Grupo abeliano elemental

En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , un grupo abeliano elemental es un grupo abeliano en el que todos los elementos distintos de la identidad tienen el mismo orden . Este orden común debe ser un número primo , y los grupos abelianos elementales en los que el orden común es p son un tipo particular de p -grupo . ^{[1] [2]} Un grupo para el que p = 2 (es decir, un 2-grupo abeliano elemental) a veces se denomina grupo booleano . ^[3]

Todo p -grupo abeliano elemental es un espacio vectorial sobre el cuerpo primo con p elementos, y a la inversa, todo espacio vectorial de este tipo es un grupo abeliano elemental. Por la clasificación de los grupos abelianos finitamente generados , o por el hecho de que todo espacio vectorial tiene una base , todo grupo abeliano elemental finito debe ser de la forma ( Z / p Z ) ⁿ para n un entero no negativo (a veces llamado el rango del grupo ). Aquí, Z / p Z denota el grupo cíclico de orden p (o equivalentemente los enteros módulo p ), y la notación superíndice significa el producto directo n -vez de los grupos . ^[2]

En general, un p -grupo abeliano elemental (posiblemente infinito) es una suma directa de grupos cíclicos de orden p . ^[4] (Nótese que en el caso finito el producto directo y la suma directa coinciden, pero esto no es así en el caso infinito).

• El grupo abeliano elemental ( Z /2 Z ) ² tiene cuatro elementos: {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} . La adición se realiza componente por componente, tomando el resultado módulo 2. Por ejemplo, (1,0) + (1,1) = (0,1) . De hecho, este es el cuatrigrupo de Klein .
• En el grupo generado por la diferencia simétrica en un conjunto (no necesariamente finito), cada elemento tiene orden 2. Cualquier grupo de este tipo es necesariamente abeliano porque, dado que cada elemento es su propio inverso, xy = ( xy ) ⁻¹ = y ⁻¹ x ⁻¹ = yx . Un grupo de este tipo (también llamado grupo booleano) generaliza el ejemplo de los cuatro grupos de Klein a un número arbitrario de componentes.
• ( Z / p Z ) ⁿ se genera a partir de n elementos, y n es el menor número posible de generadores. En particular, el conjunto { e ₁ , ..., e _n } , donde e _i tiene un 1 en el componente i y 0 en el resto, es un conjunto generador mínimo.
• Cada grupo abeliano elemental finito tiene una presentación finita bastante simple .

${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{n}\cong \langle e_{1},\ldots ,e_{n}\mid e_{i}^{p}=1,\ e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}\rangle }$

Supóngase que V ( Z / p Z ) ⁿ es un grupo abeliano elemental finito. Como Z / p Z F _p , el cuerpo finito de p elementos, tenemos V = ( Z / p Z ) ⁿ F _p ⁿ , por lo tanto V puede considerarse como un espacio vectorial n -dimensional sobre el cuerpo F _p . Nótese que un grupo abeliano elemental no tiene en general una base distinguida: la elección del isomorfismo V ( Z / p Z ) ⁿ corresponde a una elección de base. ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle {\overset {\cong }{\to }}}$

Para el lector observador, puede parecer que F _p ⁿ tiene más estructura que el grupo V , en particular que tiene multiplicación escalar además de adición (vector/grupo). Sin embargo, V como grupo abeliano tiene una estructura de módulo Z única donde la acción de Z corresponde a la adición repetida, y esta estructura de módulo Z es consistente con la multiplicación escalar de F _p . Es decir, c ⋅ g = g  +  g  + ... +  g ( c veces) donde c en F _p (considerado como un entero con 0 ≤  c  <  p ) da a V una estructura de módulo F _p natural .

Como un espacio vectorial de dimensión finita V tiene una base { e ₁ , ..., e _n } como se describe en los ejemplos, si tomamos { v ₁ , ..., v _n } como cualesquiera n elementos de V , entonces por álgebra lineal tenemos que la aplicación T ( e _i ) = v _i se extiende únicamente a una transformación lineal de V . Cada uno de estos T puede considerarse como un homomorfismo de grupo de V a V (un endomorfismo ) y, de la misma manera, cualquier endomorfismo de V puede considerarse como una transformación lineal de V como un espacio vectorial.

Si restringimos nuestra atención a los automorfismos de V tenemos Aut( V ) = { T  : V → V | ker T = 0 } = GL _n ( F _p ), el grupo lineal general de matrices invertibles n  ×  n en F _p .

El grupo de automorfismos GL( V ) = GL _n ( F _p ) actúa transitivamente sobre V \ {0} (como es cierto para cualquier espacio vectorial). De hecho, esto caracteriza a los grupos abelianos elementales entre todos los grupos finitos: si G es un grupo finito con identidad e tal que Aut( G ) actúa transitivamente sobre G \ {e} , entonces G es abeliano elemental. (Demostración: si Aut( G ) actúa transitivamente sobre G \ {e} , entonces todos los elementos no identidad de G tienen el mismo orden (necesariamente primo). Entonces G es un p -grupo. Se deduce que G tiene un centro no trivial , que es necesariamente invariante bajo todos los automorfismos, y por lo tanto es igual a todo G .)

También puede ser de interés ir más allá de los componentes de orden primo al orden de potencia prima. Considérese un grupo abeliano elemental G como de tipo ( p , p ,..., p ) para algún primo p . Un grupo homocíclico ^[5] (de rango n ) es un grupo abeliano de tipo ( m , m ,..., m ) es decir, el producto directo de n grupos cíclicos isomorfos de orden m , de los cuales los grupos de tipo ( p ^k , p ^k ,..., p ^k ) son un caso especial.

Los grupos extra especiales son extensiones de grupos abelianos elementales mediante un grupo cíclico de orden p, y son análogos al grupo de Heisenberg .

• Grupo elemental
• Espacio de Hamming