Teoría de Chern-Simons

En la década de 1940 , S.S. Chern y A. Weil estudiaron las propiedades de curvatura global de las variedades lisas M como cohomología de De Rham ( teoría de Chern-Weil ), que es un paso importante en la teoría de las clases características en geometría diferencial . Dado un fibrado principal G plano P en M, existe un homomorfismo único, llamado homomorfismo de Chern-Weil , del álgebra de polinomios invariantes G -adjuntos de g (el álgebra de Lie de G ) a la cohomología.${\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {R} )}$. Si el polinomio invariante es homogéneo, se puede escribir concretamente cualquier k -forma de la conexión cerrada ω como alguna 2 k -forma de la forma de curvatura asociada Ω de ω .

En 1974, SS Chern y JH Simons construyeron concretamente una forma (2 k − 1) df ( ω ) tal que  

${\displaystyle dTf(\omega )=f(\Omega ^{k}),}$

donde T es el homomorfismo de Chern-Weil. Esta forma se llama forma de Chern-Simons . Si df ( ω ) es cerrado, se puede integrar la fórmula anterior.

${\displaystyle Tf(\omega )=\int _{C}f(\Omega ^{k}),}$

donde C es un ciclo (2k − 1 )-dimensional en M. Este invariante se llama invariante de Chern-Simons . Como se señala en la introducción del artículo de Chern-Simons, el invariante de Chern-Simons CS( M ) es el término de frontera que no puede determinarse mediante ninguna formulación combinatoria pura. También puede definirse como  

${\displaystyle \operatorname {CS} (M)=\int _{s(M)}{\tfrac {1}{2}}Tp_{1}\in \mathbb {R} /\mathbb {Z} ,}$

dónde${\displaystyle p_{1}}$es el primer número de Pontryagin y s ( M ) es la sección del fibrado ortogonal normal P . Además, el término de Chern-Simons se describe como el invariante eta definido por Atiyah, Patodi y Singer.

La invariancia de gauge y la invariancia métrica pueden considerarse como la invariancia bajo la acción del grupo de Lie adjunto en la teoría de Chern-Weil. La integral de acción ( integral de trayectoria ) de la teoría de campos en física se considera como la integral lagrangiana de la forma de Chern-Simons y el bucle de Wilson, la holonomía del fibrado vectorial en M. Esto explica por qué la teoría de Chern-Simons está estrechamente relacionada con la teoría de campos topológica .

Las teorías de Chern-Simons pueden definirse en cualquier variedad topológica tridimensional M , con o sin frontera. Dado que estas teorías son de tipo Schwarz, no es necesario introducir ninguna métrica en M.

La teoría de Chern-Simons es una teoría de gauge , lo que significa que una configuración clásica en la teoría de Chern-Simons sobre M con grupo de gauge G se describe mediante un fibrado principal G sobre M. La conexión de este fibrado se caracteriza por una 1-forma de conexión A que toma valores en el álgebra de Lie g del grupo de Lie G. En general, la conexión A solo se define en parches de coordenadas individuales , y los valores de A en diferentes parches están relacionados por aplicaciones conocidas como transformaciones de gauge . Estas se caracterizan por la afirmación de que la derivada covariante , que es la suma del operador de derivada exterior d y la conexión A , se transforma en la representación adjunta del grupo de gauge G. El cuadrado de la derivada covariante consigo misma puede interpretarse como una 2-forma F con valores en g , llamada forma de curvatura o fuerza de campo . También se transforma en la representación adjunta.

La acción S de la teoría de Chern-Simons es proporcional a la integral de la 3-forma de Chern-Simons.

${\displaystyle S={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}{\text{tr}}\,(A\wedge dA+{\tfrac {2}{3}}A\wedge A\wedge A).}$

La constante k se denomina nivel de la teoría. La física clásica de la teoría de Chern-Simons es independiente de la elección del nivel k .

Clásicamente, el sistema se caracteriza por sus ecuaciones de movimiento, que son los extremos de la acción con respecto a las variaciones del campo A. En términos de la curvatura del campo

${\displaystyle F=dA+A\wedge A\,}$

La ecuación de campo es explícita

${\displaystyle 0={\frac {\delta S}{\delta A}}={\frac {k}{2\pi }}F.}$

The classical equations of motion are therefore satisfied if and only if the curvature vanishes everywhere, in which case the connection is said to be flat. Thus the classical solutions to G Chern–Simons theory are the flat connections of principal G-bundles on M. Flat connections are determined entirely by holonomies around noncontractible cycles on the base M. More precisely, they are in one-to-one correspondence with equivalence classes of homomorphisms from the fundamental group of M to the gauge group G up to conjugation.

If M has a boundary N then there is additional data which describes a choice of trivialization of the principal G-bundle on N. Such a choice characterizes a map from N to G. The dynamics of this map is described by the Wess–Zumino–Witten (WZW) model on N at level k.

Las observables de la teoría de Chern-Simons son las funciones de correlación de n puntos de operadores invariantes de gauge. La clase de operadores invariantes de gauge más estudiada son los bucles de Wilson . Un bucle de Wilson es la holonomía alrededor de un bucle en M , trazada en una representación dada R de G. Como nos interesarán los productos de bucles de Wilson, sin pérdida de generalidad podemos restringir nuestra atención a las representaciones irreducibles R.

Más concretamente, dada una representación irreducible R y un bucle K en M , se puede definir el bucle de Wilson.${\displaystyle W_{R}(K)}$por

${\displaystyle W_{R}(K)=\operatorname {Tr} _{R}\,{\mathcal {P}}\exp \left(i\oint _{K}A\right)}$

donde A es la 1-forma de conexión y tomamos el valor principal de Cauchy de la integral de contorno y${\displaystyle {\mathcal {P}}\exp }$es la exponencial ordenada por caminos .

Consideremos un enlace L en M , que es una colección de ℓ bucles disjuntos. Una observable particularmente interesante es la función de correlación de ℓ puntos formada por el producto de los bucles de Wilson alrededor de cada bucle disjunto, trazados en la representación fundamental de G. Se puede formar una función de correlación normalizada dividiendo esta observable por la función de partición Z ( M ), que es simplemente la función de correlación de 0 puntos.

En el caso especial en que M es la 3-esfera, Witten ha demostrado que estas funciones de correlación normalizadas son proporcionales a polinomios de nudos conocidos . Por ejemplo, en la teoría de Chern-Simons G  = U ( N ) en el nivel k, la función de correlación normalizada es, salvo una fase, igual a 

${\displaystyle {\frac {\sin(\pi /(k+N))}{\sin(\pi N/(k+N))}}}$

veces el polinomio HOMFLY . En particular, cuando N  =  2, el polinomio HOMFLY se reduce al polinomio de Jones . En el caso SO( N ), se encuentra una expresión similar con el polinomio de Kauffman .

La ambigüedad de fase refleja el hecho de que, como demostró Witten, las funciones de correlación cuántica no están completamente definidas por los datos clásicos. El número de enlace de un bucle consigo mismo interviene en el cálculo de la función de partición, pero este número no es invariante ante pequeñas deformaciones y, en particular, no es un invariante topológico. Este número puede definirse con precisión si se elige un marco para cada bucle, que consiste en la selección de un vector normal no nulo preferido en cada punto a lo largo del cual se deforma el bucle para calcular su número de autoenlace. Este procedimiento es un ejemplo del procedimiento de regularización por división de puntos introducido por Paul Dirac y Rudolf Peierls en 1934 para definir cantidades aparentemente divergentes en la teoría cuántica de campos .

Sir Michael Atiyah ha demostrado que existe una elección canónica de marco 2, ^{[ 5 ]} que se usa generalmente en la literatura actual y conduce a un número de enlace bien definido. Con el marco canónico, la fase anterior es la exponencial de 2π i /( k  + N ) veces el número de enlace de L consigo mismo. 

Problema (Extensión del polinomio de Jones a variedades tridimensionales generales)

"El polinomio de Jones original se definió para enlaces de orden 1 en la 3-esfera (la 3-bola, el 3-espacio R3). ¿Puedes definir el polinomio de Jones para enlaces de orden 1 en cualquier 3-variedad?"

Consulte la sección 1.1 de este artículo ^{[ 6 ]} para conocer los antecedentes y la historia de este problema. Kauffman presentó una solución en el caso de la variedad producto de la superficie cerrada orientada y el intervalo cerrado, mediante la introducción de nudos virtuales de orden 1. ^{[ 7 ]} El problema permanece abierto en los demás casos. La integral de camino de Witten para el polinomio de Jones se escribe formalmente para enlaces en cualquier 3-variedad compacta, pero el cálculo no se realiza ni siquiera a nivel físico en ningún caso que no sea la 3-esfera (la 3-bola, el 3-espacio R ³ ). Este problema también permanece abierto a nivel físico. En el caso del polinomio de Alexander, este problema está resuelto.

En el contexto de la teoría de cuerdas , una teoría de Chern-Simons U ( N ) sobre una subvariedad lagrangiana orientada M de una variedad de 6 dimensiones X surge como la teoría de campos de cuerdas abiertas que terminan en una D-brana que envuelve a X en la teoría de cuerdas topológicas de modelo A sobre X. La teoría de campos de cuerdas abiertas topológicas de modelo B sobre el volumen de mundo que llena el espacio de una pila de D5-branas es una variante de 6 dimensiones de la teoría de Chern-Simons conocida como teoría de Chern-Simons holomorfa.

Las teorías de Chern-Simons están relacionadas con muchas otras teorías de campos. Por ejemplo, si se considera una teoría de Chern-Simons con grupo de gauge G en una variedad con frontera, entonces todos los grados de libertad propagantes tridimensionales pueden eliminarse mediante gauge, dejando una teoría de campos conformes bidimensional conocida como modelo de Wess-Zumino-Witten G en la frontera. Además, las teorías de Chern-Simons U ( N ) y SO( N ) para N grande se aproximan bien mediante modelos matriciales .

En 1982, S. Deser , R. Jackiw y S. Templeton propusieron la teoría de la gravedad de Chern-Simons en tres dimensiones, en la que la acción de Einstein-Hilbert en la teoría de la gravedad se modifica añadiendo el término de Chern-Simons. ( Deser, Jackiw y Templeton (1982) )

En 2003, R. Jackiw y SY Pi extendieron esta teoría a cuatro dimensiones ( Jackiw y Pi (2003) ) y la teoría de la gravedad de Chern-Simons tiene algunos efectos considerables no solo en la física fundamental sino también en la teoría de la materia condensada y la astronomía.

El caso de cuatro dimensiones es muy análogo al caso de tres dimensiones. En tres dimensiones, el término gravitacional de Chern-Simons es

${\displaystyle \operatorname {CS} (\Gamma )={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int d^{3}x\varepsilon ^{ijk}{\biggl (}\Gamma _{iq}^{p}\partial _{j}\Gamma _{kp}^{q}+{\frac {2}{3}}\Gamma _{iq}^{p}\Gamma _{jr}^{q}\Gamma _{kp}^{r}{\biggr )}.}$

Esta variación da como resultado el tensor de Cotton.

${\displaystyle =-{\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}{\bigl (}\varepsilon ^{mij}D_{i}R_{j}^{n}+\varepsilon ^{nij}D_{i}R_{j}^{m}).}$

Luego, se realiza la modificación de Chern-Simons de la gravedad tridimensional agregando el tensor de Cotton anterior a la ecuación de campo, que se puede obtener como la solución de vacío variando la acción de Einstein-Hilbert.

En 2013, Kenneth A. Intriligator y Nathan Seiberg resolvieron estas teorías de gauge de Chern-Simons tridimensionales y sus fases utilizando monopolos que portaban grados de libertad adicionales. El índice de Witten de los numerosos vacíos descubiertos se calculó compactificando el espacio mediante la activación de parámetros de masa y, posteriormente, calculando el índice. En algunos vacíos, se calculó que la supersimetría estaba rota. Estos monopolos estaban relacionados con vórtices de materia condensada . ( Intriligator y Seiberg (2013) )

La teoría de la materia de Chern-Simons N  = 6 es la dual holográfica de la teoría M en ${\displaystyle AdS_{4}\times S_{7}}$.

En 2013, Kevin Costello definió una teoría estrechamente relacionada definida en una variedad de cuatro dimensiones que consiste en el producto de un "plano topológico" bidimensional y una curva compleja bidimensional (o de una dimensión compleja). ^{[ 8 ]} Posteriormente estudió la teoría con más detalle junto con Witten y Masahito Yamazaki, ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} demostrando cómo la teoría de gauge podría estar relacionada con muchas nociones en la teoría de sistemas integrables , incluidos los modelos de red exactamente solubles (como el modelo de seis vértices o la cadena de espín XXZ ), las teorías de campos cuánticos integrables (como el modelo de Gross-Neveu , el modelo quiral principal y los modelos sigma de coset espacial simétrico ), la ecuación de Yang-Baxter y grupos cuánticos como el Yangiano que describen simetrías que sustentan la integrabilidad de los sistemas mencionados.

La acción en el colector de 4 velocidades${\displaystyle M=\Sigma \times C}$dónde${\displaystyle \Sigma }$es una variedad bidimensional y${\displaystyle C}$es una curva compleja es $${\displaystyle S=\int _{M}\omega \wedge CS(A)}$$ dónde${\displaystyle \omega }$es una forma meromorfa de un solo elemento en${\displaystyle C}$.

Si se añade materia a una teoría de gauge de Chern-Simons, en general deja de ser topológica. Sin embargo, si se añaden n fermiones de Majorana , debido a la anomalía de paridad , al integrarlos se obtiene una teoría pura de Chern-Simons con una renormalización de un lazo del nivel de Chern-Simons por − n /2; en otras palabras, la teoría de nivel k con n fermiones es equivalente a la teoría de nivel k − n /2 sin fermiones.