Modelo quiral

En física nuclear , el modelo quiral , introducido por Feza Gürsey en 1960, es un modelo fenomenológico que describe interacciones efectivas de mesones en el límite quiral (donde las masas de los quarks tienden a cero), pero sin mencionar necesariamente a los quarks en absoluto. Es un modelo sigma no lineal con el espacio homogéneo principal de un grupo de Lie como su variedad objetivo . Cuando se introdujo originalmente el modelo, este grupo de Lie era el SU( N ) , donde N es el número de sabores de quarks . La métrica de Riemann de la variedad objetivo está dada por una constante positiva multiplicada por la forma de Killing que actúa sobre la forma de Maurer-Cartan de SU( N ). ${\displaystyle G}$

La simetría global interna de este modelo es , las copias izquierda y derecha, respectivamente; donde la copia izquierda actúa como la acción izquierda sobre el espacio objetivo, y la copia derecha actúa como la acción derecha . Fenomenológicamente, la copia izquierda representa rotaciones de sabor entre los quarks zurdos, mientras que la copia derecha describe rotaciones entre los quarks diestros, mientras que estos, L y R, son completamente independientes entre sí. Las piezas axiales de estas simetrías se rompen espontáneamente de modo que los campos escalares correspondientes son los bosones de Nambu−Goldstone necesarios . ${\displaystyle G_{L}\times G_{R}}$

El modelo se estudió posteriormente en el caso bidimensional como un sistema integrable , en particular una teoría de campos integrable. Su integrabilidad fue demostrada por Faddeev y Reshetikhin en 1982 a través del método de dispersión inversa cuántica . El modelo quiral principal bidimensional exhibe características de integrabilidad tales como una formulación de par Lax /curvatura cero, un número infinito de simetrías y una simetría de grupo cuántico subyacente (en este caso, simetría yangiana ).

Este modelo admite solitones topológicos llamados skyrmions .

Las desviaciones de la simetría quiral exacta se abordan en la teoría de perturbación quiral .

En una variedad (considerada como el espacio-tiempo ) M y una elección de grupo de Lie compacto G , el contenido del cuerpo es una función . Esto define un cuerpo relacionado , un cuerpo vectorial valuado (en realidad, cuerpo covectorial) que es la forma Maurer–Cartan . El modelo quiral principal se define por la densidad lagrangiana donde es un acoplamiento adimensional. En lenguaje geométrico diferencial , el cuerpo es una sección de un fibrado principal con fibras isomorfas al espacio homogéneo principal para M (de ahí que esto defina el modelo quiral principal ). ${\displaystyle U:M\rightarrow G}$${\displaystyle j_{\mu }=U^{-1}\partial _{\mu }U}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {\kappa }{2}}\mathrm {tr} (\partial _{\mu }U^{-1}\partial ^{\mu }U)=-{\frac {\kappa }{2}}\mathrm {tr} (j_{\mu }j^{\mu }),}$$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \pi :P\rightarrow M}$

El modelo quiral de Gürsey (1960; véase también Gell-Mann y Lévy) se considera ahora una teoría eficaz de QCD con dos quarks ligeros, u y d . El lagrangiano de QCD es aproximadamente invariante bajo rotaciones de sabor global independientes de los campos de quarks zurdos y diestros.

${\displaystyle {\begin{cases}q_{L}\mapsto q_{L}'=Lq_{L}=\exp {\left(-i{\boldsymbol {\theta }}_{L}\cdot {\tfrac {\boldsymbol {\tau }}{2}}\right)}q_{L}\\q_{R}\mapsto q_{R}'=Rq_{R}=\exp {\left(-i{\boldsymbol {\theta }}_{R}\cdot {\tfrac {\boldsymbol {\tau }}{2}}\right)}q_{R}\end{cases}}}$

donde τ denota las matrices de Pauli en el espacio de sabor y θ _L , θ _R son los ángulos de rotación correspondientes.

El grupo de simetría correspondiente es el grupo quiral, controlado por las seis corrientes conservadas. ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}}$

${\displaystyle L_{\mu }^{i}={\bar {q}}_{L}\gamma _{\mu }{\tfrac {\tau ^{i}}{2}}q_{L},\qquad R_{\mu }^{i}={\bar {q}}_{R}\gamma _{\mu }{\tfrac {\tau ^{i}}{2}}q_{R},}$

que puede expresarse igualmente bien en términos de corrientes vectoriales y axiales-vectoriales

${\displaystyle V_{\mu }^{i}=L_{\mu }^{i}+R_{\mu }^{i},\qquad A_{\mu }^{i}=R_{\mu }^{i}-L_{\mu }^{i}.}$

Las cargas conservadas correspondientes generan el álgebra del grupo quiral,

${\displaystyle \left[Q_{I}^{i},Q_{I}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{I}^{k}\qquad \qquad \left[Q_{L}^{i},Q_{R}^{j}\right]=0,}$

con I=L,R , o, equivalentemente,

${\displaystyle \left[Q_{V}^{i},Q_{V}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{V}^{k},\qquad \left[Q_{A}^{i},Q_{A}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{V}^{k},\qquad \left[Q_{V}^{i},Q_{A}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{A}^{k}.}$

La aplicación de estas relaciones de conmutación a las reacciones hadrónicas dominó los cálculos algebraicos actuales a principios de la década de 1970.

A nivel de hadrones, mesones pseudoescalares, el ámbito del modelo quiral, el grupo quiral se descompone espontáneamente en , por el vacío de QCD . Es decir, se realiza de forma no lineal , en el modo Nambu–Goldstone : ¡Los Q _V aniquilan el vacío, pero los Q _A no! Esto se visualiza muy bien a través de un argumento geométrico basado en el hecho de que el álgebra de Lie de es isomorfa a la de SO(4). El subgrupo ininterrumpido, realizado en el modo lineal de Wigner–Weyl, es que es localmente isomorfo a SU(2) (V: isospín). ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{V}}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}}$${\displaystyle {\text{SO}}(3)\subset {\text{SO}}(4)}$

Para construir una realización no lineal de SO(4), la representación que describe rotaciones de cuatro dimensiones de un vector

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}\pi _{1}\\\pi _{2}\\\pi _{3}\\\sigma \end{pmatrix}},}$

para una rotación infinitesimal parametrizada por seis ángulos

${\displaystyle \left\{\theta _{i}^{V,A}\right\},\qquad i=1,2,3,}$

viene dado por

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}{\stackrel {SO(4)}{\longrightarrow }}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {\pi }}'}\\\sigma '\end{pmatrix}}=\left[\mathbf {1} _{4}+\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{V}V_{i}+\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{A}A_{i}\right]{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{V}V_{i}={\begin{pmatrix}0&-\theta _{3}^{V}&\theta _{2}^{V}&0\\\theta _{3}^{V}&0&-\theta _{1}^{V}&0\\-\theta _{2}^{V}&\theta _{1}^{V}&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\qquad \qquad \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{A}A_{i}={\begin{pmatrix}0&0&0&\theta _{1}^{A}\\0&0&0&\theta _{2}^{A}\\0&0&0&\theta _{3}^{A}\\-\theta _{1}^{A}&-\theta _{2}^{A}&-\theta _{3}^{A}&0\end{pmatrix}}.}$

Las cuatro cantidades reales ( π , σ ) definen el multiplete quiral no trivial más pequeño y representan el contenido de campo del modelo sigma lineal.

Para pasar de la realización lineal anterior de SO(4) a la no lineal, observamos que, de hecho, solo tres de los cuatro componentes de ( π , σ ) son independientes con respecto a rotaciones de cuatro dimensiones. Estos tres componentes independientes corresponden a coordenadas en una hiperesfera S ³ , donde π y σ están sujetos a la restricción

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}^{2}+\sigma ^{2}=F^{2},}$

con F a ( desintegración de piones ) constante de dimensión masa.

Al utilizar esto para eliminar σ se obtienen las siguientes propiedades de transformación de π bajo SO(4),

${\displaystyle {\begin{cases}\theta ^{V}:{\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}'={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}^{V}\times {\boldsymbol {\pi }}\\\theta ^{A}:{\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}'={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}^{A}{\sqrt {F^{2}-{\boldsymbol {\pi }}^{2}}}\end{cases}}\qquad {\boldsymbol {\theta }}^{V,A}\equiv \left\{\theta _{i}^{V,A}\right\},\qquad i=1,2,3.}$

Los términos no lineales (desplazamiento de π ) en el lado derecho de la segunda ecuación sustentan la realización no lineal de SO(4). El grupo quiral se realiza de forma no lineal en el triplete de piones, que, sin embargo, todavía se transforman linealmente bajo rotaciones de isospín parametrizadas a través de los ángulos Por el contrario, representan los "desplazamientos" no lineales (ruptura espontánea). ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}\simeq {\text{SO}}(4)}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{V}\simeq {\text{SO}}(3)}$${\displaystyle \{{\boldsymbol {\theta }}_{V}\}.}$${\displaystyle \{{\boldsymbol {\theta }}_{A}\}}$

A través del mapa de espinor , estas rotaciones de cuatro dimensiones de ( π , σ ) también se pueden escribir convenientemente utilizando la notación matricial 2×2 introduciendo la matriz unitaria

${\displaystyle U={\frac {1}{F}}\left(\sigma \mathbf {1} _{2}+i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\right),}$

y requiriendo que las propiedades de transformación de U bajo rotaciones quirales sean

${\displaystyle U\longrightarrow U'=LUR^{\dagger },}$

dónde${\displaystyle \theta _{L}=\theta _{V}-\theta _{A},\theta _{R}=\theta _{V}+\theta _{A}.}$

La transición a la realización no lineal se produce de la siguiente manera:

${\displaystyle U={\frac {1}{F}}\left({\sqrt {F^{2}-{\boldsymbol {\pi }}^{2}}}\mathbf {1} _{2}+i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\right),\qquad {\mathcal {L}}_{\pi }^{(2)}={\frac {F^{2}}{4}}\langle \partial _{\mu }U\partial ^{\mu }U^{\dagger }\rangle ,}$

donde denota la traza en el espacio de sabor. Este es un modelo sigma no lineal . ${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$

Los términos que involucran o no son independientes y pueden llevarse a esta forma mediante integración parcial. La constante F ² /4 se elige de tal manera que el lagrangiano coincida con el término libre habitual para campos escalares sin masa cuando se escribe en términos de los piones, ${\displaystyle \textstyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }U}$${\displaystyle \textstyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }U^{\dagger }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\pi }^{(2)}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }{\boldsymbol {\pi }}\cdot \partial ^{\mu }{\boldsymbol {\pi }}+{\frac {1}{2F^{2}}}\left(\partial _{\mu }{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\pi }}\right)^{2}+{\mathcal {O}}(\pi ^{6}).}$

Una parametrización alternativa, equivalente (Gürsey, 1960)

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}~{\frac {\sin(|\pi /F|)}{|\pi /F|}},}$

produce una expresión más simple para U ,

${\displaystyle U=\mathbf {1} \cos |\pi /F|+i{\widehat {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\sin |\pi /F|=e^{i~{\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\pi }}/F}.}$

Nótese la transformada π reparametrizada bajo

${\displaystyle LUR^{\dagger }=\exp(i{\boldsymbol {\theta }}_{A}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2-i{\boldsymbol {\theta }}_{V}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2)\exp(i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/F)\exp(i{\boldsymbol {\theta }}_{A}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2+i{\boldsymbol {\theta }}_{V}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2)}$

Así pues, de manera manifiestamente idéntica a lo anterior bajo isorrotaciones, V ; y de manera similar a lo anterior, como

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}\longrightarrow {\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}_{A}F+\cdots ={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}_{A}F(|\pi /F|\cot |\pi /F|)}$

bajo las simetrías rotas, A , los desplazamientos. Esta expresión más simple se generaliza fácilmente (Cronin, 1967) a N quarks ligeros, por lo que${\displaystyle \textstyle {\text{SU}}(N)_{L}\times {\text{SU}}(N)_{R}/{\text{SU}}(N)_{V}.}$

Introducido por Richard S. Ward , ^[3] el modelo quiral integrable o modelo de Ward se describe en términos de un campo de valores matricial y está dado por la ecuación diferencial parcial Tiene una formulación lagrangiana con el término cinético esperado junto con un término que se asemeja a un término de Wess–Zumino–Witten . También tiene una formulación que es formalmente idéntica a las ecuaciones de Bogomolny pero con la firma de Lorentz . La relación entre estas formulaciones se puede encontrar en Dunajski (2010). ${\displaystyle J:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow U(n)}$$${\displaystyle \partial _{t}(J^{-1}J_{t})-\partial _{x}(J^{-1}J_{x})-\partial _{y}(J^{-1}J_{y})-[J^{-1}J_{t},J^{-1}J_{y}]=0.}$$

Se conocen muchas soluciones exactas. ^{[4] [5] [6]}

Aquí se toma como variedad subyacente una superficie de Riemann , en particular el cilindro o plano , convencionalmente dadas coordenadas reales , donde en el cilindro hay una coordenada periódica. Para la aplicación a la teoría de cuerdas , este cilindro es la capa del mundo barrida por la cuerda cerrada. ^[7]${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \tau ,\sigma }$${\displaystyle \sigma \sim \sigma +2\pi }$

Las simetrías globales actúan como simetrías internas en el campo de valores grupales como y . Las corrientes conservadas correspondientes del teorema de Noether son Las ecuaciones de movimiento resultan ser equivalentes a la conservación de las corrientes, Las corrientes satisfacen además la condición de planitud y, por lo tanto, las ecuaciones de movimiento se pueden formular completamente en términos de las corrientes. ${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle \rho _{L}(g')g(x)=g'g(x)}$${\displaystyle \rho _{R}(g)g(x)=g(x)g'}$$${\displaystyle L_{\alpha }=g^{-1}\partial _{\alpha }g,R_{\alpha }=\partial _{\alpha }gg^{-1}.}$$$${\displaystyle \partial _{\alpha }L^{\alpha }=\partial _{\alpha }R^{\alpha }=0{\text{ or in coordinate-free form }}d*L=d*R=0.}$$$${\displaystyle dL+{\frac {1}{2}}[L,L]=0{\text{ or in coordinates }}\partial _{\alpha }L_{\beta }-\partial _{\beta }L_{\alpha }+[L_{\alpha },L_{\beta }]=0,}$$

Considere la hoja del mundo en coordenadas de cono de luz . Los componentes de la matriz Lax apropiada son El requisito de que la condición de curvatura cero en para todos es equivalente a la conservación de la corriente y la planitud de la corriente , es decir, las ecuaciones de movimiento del modelo quiral principal (PCM). ${\displaystyle x^{\pm }=t\pm x}$$${\displaystyle L_{\pm }(x^{+},x^{-};\lambda )={\frac {j_{\pm }}{1\mp \lambda }}.}$$${\displaystyle L_{\pm }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle j=(j_{+},j_{-})}$

• Modelo sigma
• Quiralidad (física)

• Gürsey, F. (1960). "Sobre las simetrías de interacciones fuertes y débiles". Il Nuovo Cimento . 16 (2): 230–240. Bibcode :1960NCim...16..230G. doi :10.1007/BF02860276. S2CID  122270607.
• Gürsey, Feza (1961). "Sobre la estructura y paridad de las corrientes de interacción débil". Anales de Física . 12 (1). Elsevier BV: 91–117. Bibcode :1961AnPhy..12...91G. doi :10.1016/0003-4916(61)90147-6. ISSN  0003-4916.
• Coleman, S.; Wess, J.; Zumino, B. (1969). "Estructura de los lagrangianos fenomenológicos. I". Physical Review . 177 (5): 2239. Bibcode :1969PhRv..177.2239C. doi :10.1103/PhysRev.177.2239.; Callan, C.; Coleman, S.; Wess, J.; Zumino, B. (1969). "Estructura de los lagrangianos fenomenológicos. II". Physical Review . 177 (5): 2247. Bibcode :1969PhRv..177.2247C. doi :10.1103/PhysRev.177.2247.
• Georgi, H. (1984, 2009). Interacciones débiles y teoría moderna de partículas (Dover Books on Physics) ISBN 0486469042 en línea . 
• Fry, MP (2000). "Límite quiral del determinante fermiónico bidimensional en un campo magnético general". Journal of Mathematical Physics . 41 (4): 1691–1710. arXiv : hep-th/9911131 . Código Bibliográfico :2000JMP....41.1691F. doi :10.1063/1.533204. S2CID  14302881.
• Gell-Mann, M.; Lévy, M. (1960), "La corriente vectorial axial en la desintegración beta", Il Nuovo Cimento , 16 (4), Sociedad Italiana de Física: 705–726, Bibcode :1960NCim...16..705G, doi :10.1007/BF02859738, ISSN  1827-6121, S2CID  122945049
• Cronin, Jeremiah A. (25 de septiembre de 1967). "Modelo fenomenológico de interacciones fuertes y débiles en ChiralU(3)⊗U(3)". Physical Review . 161 (5). American Physical Society (APS): 1483–1494. Bibcode :1967PhRv..161.1483C. doi :10.1103/physrev.161.1483. ISSN  0031-899X.