Espacio normal por colección

En matemáticas, un espacio topológico${\displaystyle X}$se denomina normal por colección si para cada familia discreta F _i ( i ∈ I ) de subconjuntos cerrados de${\displaystyle X}$Existe una familia disjunta dos a dos de conjuntos abiertos U _i ( i ∈ I ), tal que F _i ⊆ U _i . Aquí una familia${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de subconjuntos de${\displaystyle X}$se denomina discreto cuando cada punto de${\displaystyle X}$tiene un vecindario que se interseca como máximo con uno de los conjuntos de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Una definición equivalente ^{[ 1 ]} de normal por colección exige que los U _i ( i ∈ I ) anteriores formen ellos mismos una familia discreta, que es a priori más fuerte que disjunta por pares.

Algunos autores suponen que${\displaystyle X}$También es un espacio T ₁ como parte de la definición, pero aquí no se hace tal suposición.

Esta propiedad tiene una fuerza intermedia entre la paracompacidad y la normalidad , y aparece en los teoremas de metrización .

• Un espacio normal por colección es un espacio Hausdorff por colección .
• Un espacio normal por colección es normal .
• Un espacio paracompacto de Hausdorff es normal por colecciones. ^{[ 2 ]} En particular, todo espacio metrizable es normal por colecciones. Nota: La condición de Hausdorff es necesaria aquí, ya que, por ejemplo, un conjunto infinito con la topología cofinita es compacto , por lo tanto paracompacto, y T ₁ , pero ni siquiera es normal.
• Todo espacio normal compacto numerable (y por lo tanto, todo espacio normal compacto) es normal en cuanto a sus conjuntos. Demostración : Se utiliza el hecho de que en un espacio numerable compacto cualquier familia discreta de subconjuntos no vacíos es finita.
• Un conjunto F _σ en un espacio normal por colecciones también es normal por colecciones en la topología de subespacios . En particular, esto se cumple para subconjuntos cerrados.
• ElEl teorema de metrización de Moore establece que unespacio de Mooreesmetrizable.

Un espacio topológico X se denomina hereditariamente normal por colecciones si todo subespacio de X con la topología de subespacio es normal por colecciones.

De la misma manera que los espacios hereditariamente normales pueden caracterizarse en términos de conjuntos separados , existe una caracterización equivalente para los espacios hereditariamente normales por colección. Una familia${\displaystyle F_{i}(i\in I)}$Un conjunto de subconjuntos de X se denomina familia separada si para cada i tenemos${\textstyle F_{i}\cap \operatorname {cl} (\bigcup _{j\neq i}F_{j})=\emptyset }$, donde cl denota el operador de cierre en X , en otras palabras, si la familia de${\displaystyle F_{i}}$es discreta en su unión. Las siguientes condiciones son equivalentes: ^{[ 3 ]}

1. X es hereditariamente normal en cuanto a la colección.
2. Cada subespacio abierto de X es normal en cuanto a su colección.
3. Por cada familia separada${\displaystyle F_{i}}$de subconjuntos de X , existe una familia disjunta dos a dos de conjuntos abiertos${\displaystyle U_{i}(i\in I)}$, de tal manera que${\displaystyle F_{i}\subsetequ U_{i}}$.

• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.