Ejercicio (matemáticas)

Un ejercicio matemático es una aplicación rutinaria del álgebra u otras ramas de las matemáticas a un problema planteado. Los profesores de matemáticas asignan ejercicios matemáticos para desarrollar las habilidades de sus alumnos. Los primeros ejercicios tratan sobre la suma , la resta , la multiplicación y la división de números enteros . Los cursos extensos de ejercicios en la escuela amplían esta aritmética a los números racionales . Diversos enfoques de la geometría han basado sus ejercicios en las relaciones de ángulos , segmentos y triángulos . La trigonometría obtiene muchos de sus ejercicios de las identidades trigonométricas . En matemáticas universitarias, los ejercicios a menudo dependen de funciones de una variable real o de la aplicación de teoremas . Los ejercicios estándar de cálculo implican encontrar derivadas e integrales de funciones específicas.

Por lo general, los instructores preparan a los estudiantes con ejemplos resueltos : se plantea el ejercicio y luego se proporciona una solución modelo. A menudo, se muestran varios ejemplos resueltos antes de que los estudiantes estén preparados para intentar resolver los ejercicios por su cuenta. Algunos textos, como los de la serie Schaum's Outlines , se centran en ejemplos resueltos en lugar de en el tratamiento teórico de un tema matemático.

En la escuela primaria, los estudiantes comienzan con ejercicios aritméticos de un solo dígito . Más adelante, la mayoría de los ejercicios involucran al menos dos dígitos. Un ejercicio común en álgebra elemental requiere la factorización de polinomios . Otro ejercicio es completar el cuadrado en un polinomio cuadrático . Un problema verbal artificialmente producido es un género de ejercicios destinado a mantener la relevancia de las matemáticas. Stephen Leacock describió este tipo: ^{[ 1 ]}

El estudiante de aritmética que domina las cuatro primeras reglas de su arte y se desenvuelve con éxito en sumas y fracciones se encuentra ante un sinfín de preguntas conocidas como problemas. Se trata de relatos breves de aventura y esfuerzo, con un final inconcluso, que, si bien guardan un marcado parecido con otros, no carecen de cierto toque romántico.

Alan H. Schoenfeld hizo una distinción entre un ejercicio y un problema matemático : ^{[ 2 ]}

Los estudiantes deben dominar la materia correspondiente, y los ejercicios son apropiados para ello. Pero si los ejercicios de memorización son el único tipo de problemas que ven los estudiantes en sus clases, les estamos haciendo un gran daño.

Abogó por plantear desafíos:

Por "problemas reales"... me refiero a tareas matemáticas que suponen un reto real para el estudiante y en las que este debe esforzarse para obtener una solución.

Marvin Bittinger expresó un sentimiento similar cuando preparó la segunda edición ^{[ 3 ]} de su libro de texto:

En respuesta a los comentarios de los usuarios, los autores han añadido ejercicios que requieren algo más por parte del alumno que la comprensión de los objetivos inmediatos de la lección, pero que no son necesariamente muy difíciles.

La zona de desarrollo próximo para cada estudiante, o grupo de estudiantes, establece ejercicios con un nivel de dificultad que los desafía, pero que no los frustra.

Algunos comentarios en el prefacio de un libro de texto de cálculo ^{[ 4 ]} muestran el lugar central que ocupan los ejercicios en el libro:

Los ejercicios constituyen aproximadamente una cuarta parte del texto, la parte más importante en nuestra opinión. ... Los ejercicios complementarios al final de cada capítulo amplían los demás conjuntos de ejercicios y ofrecen ejercicios acumulativos que requieren habilidades adquiridas en capítulos anteriores.

Este texto incluye "Funciones y gráficas en aplicaciones" (Capítulo 0.6), que consta de catorce páginas de preparación para problemas verbales.

Los autores de un libro sobre cuerpos finitos eligieron libremente sus ejercicios: ^{[ 5 ]}

Para aumentar el atractivo de este libro como texto , hemos incluido ejemplos resueltos en los puntos adecuados del texto y listas de ejercicios para los capítulos 1 a 9. Estos ejercicios abarcan desde problemas rutinarios hasta demostraciones alternativas de teoremas clave, pero también contienen material que va más allá de lo que se trata en el texto.

JC Maxwell explicó cómo el ejercicio facilita el acceso al lenguaje de las matemáticas : ^{[ 6 ]}

Como matemáticos, realizamos ciertas operaciones mentales con los símbolos de número o cantidad y, procediendo paso a paso de operaciones más simples a más complejas, podemos expresar lo mismo de muchas maneras diferentes. La equivalencia de estas formas, si bien es una consecuencia necesaria de axiomas evidentes, no siempre resulta obvia para nosotros; pero el matemático, que mediante una larga práctica ha adquirido familiaridad con muchas de estas formas y se ha convertido en un experto en los procesos que conducen de una a otra, a menudo puede transformar una expresión confusa en otra que explique su significado en un lenguaje más inteligible.

Los instructores de diversas universidades utilizan ejercicios como parte de sus cursos de matemáticas. Al investigar la resolución de problemas en las universidades, Schoenfeld señaló: ^{[ 7 ]}

Cursos avanzados para estudiantes de matemáticas, donde en su mayoría los alumnos trabajaban en conjuntos de problemas recopilados por sus respectivos profesores. En estos cursos, el énfasis estaba en aprender haciendo, sin intentar enseñar heurísticas específicas: los estudiantes resolvían muchos problemas porque (según el modelo didáctico implícito en estos cursos) así es como se llega a dominar las matemáticas.

Estas colecciones de ejercicios pueden ser propiedad del instructor y su institución. Como ejemplo del valor de los conjuntos de ejercicios, consideremos el logro de Toru Kumon y su método Kumon . En su programa, el estudiante no avanza hasta dominar cada nivel de ejercicio. En la Escuela Rusa de Matemáticas , los estudiantes comienzan con problemas de varios pasos desde el primer grado, aprendiendo a partir de resultados previos para avanzar hacia la solución.

En la década de 1960, WH Freeman and Company tradujo del ruso y publicó colecciones de ejercicios matemáticos : The USSR Olympiad Problem Book (1962), ^{[ 8 ]} Problems in Higher Algebra (1965), ^{[ 9 ]} y Problems in Differential Equations (1963). ^{[ 10 ]}

En China, desde la antigüedad se usaban varillas de conteo para representar números, y la aritmética se realizaba con el cálculo de varillas y, posteriormente, con el suanpan . El Libro de los Números y la Computación y los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático incluyen ejercicios que son ejemplos de álgebra lineal . ^{[ 11 ]}

Hacia el año 980, Al-Sijzi escribió su obra Métodos para facilitar la derivación de figuras geométricas , que fue traducida y publicada por Jan Hogendijk en 1996. ^{[ 12 ]}

Una colección de ejercicios en lengua árabe fue traducida al español como Compendio de Algebra de Abenbéder y reseñada en Nature . ^{[ 13 ]}

Robert Recorde publicó por primera vez The Ground of Arts en 1543. ^{[ 14 ]}

En primer lugar, consistía casi exclusivamente en explicaciones con muy pocos ejercicios. Estos últimos cobraron protagonismo en los siglos XVIII y XIX. A modo de comparación, podemos considerar otro éxito de ventas, el Tutor's Assistant de Walkingame , publicado por primera vez en 1751, del cual el 70 % estaba dedicado a ejercicios, frente al 1 % que ofrecía Recorde. La inclusión de ejercicios fue uno de los avances posteriores más significativos en los libros de texto de aritmética y fue paralela al desarrollo de la educación, ya que los profesores comenzaron a utilizar los libros de texto como fuente de ejercicios. Recorde escribía principalmente para quienes se autodidactaban, estudiantes que no contaban con nadie que revisara sus respuestas a los ejercicios.

En Europa antes de 1900, la ciencia de la perspectiva gráfica enmarcaba los ejercicios geométricos. Por ejemplo, en 1719 Brook Taylor escribió en Nuevos principios de perspectiva lineal

[El lector] encontrará mucho más placer al observar cuán extensos son estos principios, aplicándolos a casos particulares que él mismo ideará, mientras se ejercita en este arte,... ^{[ 15 ]}

Taylor continuó

...pues la verdadera y mejor manera de aprender cualquier arte no es ver muchos ejemplos realizados por otra persona, sino primero comprender sus principios y luego familiarizarse con ellos mediante la práctica. ^{[ 16 ]}

El uso de pizarras en las escuelas proporcionó un formato inicial para los ejercicios. El desarrollo de los programas de ejercicios siguió a la introducción de los exámenes escritos y el estudio basado en lápiz y papel.

Felix Klein describió la preparación para el examen de ingreso a la École Polytechnique como ^{[ 17 ].}

...un curso de "matemáticas especiales". Se trata de una concentración extraordinariamente alta de enseñanza de las matemáticas —hasta 16 horas semanales— en la que se estudian a fondo la geometría analítica elemental, la mecánica y, recientemente, también el cálculo infinitesimal, hasta convertirlas en una herramienta sólidamente dominada mediante numerosos ejercicios.

Sylvestre Lacroix fue un maestro y divulgador excepcional. Su libro sobre geometría descriptiva utiliza secciones tituladas "Problema" para ejercitar la comprensión del lector. En 1816 escribió Ensayos sobre la enseñanza en general y sobre la enseñanza de las matemáticas en particular, donde enfatizó la necesidad de ejercitar y evaluar:

El examinador, obligado a corto plazo a multiplicar sus preguntas lo suficiente para cubrir los temas que pregunta, a la mayor parte del material impartido, no puede ser menos exhaustivo, puesto que si, por abreviar, deja de lado las aplicaciones, no ganará nada por las facultades de los alumnos de esta manera. ^{[ 18 ]}

Andrew Warwick ha llamado la atención sobre la cuestión histórica de los ejercicios:

La inclusión de ejercicios y problemas ilustrativos al final de los capítulos en los libros de texto de física matemática es ahora tan común que parece algo normal, pero es importante tener en cuenta que este recurso pedagógico es de origen relativamente reciente y se introdujo en un contexto histórico específico. ^{[ 19 ] : 168}

Al informar sobre los exámenes de matemáticas tripos instituidos en la Universidad de Cambridge , señala:

Este aprendizaje acumulativo y competitivo también se lograba de manera más efectiva mediante tutores privados que utilizaban clases individuales, manuscritos especialmente preparados y ejemplos y problemas graduados, que mediante profesores universitarios que impartían clases a grupos numerosos al ritmo de los alumnos mediocres. ^{[ 19 ] : 79}

Explicando la relación entre examen y ejercicio, escribe:

...hacia la década de 1830, eran los problemas de los exámenes, más que los ejercicios de los libros de texto, los que definían el nivel al que aspiraban los estudiantes ambiciosos... [Los estudiantes de Cambridge] no solo esperaban resolver el más mínimo esbozo de un ejemplo, sino que se les enseñaba a considerar dichos ejercicios como una preparación útil para abordar problemas difíciles en los exámenes. ^{[ 19 ] : 152}

Al explicar cómo se arraigó la reforma, Warwick escribió:

En Cambridge se creía ampliamente que la mejor manera de enseñar matemáticas, incluidos los nuevos métodos analíticos, era mediante ejemplos y problemas prácticos, y, a mediados de la década de 1830, algunos de los primeros jóvenes profesores universitarios que habían recibido formación en análisis superior de esta manera comenzaban a emprender sus propias investigaciones y a ser nombrados examinadores del Tripos. ^{[ 19 ] : 155}

Warwick informa que en Alemania, Franz Ernst Neumann, por la misma época, "desarrolló un sistema común de ejercicios graduados que introdujo a los estudiantes a una jerarquía de habilidades y técnicas matemáticas esenciales, y... comenzó a construir sus propios conjuntos de problemas a través de los cuales sus estudiantes podían aprender su oficio". ^{[ 19 ] : 174} En Rusia, Stephen Timoshenko reformó la instrucción en torno a ejercicios. En 1913 enseñaba resistencia de materiales en la Universidad Estatal de Medios de Comunicación de San Petersburgo . Como escribió en 1968,

En el Instituto no se impartían ejercicios prácticos, y en los exámenes solo se les hacían preguntas teóricas del libro de texto adoptado. Tuve que poner fin a este tipo de enseñanza lo antes posible. Los alumnos comprendieron claramente la situación, se dieron cuenta de la necesidad de una mejor asimilación de la materia y no se opusieron al considerable aumento de su carga de trabajo. La principal dificultad radicaba en los profesores, o más precisamente, en los examinadores, que estaban acostumbrados a basar sus exámenes en el libro. Incluir problemas prácticos en los exámenes les complicaba el trabajo. Eran personas mayores... la única esperanza era incorporar a gente más joven a la docencia. ^{[ 20 ]}

• Algoritmo
• Efecto de ejemplo resuelto

• Tatyana Afanasyeva (1931) Ejercicios de geometría experimental del Instituto Pacífico de Ciencias Matemáticas .
• Vladimir Arnold (2004) Ejercicios para estudiantes de 5 a 15 años en la plataforma IMAGINARY
• James Alfred Ewing (1911) Ejemplos en matemáticas, mecánica, navegación y astronomía náutica, calor y vapor, electricidad, para uso de oficiales subalternos a bordo de Internet Archive .
• Jim Hefferon y otros (2004) Álgebra lineal en Wikibooks