Mathematical problem

A mathematical problem is a problem that can be represented, analyzed, and possibly solved, with the methods of mathematics. This can be a real-world problem, such as computing the orbits of the planets in the Solar System, or a problem of a more abstract nature, such as Hilbert's problems. It can also be a problem referring to the nature of mathematics itself, such as Russell's Paradox.

Real-world problems

Informal "real-world" mathematical problems are questions related to a concrete setting, such as "Adam has five apples and gives John three. How many has he left?". Such questions are usually more difficult to solve than regular mathematical exercises like "5 − 3", even if one knows the mathematics required to solve the problem. Known as word problems, they are used in mathematics education to teach students to connect real-world situations to the abstract language of mathematics.

In general, to use mathematics for solving a real-world problem, the first step is to construct a mathematical model of the problem. This involves abstraction from the details of the problem, and the modeller has to be careful not to lose essential aspects in translating the original problem into a mathematical one. After the problem has been solved in the world of mathematics, the solution must be translated back into the context of the original problem.

Abstract problems

Abstract mathematical problems arise in all fields of mathematics. While mathematicians usually study them for their own sake, by doing so, results may be obtained that find application outside the realm of mathematics. Theoretical physics has historically been a rich source of inspiration.

Some abstract problems have been rigorously proved to be unsolvable, such as squaring the circle and trisecting the angle using only the compass and straightedge constructions of classical geometry, and solving the general quintic equation algebraically. Also provably unsolvable are so-called undecidable problems, such as the halting problem for Turing machines.

Some well-known difficult abstract problems that have been solved relatively recently are the four-colour theorem, Fermat's Last Theorem, and the Poincaré conjecture.

Las computadoras no necesitan comprender las motivaciones de los matemáticos para hacer lo que hacen. ^{[ 1 ]} Las definiciones formales y las deducciones verificables por computadora son absolutamente fundamentales para la ciencia matemática .

Degradación de problemas a ejercicios

Los educadores de matemáticas que utilizan la resolución de problemas para la evaluación tienen un problema que Alan H. Schoenfeld expresó de la siguiente manera :

¿Cómo se pueden comparar las puntuaciones de las pruebas año tras año cuando se utilizan problemas muy diferentes? (Si se utilizan problemas similares año tras año, profesores y alumnos aprenderán cuáles son, los alumnos los practicarán: los problemas se convierten en ejercicios y la prueba deja de evaluar la resolución de problemas). ^{[ 2 ]}

Sylvestre Lacroix se enfrentó al mismo problema casi dos siglos antes:

... es necesario variar las preguntas que los estudiantes puedan plantearse entre sí. Aunque suspendan el examen, podrían aprobarlo más adelante. Por lo tanto, la distribución de las preguntas, la variedad de temas o las respuestas conllevan el riesgo de perder la oportunidad de comparar con precisión a los candidatos entre sí. ^{[ 3 ]}

Esta degradación de los problemas a ejercicios es característica de las matemáticas a lo largo de la historia. Por ejemplo, al describir los preparativos para el Cambridge Mathematical Tripos en el siglo XIX, Andrew Warwick escribió:

... muchas familias de los problemas estándar de entonces habían puesto a prueba originalmente las habilidades de los más grandes matemáticos del siglo XVIII. ^{[ 4 ]}

Véase también

Referencias

↑ ( Newby & Newby 2008 ) , "La segunda prueba consiste en que, si bien tales máquinas podrían ejecutar muchas cosas con igual o quizás mayor perfección que cualquiera de nosotros, sin duda fallarían en otras, de las cuales se podría descubrir que no actuaban por conocimiento , sino únicamente por la disposición de sus órganos: pues mientras que la razón es un instrumento universal igualmente disponible en toda ocasión, estos órganos, por el contrario, necesitan una disposición particular para cada acción particular; por lo tanto, debe ser moralmente imposible que exista en cualquier máquina una diversidad de órganos suficiente para permitirle actuar en todos los sucesos de la vida, de la manera en que nuestra razón nos permite actuar." Traducido de ( Descartes 1637 ) , página = 57 , "Et le second est que, bien qu'elles fissent plusieurs choses aussy bien, ou peutestre mieux qu'aucun de nois, ells manqueroient infaliblement en quelques autres, par lesquelles on découuriroit quelles n'agiroient pas par connoissance, mais solo por la disposición de sus órganos, en lugar de que la razón sea un instrumento universal, qui puede funcionar en todas las situaciones de encuentros, estos órganos necesitan una disposición particular para cada acción particular que sea moralmente imposible y en ait assez de diuers en una máquina, para hacerla girar en. todos los sucesos de la vida, De mesme façon que nuestra raison nous fait agir."
↑ Alan H. Schoenfeld (editor) (2007) Evaluación de la competencia matemática , páginas del prefacio x, xi, Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-87492-2
↑ SF Lacroix (1816) Essais sur l'enseignement en general, et sur celui des mathematiques en particulier , página 201
↑ Andrew Warwick (2003) Maestros de la teoría: Cambridge y el auge de la física matemática , página 145, University of Chicago Press ISBN 0-226-87375-7

Newby, Ilana; Newby, Greg (1 de julio de 2008). «Discurso sobre el método de conducir correctamente la razón y buscar la verdad en las ciencias, de René Descartes» . Proyecto Gutenberg . Consultado el 13 de febrero de 2019 ., traducido de
- Descartes, René (1637). Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les scienses, plus la dioptrique, les météores et la géométrie qui sont des essais de cette método (en francés). Gallica - La biblioteca digital de la BnF .

Enlaces externos

Contenido multimedia relacionado con problemas matemáticos en Wikimedia Commons.

[1] ( Newby & Newby 2008 ) , "La segunda prueba consiste en que, si bien tales máquinas podrían ejecutar muchas cosas con igual o quizás mayor perfección que cualquiera de nosotros, sin duda fallarían en otras, de las cuales se podría descubrir que no actuaban por conocimiento , sino únicamente por la disposición de sus órganos: pues mientras que la razón es un instrumento universal igualmente disponible en toda ocasión, estos órganos, por el contrario, necesitan una disposición particular para cada acción particular; por lo tanto, debe ser moralmente imposible que exista en cualquier máquina una diversidad de órganos suficiente para permitirle actuar en todos los sucesos de la vida, de la manera en que nuestra razón nos permite actuar." Traducido de ( Descartes 1637 ) , página = 57 , "Et le second est que, bien qu'elles fissent plusieurs choses aussy bien, ou peutestre mieux qu'aucun de nois, ells manqueroient infaliblement en quelques autres, par lesquelles on découuriroit quelles n'agiroient pas par connoissance, mais solo por la disposición de sus órganos, en lugar de que la razón sea un instrumento universal, qui puede funcionar en todas las situaciones de encuentros, estos órganos necesitan una disposición particular para cada acción particular que sea moralmente imposible y en ait assez de diuers en una máquina, para hacerla girar en. todos los sucesos de la vida, De mesme façon que nuestra raison nous fait agir."

[2] Alan H. Schoenfeld (editor) (2007) Evaluación de la competencia matemática , páginas del prefacio x, xi, Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-87492-2

[3] SF Lacroix (1816) Essais sur l'enseignement en general, et sur celui des mathematiques en particulier , página 201

[4] Andrew Warwick (2003) Maestros de la teoría: Cambridge y el auge de la física matemática , página 145, University of Chicago Press ISBN 0-226-87375-7

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]