Cointegración

El primero en introducir y analizar el concepto de regresión espuria —o sin sentido— fue Udny Yule en 1926. ^{[ 2 ]} Antes de la década de 1980, muchos economistas utilizaban regresiones lineales en datos de series temporales no estacionarias, lo que el premio Nobel Clive Granger y Paul Newbold demostraron que era un enfoque peligroso que podía producir correlaciones espurias , ^{[ 3 ]} ya que las técnicas estándar de eliminación de tendencias pueden dar como resultado datos que siguen siendo no estacionarios. ^{[ 4 ]} El artículo de Granger de 1987 con Robert Engle formalizó el enfoque del vector de cointegración y acuñó el término. ^{[ 5 ]}

Para integración${\displaystyle I(1)}$En los procesos, Granger y Newbold demostraron que la eliminación de la tendencia no funciona para eliminar el problema de la correlación espuria, y que la alternativa superior es comprobar la cointegración. Dos series con${\displaystyle I(1)}$Las tendencias solo pueden integrarse si existe una relación genuina entre ambas. Por lo tanto, la metodología estándar actual para las regresiones de series temporales consiste en comprobar la integración de todas las series temporales implicadas. Si existen${\displaystyle I(1)}$Si existen series en ambos lados de la relación de regresión, es posible que las regresiones den resultados engañosos.

La posible presencia de cointegración debe tenerse en cuenta al elegir una técnica para contrastar hipótesis sobre la relación entre dos variables con raíces unitarias (es decir, integradas al menos de orden uno). ^{[ 3 ]} El procedimiento habitual para contrastar hipótesis sobre la relación entre variables no estacionarias consistía en realizar regresiones de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) sobre datos diferenciados. Este método está sesgado si las variables no estacionarias están cointegradas.

Por ejemplo, al realizar una regresión de la serie de consumo de cualquier país (por ejemplo, Fiyi) frente al PNB de un país diferente seleccionado al azar (por ejemplo, Afganistán), se podría obtener una relación de R cuadrado alta (lo que sugiere un alto poder explicativo del PNB de Afganistán sobre el consumo de Fiyi ). Esto se denomina regresión espuria : dos integradas${\displaystyle I(1)}$Las series que no están directamente relacionadas causalmente pueden, no obstante, mostrar una correlación significativa.

Si${\displaystyle x_{t}}$y${\displaystyle y_{t}}$ambos tienen orden de integración d =1 y están cointegrados, entonces una combinación lineal de ellos debe ser estacionaria para algún valor de${\displaystyle \beta }$y${\displaystyle u_{t}}$. En otras palabras:

${\displaystyle y_{t}-\beta x_{t}=u_{t}\,}$

dónde${\displaystyle u_{t}}$está estacionario.

Si${\displaystyle \beta }$Se sabe, podemos probarlo${\displaystyle u_{t}}$para estacionariedad con una prueba de Dickey-Fuller aumentada o una prueba de Phillips-Perron . Si${\displaystyle \beta }$es desconocido, primero debemos estimarlo. Esto se suele hacer utilizando mínimos cuadrados ordinarios (mediante regresión${\displaystyle y_{t}}$en${\displaystyle x_{t}}$y una intercepción). Luego, podemos ejecutar una prueba ADF en${\displaystyle u_{t}}$. Sin embargo, cuando${\displaystyle \beta }$Se estima que los valores críticos de esta prueba ADF no son estándar y aumentan en valor absoluto a medida que se incluyen más regresores. ^{[ 6 ]}

Si se encuentra que las variables están cointegradas, se realiza una regresión de segunda etapa. Esta es una regresión de${\displaystyle \Delta y_{t}}$en los regresores rezagados,${\displaystyle \Delta x_{t}}$y los residuos rezagados de la primera etapa,${\displaystyle {\hat {u}}_{t-1}}$La regresión de la segunda etapa se presenta de la siguiente manera: ${\displaystyle \Delta y_{t}=\Delta x_{t}b+\alpha u_{t-1}+\varepsilon _{t}}$

Si las variables no están cointegradas (si no podemos rechazar la hipótesis nula de no cointegración al realizar la prueba${\displaystyle u_{t}}$), entonces${\displaystyle \alpha =0}$y estimamos un modelo de diferencias:${\displaystyle \Delta y_{t}=\Delta x_{t}b+\varepsilon _{t}}$

La prueba de Johansen es una prueba de cointegración que permite más de una relación de cointegración, a diferencia del método de Engle-Granger, pero esta prueba está sujeta a propiedades asintóticas, es decir, requiere muestras grandes. Si el tamaño de la muestra es demasiado pequeño, los resultados no serán fiables y se debe utilizar el modelo de rezagos distribuidos autorregresivos (ARDL). ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Peter CB Phillips y Sam Ouliaris (1990) muestran que las pruebas de raíz unitaria basadas en residuos aplicadas a los residuos de cointegración estimados no tienen las distribuciones habituales de Dickey-Fuller bajo la hipótesis nula de no cointegración. ^{[ 9 ]} Debido al fenómeno de regresión espuria bajo la hipótesis nula, la distribución de estas pruebas tiene distribuciones asintóticas que dependen de (1) el número de términos de tendencia deterministas y (2) el número de variables con las que se está probando la cointegración. Estas distribuciones se conocen como distribuciones de Phillips-Ouliaris y se han tabulado valores críticos. En muestras finitas, una alternativa superior al uso de estos valores críticos asintóticos es generar valores críticos a partir de simulaciones.

En la práctica, la cointegración se usa a menudo para dos${\displaystyle I(1)}$Si bien es una serie, su aplicación es más general y puede utilizarse para variables integradas de orden superior (para detectar aceleraciones correlacionadas u otros efectos de segunda diferencia). La multicointegración extiende la técnica de cointegración más allá de dos variables y, ocasionalmente, a variables integradas de diferentes órdenes.

Las pruebas de cointegración asumen que el vector de cointegración es constante durante el período de estudio. En realidad, es posible que la relación a largo plazo entre las variables subyacentes cambie (pueden producirse variaciones en el vector de cointegración). Esto puede deberse al progreso tecnológico, las crisis económicas, los cambios en las preferencias y el comportamiento de las personas, las modificaciones en las políticas o el régimen, y los cambios organizativos o institucionales. Esto es especialmente probable si el período de la muestra es extenso. Para tener en cuenta este problema, se han introducido pruebas de cointegración con una ruptura estructural desconocida ^{[ 10 ]} , y también existen pruebas de cointegración con dos rupturas desconocidas ^{[ 11 ] .}

Se han propuesto varios métodos bayesianos para calcular la distribución posterior del número de relaciones de cointegración y las combinaciones lineales de cointegración. ^{[ 12 ]}