espacio monótonamente normal

El espacio es T ₁ y hay una función que asigna a cada par ordenado de conjuntos cerrados disjuntos en un conjunto abierto tal que:${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (A,B)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G(A,B)}$

(i) ;${\displaystyle A\subseteq G(A,B)\subseteq {\overline {G(A,B)}}\subseteq X\setminus B}$

(ii) siempre que y .${\displaystyle G(A,B)\subseteq G(A',B')}$${\displaystyle A\subseteq A'}$${\displaystyle B'\subsetequ B}$

La condición (i) indica que es un espacio normal, como lo demuestra la función . La condición (ii) indica que varía de forma monótona, de ahí la terminología monótonamente normal . El operador se denomina operador de normalidad monótona .${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G(A,B)}$${\displaystyle G}$

Siempre se puede optar por satisfacer la propiedad.${\displaystyle G}$

${\displaystyle G(A,B)\cap G(B,A)=\emptyset }$,

reemplazando cada uno por .${\displaystyle G(A,B)}$${\displaystyle G(A,B)\setminus {\overline {G(B,A)}}}$

El espacio es T ₁ y hay una función que asigna a cada par ordenado de conjuntos separados en (es decir, tales que ) un conjunto abierto que satisface las mismas condiciones (i) y (ii) de la Definición 1.${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (A,B)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\cap {\overline {B}}=B\cap {\overline {A}}=\emptyset }$${\displaystyle G(A,B)}$

El espacio es T ₁ y hay una función que asigna a cada par con un conjunto abierto y un conjunto abierto tal que:${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (x,U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle \mu (x,U)}$

(i) ;${\displaystyle x\in \mu (x,U)}$

(ii) si , entonces o .${\displaystyle \mu (x,U)\cap \mu (y,V)\neq \emptyset }$${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle y\in U}$

Dicha función satisface automáticamente${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle x\in \mu (x,U)\subseteq {\overline {\mu (x,U)}}\subseteq U}$.

( Razón : Supongamos que . Dado que es T ₁ , existe un entorno abierto de tal que . Por la condición (ii), , es decir, es un entorno de disjunto de . Por lo tanto .) ^{[ 5 ]}${\displaystyle y\in X\setminus U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\notin V}$${\displaystyle \mu (x,U)\cap \mu (y,V)=\emptyset }$${\displaystyle \mu (y,V)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mu (x,U)}$${\displaystyle y\notin {\overline {\mu (x,U)}}}$

Sea una base para la topología de . El espacio es T ₁ y hay una función que asigna a cada par con y un conjunto abierto que satisface las mismas condiciones (i) y (ii) de la Definición 3.${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (x,U)}$${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle \mu (x,U)}$

El espacio es T ₁ y hay una función que asigna a cada par con un conjunto abierto y un conjunto abierto tal que:${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (x,U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle \mu (x,U)}$

(i) ;${\displaystyle x\in \mu (x,U)}$

(ii) si y son abiertos y , entonces ;${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x\in U\subsetequ V}$${\displaystyle \mu (x,U)\subseteq \mu (x,V)}$

(iii) si y son puntos distintos, entonces .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mu (x,X\setminus \{y\})\cap \mu (y,X\setminus \{x\})=\emptyset }$

Dicha función satisface automáticamente todas las condiciones de la Definición 3.${\displaystyle \mu }$