Método circular de Hardy-Ramanujan-Littlewood

El círculo en cuestión era inicialmente el círculo unitario en el plano complejo. Suponiendo que el problema se había formulado primero en términos de que para una secuencia de números complejos a _n para n = 0, 1, 2, 3, ... , queremos alguna información asintótica del tipo a _n ~ F ( n ) , donde tenemos alguna razón heurística para adivinar la forma que toma F (un ansatz ), escribimos

${\displaystyle f(z)=\sum a_{n}z^{n}}$

una función generadora de series de potencias . Los casos interesantes son aquellos en los que f tiene un radio de convergencia igual a 1, y suponemos que el problema tal como se plantea ha sido modificado para presentar esta situación.

De esa formulación se deduce directamente del teorema de los residuos que

${\displaystyle I_{n}=\oint _{C}f(z)z^{-(n+1)}\,dz=2\pi ia_{n}}$

para enteros n ≥ 0 , donde C es un círculo de radio r y centrado en 0, para cualquier r con 0 < r < 1 ; en otras palabras,${\displaystyle I_{n}}$es una integral de contorno , integrada sobre el círculo descrito, recorrido una vez en sentido antihorario. Nos gustaría tomar r = 1 directamente, es decir, usar el contorno del círculo unitario. En la formulación del análisis complejo, esto es problemático, ya que los valores de f pueden no estar definidos allí.

El problema que aborda el método del círculo consiste en forzar la cuestión de tomar r = 1 , mediante una buena comprensión de la naturaleza de las singularidades que f exhibe en el círculo unitario. La idea fundamental es el papel que desempeña la sucesión de Farey de números racionales, o equivalentemente, las raíces de la unidad :

${\displaystyle \zeta \ =\exp \left({\frac {2\pi ir}{s}}\right).}$

Aquí el denominador s , suponiendo que ⁠ r / s ⁠ está en términos mínimos , resulta determinar la importancia relativa del comportamiento singular de f típico cerca de ζ .

El método del círculo de Hardy-Littlewood, para la formulación analítica compleja, puede expresarse de esta manera. Las contribuciones a la evaluación de I _n , cuando r → 1 , deben tratarse de dos maneras, tradicionalmente llamadas arcos mayores y arcos menores . Dividimos las raíces de la unidad ζ en dos clases, según si s ≤ N o s > N , donde N es una función de n que podemos elegir convenientemente. La integral I _n se divide en integrales, cada una sobre algún arco del círculo adyacente a ζ , de longitud una función de s (nuevamente, a nuestra discreción). Los arcos forman todo el círculo; la suma de las integrales sobre los arcos mayores debe ser igual a 2 πiF ( n ) (realistamente, esto sucederá hasta un término residual manejable). La suma de las integrales sobre los arcos menores debe reemplazarse por una cota superior , menor en orden que F ( n ) .

En el contexto del problema de Waring, las potencias de las funciones theta son las funciones generadoras de la función suma de cuadrados . Su comportamiento analítico se conoce con mucha más precisión que el de los cubos, por ejemplo.

Como indica el diagrama en falso color, para una función theta , el punto más importante en el círculo límite se encuentra en z = 1 ; seguido de z = −1 , y luego las dos raíces cúbicas complejas de la unidad en las 7 y las 11. Después de eso, las raíces cuartas de la unidad, i y −i , son las más relevantes. Si bien esto no garantiza que el método analítico funcione, sí explica la lógica de usar un criterio de tipo serie de Farey para las raíces de la unidad.

En el caso del problema de Waring, se toma una potencia suficientemente alta de la función generadora para forzar la situación en la que predominan las singularidades, organizadas en las llamadas series singulares . Cuanto menos derrochadoras sean las estimaciones utilizadas en el resto, mejores serán los resultados. Como ha señalado Bryan Birch , el método es inherentemente derrochador. Esto no se aplica al caso de la función de partición, que señalaba la posibilidad de que, en una situación favorable, se pudieran controlar las pérdidas derivadas de las estimaciones.

Más tarde, IM Vinogradov extendió la técnica, reemplazando la formulación de suma exponencial f ( z ) con una serie de Fourier finita , de modo que la integral relevante I _n es un coeficiente de Fourier . Vinogradov aplicó sumas finitas al problema de Waring en 1926, y el método general de suma trigonométrica se conoció como "el método del círculo de Hardy, Littlewood y Ramanujan, en la forma de las sumas trigonométricas de Vinogradov". ^{[ 1 ]} Esencialmente, todo esto es descartar toda la "cola" de la función generadora, lo que permite que la operación de r en la operación límite se establezca directamente al valor 1.