Espacio medible

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio metrizable es un espacio topológico que es homeomorfo a un espacio métrico . Es decir, un espacio topológico${\displaystyle (X,\tau )}$Se dice que es metrizable si existe una métrica.${\displaystyle d:X\times X\to [0,\infty )}$de tal manera que la topología inducida por${\displaystyle d}$es${\displaystyle \tau .}$^{[ 1 ] [ 2 ]} Los teoremas de metrizaciónsonteoremasque dancondiciones suficientespara que un espacio topológico sea metrizable.

Los espacios metrizables heredan todas las propiedades topológicas de los espacios métricos. Por ejemplo, son espacios paracompactos de Hausdorff (y, por lo tanto, normales y de Tychonoff ) y primeramente numerables . Sin embargo, algunas propiedades de la métrica, como la completitud , no se heredan. Esto también se aplica a otras estructuras vinculadas a la métrica. Un espacio uniforme metrizable, por ejemplo, puede tener un conjunto de aplicaciones de contracción diferente al de un espacio métrico al que es homeomorfo.

Uno de los primeros teoremas de metrización ampliamente reconocidos fueTeorema de metrización de Urysohn . Este establece que todoespacio regularcon numerabilidad segunda es metrizable. Así, por ejemplo, todavariedades metrizable. (Nota histórica: La forma del teorema que se muestra aquí fue demostrada porTikhonoven 1926. Lo queUrysohn había demostrado, en un artículo publicado póstumamente en 1925, fue que todo espacio normal de Hausdorff con numerabilidad segundaes metrizable). El recíproco no se cumple: existen espacios métricos que no son con numerabilidad segunda, por ejemplo, un conjunto no numerable dotado de la métrica discreta. ^{[ 3 ]} Elteorema de metrización de Nagata-Smirnov, descrito más adelante, proporciona un teorema más específico donde el recíproco sí se cumple.

Otros teoremas de metrización se derivan como corolarios simples del teorema de Urysohn. Por ejemplo, un espacio compacto de Hausdorff es metrizable si y solo si es segundo-contable.

El teorema de Urysohn se puede reformular como: Un espacio topológico es separable y metrizable si y solo si es regular, de Hausdorff y segundo-contable. El teorema de metrización de Nagata-Smirnov extiende esto al caso no separable. Afirma que un espacio topológico es metrizable si y solo si es regular, de Hausdorff y tiene una base σ-localmente finita. Una base σ-localmente finita es una base que es la unión de una cantidad numerable de colecciones localmente finitas de conjuntos abiertos. Para un teorema estrechamente relacionado, véase el teorema de metrización de Bing .

Los espacios metrizables separables también pueden caracterizarse como aquellos espacios que son homeomorfos a un subespacio del cubo de Hilbert.${\displaystyle \lbrack 0,1\rbrack ^{\mathbb {N} },}$es decir, el producto infinitamente numerable del intervalo unitario (con su topología de subespacio natural a partir de los reales) consigo mismo, dotado de la topología de producto .

Se dice que un espacio es localmente metrizable si cada punto tiene un entorno metrizable . Smirnov demostró que un espacio localmente metrizable lo es si y solo si es Hausdorff y paracompacto . En particular, una variedad es metrizable si y solo si es paracompacta.

El grupo de operadores unitarios${\displaystyle \mathbb {U} ({\mathcal {H}})}$en un espacio de Hilbert separable${\displaystyle {\mathcal {H}}}$dotado de la topología de operador fuerte es metrizable (véase la Proposición II.1 en ^{[ 4 ]} ).

Los espacios no normales no pueden ser metrizables; ejemplos importantes incluyen:

• la topología de Zariski en una variedad algebraica o en el espectro de un anillo , utilizada en geometría algebraica ,
• el espacio vectorial topológico de todas las funciones de la recta real${\displaystyle \mathbb {R} }$a sí mismo, con la topología de convergencia puntual .

La recta real con la topología del límite inferior no es metrizable. La función de distancia usual no es una métrica en este espacio porque la topología que determina es la topología usual, no la del límite inferior. Este espacio es de Hausdorff, paracompacto y primeramente numerable.

• Métrica apolínea – matemático y poeta rumano (1895 - 1961) 
• Teorema de metrización de Bing : caracteriza cuándo un espacio topológico es metrizable. 
• Espacio vectorial topológico metrizable : espacio vectorial topológico cuya topología puede definirse mediante una métrica. 
• Espacio de Moore (topología)
• Teorema de metrización de Nagata-Smirnov : caracteriza cuándo un espacio topológico es metrizable. 
• Uniformizabilidad – Espacio topológico cuya topología es generada por una estructura uniforme Páginas que muestran descripciones breves de objetivos de redirección , la propiedad de un espacio topológico de ser homeomorfo a un espacio uniforme , o equivalentemente la topología definida por una familia de pseudométricas 

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