operador sin un subespacio invariante fue construido por Enflo. (Para los espacios de Hilbert , el problema del subespacio invariante permanece abierto ).

Enflo propuso una solución al problema del subespacio invariante en 1975, publicando un esquema en 1976. Enflo presentó el artículo completo en 1981 y la complejidad y extensión del artículo retrasaron su publicación hasta 1987 ^[16] El largo "manuscrito" de Enflo tuvo una circulación mundial entre los matemáticos ^[17] y algunas de sus ideas fueron descritas en publicaciones además de Enflo (1976). ^{[18] [19]} Los trabajos de Enflo inspiraron una construcción similar de un operador sin un subespacio invariante, por ejemplo por parte de Beauzamy, quien reconoció las ideas de Enflo. ^[16]

En la década de 1990, Enflo desarrolló un enfoque "constructivo" para el problema del subespacio invariante en los espacios de Hilbert. ^[20]

Una idea esencial en la construcción de Enflo fue la " concentración de polinomios en grados bajos ": para todos los enteros positivos y , existe tal que para todos los polinomios homogéneos y de grados y (en variables), entonces ${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle C(m,n)>0}$ ${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización Q}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización k}$

${\displaystyle |PQ|\geq C(m,n)|P|\,|Q|,}$

donde denota la suma de los valores absolutos de los coeficientes de . Enflo demostró que no depende del número de variables . La prueba original de Enflo fue simplificada por Montgomery . ^[21]${\estilo de visualización |P|}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización C(m,n)}$${\estilo de visualización k}$

Este resultado se generalizó a otras normas sobre el espacio vectorial de polinomios homogéneos . De estas normas, la más utilizada ha sido la norma de Bombieri .

La norma de Bombieri se define en términos del siguiente producto escalar : Para todo lo que tenemos ${\displaystyle \alpha ,\beta \en \mathbb {N} ^{N}}$

${\displaystyle \langle X^{\alpha }|X^{\beta }\rangle =0}$si${\displaystyle \alpha \neq \beta }$

Para cada uno definimos${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{N}}$${\displaystyle ||X^{\alpha }||^{2}={\frac {|\alpha |!}{\alpha !}},}$

donde usamos la siguiente notación: si , escribimos y y${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\puntos ,\alpha _{N})\in \mathbb {N} ^{N}}$${\displaystyle |\alpha |=\Sigma _{i=1}^{N}\alpha _{i}}$${\displaystyle \alpha !=\Pi _{i=1}^{N}(\alpha _{i}!)}$${\displaystyle X^{\alpha }=\Pi _{i=1}^{N}X_{i}^{\alpha _{i}}.}$

La propiedad más notable de esta norma es la desigualdad de Bombieri:

Sean dos polinomios homogéneos respectivamente de grado y con variables, entonces, se cumple la siguiente desigualdad: ${\displaystyle P,Q}$${\displaystyle d^{\circ }(P)}$${\displaystyle d^{\circ }(Q)}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\frac {d^{\circ }(P)!d^{\circ }(Q)!}{(d^{\circ }(P)+d^{\circ }(Q))!}}||P||^{2}\,||Q||^{2}\leq ||P\cdot Q||^{2}\leq ||P||^{2}\,||Q||^{2}.}$

En la afirmación anterior, la desigualdad de Bombieri es la desigualdad del lado izquierdo; la desigualdad del lado derecho significa que la norma de Bombieri es una norma del álgebra de polinomios bajo multiplicación.

La desigualdad de Bombieri implica que el producto de dos polinomios no puede ser arbitrariamente pequeño, y este límite inferior es fundamental en aplicaciones como la factorización de polinomios (o en la construcción de Enflo de un operador sin un subespacio invariante).

La idea de Enflo de "concentración de polinomios en grados bajos" ha dado lugar a importantes publicaciones en teoría de números ^[22] , geometría algebraica y diofántica ^[23] y factorización de polinomios ^[24] .

En matemáticas aplicadas , Per Enflo ha publicado varios artículos en biología matemática , específicamente en dinámica de poblaciones .

Enflo también ha publicado en genética de poblaciones y paleoantropología . ^[25]

En la actualidad, todos los humanos pertenecen a una población de Homo sapiens sapiens , que se divide por barreras de especies. Sin embargo, según el modelo "Out of Africa", esta no es la primera especie de homínidos: la primera especie del género Homo , el Homo habilis , evolucionó en África oriental hace al menos 2 Ma, y los miembros de esta especie poblaron diferentes partes de África en un tiempo relativamente corto. El Homo erectus evolucionó hace más de 1,8 Ma, y hacia 1,5 Ma se había extendido por todo el Viejo Mundo .

Los antropólogos han estado divididos en cuanto a si la población humana actual evolucionó como una población interconectada (como postula la hipótesis de la evolución multirregional ), o si evolucionó solo en África Oriental, se especió y luego migró fuera de África y reemplazó a las poblaciones humanas en Eurasia (llamado el modelo "Fuera de África" ​​o el modelo de "Reemplazo Completo").

Los neandertales y los humanos modernos coexistieron en Europa durante varios miles de años, pero la duración de este período es incierta. ^[26] Los humanos modernos pueden haber migrado por primera vez a Europa hace 40-43.000 años. ^[27] Los neandertales pueden haber vivido hace tan solo 24.000 años en refugios en la costa sur de la península Ibérica, como la cueva de Gorham . ^{[28] [29]} Se ha sugerido la interestratificación de restos de neandertales y humanos modernos, ^[30] pero se discute. ^[31]

Junto con Hawks y Wolpoff , Enflo publicó una explicación de la evidencia fósil sobre el ADN de los neandertales y los humanos modernos . Este artículo intenta resolver un debate en la evolución de los humanos modernos entre las teorías que sugieren orígenes multirregionales y africanos únicos . En particular, la extinción de los neandertales podría haber ocurrido debido a oleadas de humanos modernos que entraron en Europa; en términos técnicos, debido a "la afluencia continua de ADN humano moderno en el acervo genético neandertal". ^{[32] [33] [34]}

Enflo también ha escrito sobre la dinámica poblacional de los mejillones cebra en el lago Erie . ^[35]

Per Enflo también es pianista de concierto .

Enflo, un niño prodigio tanto en música como en matemáticas, ganó el concurso sueco para jóvenes pianistas a los 11 años en 1956, y ganó el mismo concurso en 1961. ^[37] A los 12 años, Enflo apareció como solista con la Orquesta Real de la Ópera de Suecia. Debutó en la Sala de Conciertos de Estocolmo en 1963. Los maestros de Enflo incluyeron a Bruno Seidlhofer , Géza Anda y Gottfried Boon (quien fue alumno de Arthur Schnabel). ^[36]

En 1999, Enflo compitió en el primer Concurso Internacional de Piano Anual para Aficionados Destacados de la Fundación Van Cliburn . Archivado el 19 de abril de 2009 en Wayback Machine . ^[38]

Enflo actúa regularmente en Kent y en una serie de conciertos de Mozart en Columbus, Ohio (con la Triune Festival Orchestra). Sus recitales de piano solo han aparecido en la Classics Network de la estación de radio WOSU , patrocinada por la Universidad Estatal de Ohio . ^[36]

• "Se anuncian los destinatarios del premio 2005 Distinguished Scholar Award de la Universidad Estatal de Kent", eInside , 11 de abril de 2005. Recuperado el 4 de febrero de 2007.

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  • Enflo, Per (1969b). "Sobre un problema de Smirnov". Ark. Mat . 8 (2): 107–109. Bibcode :1970ArM.......8..107E. doi : 10.1007/bf02589550 .
  • Enflo, Per (1970a). "Estructuras uniformes y raíces cuadradas en grupos topológicos I ". Revista israelí de matemáticas . 8 (3): 230–252. doi :10.1007/BF02771560. S2CID  189773170.
  • Enflo, Per (1970b). "Estructuras uniformes y raíces cuadradas en grupos topológicos II ". Revista israelí de matemáticas . 8 (3): 253–272. doi :10.1007/BF02771561. S2CID  121193430.
    • Enflo, por. 1976. Homeomorfismos uniformes entre espacios de Banach. Séminaire Maurey-Schwartz (1975—1976), Espacios , aplicaciones radonifiantes et géométrie des espacios de Banach${\displaystyle L^{p}}$ , Exp. N° 18, 7 págs. Centre Math., École Polytech., Palaiseau. MR 0477709 (57 #17222) [Aspectos destacados de los artículos sobre el quinto problema de Hilbert y sobre los resultados independientes de Martin Ribe, otro alumno de Hans Rådström]
• Enflo, Per (1972). "Espacios de Banach a los que se les puede dar una norma uniformemente convexa equivalente". Revista israelí de matemáticas . 13 (3–4): 281–288. doi :10.1007/BF02762802. MR  0336297. S2CID  120895135.
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• Biografía de Per Enflo en Canisius College
• Página de inicio de Per Enflo en la Universidad Estatal de Kent
• Enflo, Per (25 de abril de 2011). "Notas personales, en mis propias palabras". perenflo.com. Archivado desde el original el 26 de abril de 2012. Consultado el 13 de diciembre de 2011 .

• Per Enflo en el Proyecto de Genealogía Matemática