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Articulo de referencia

Grupo abeliano generado finitamente

En álgebra abstracta , un grupo abeliano ( GRAMO , + ) {\displaystyle (G,+)} Se dice que es finitamente generado si existen un número finito de elementos. incógnita 1 , … , incó...

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En álgebra abstracta , un grupo abeliano(GRAMO,+){\displaystyle (G,+)}Se dice que es finitamente generado si existen un número finito de elementos.incógnita1,…,incógnitas{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}enGRAMO{\displaystyle G}de tal manera que cadaincógnita{\displaystyle x}enGRAMO{\displaystyle G}puede escribirse en la formaincógnita=norte1incógnita1+norte2incógnita2+⋯+nortesincógnitas{\displaystyle x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\cdots +n_{s}x_{s}}para algunos números enterosnorte1,…,nortes{\displaystyle n_{1},\dots ,n_{s}}. En este caso, decimos que el conjunto{incógnita1,…,incógnitas}{\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{s}\}}es un conjunto generador deGRAMO{\displaystyle G}o queincógnita1,…,incógnitas{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}generarGRAMO{\displaystyle G}Por lo tanto, los grupos abelianos generados de forma finita pueden considerarse una generalización de los grupos cíclicos.

Todo grupo abeliano finito es finitamente generado. Los grupos abelianos finitamente generados pueden clasificarse completamente.

Ejemplos

  • Los números enteros ,(Z,+){\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,+\right)}, son un grupo abeliano finitamente generado.
  • Los enteros módulonorte{\displaystyle n},(Z/norteZ,+){\displaystyle \left(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+\right)}, son un grupo abeliano finito (y por lo tanto finitamente generado).
  • Cualquier suma directa de un número finito de grupos abelianos finitamente generados es, de nuevo, un grupo abeliano finitamente generado.
  • Cada retículo forma un grupo abeliano libre finitamente generado .

No hay otros ejemplos (salvo isomorfismo). En particular, el grupo(Q,+){\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,+\right)}de números racionales no es finitamente generado: [ 1 ] siincógnita1,…,incógnitanorte{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}son números racionales, elige un número naturalk{\displaystyle k}coprimo con todos los denominadores; entonces1/k{\displaystyle 1/k}no puede ser generado porincógnita1,…,incógnitanorte{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}El grupo(Q∗,⋅){\displaystyle \left(\mathbb {Q} ^{*},\cdot \right)}El conjunto de números racionales distintos de cero tampoco es finitamente generado. Los grupos de números reales bajo la suma(R,+){\displaystyle \left(\mathbb {R} ,+\right)}y números reales distintos de cero bajo la multiplicación(R∗,⋅){\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{*},\cdot \right)}tampoco son generados de forma finita. [ 1 ] [ 2 ]

Clasificación

El teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados puede enunciarse de dos maneras, generalizando las dos formulaciones del teorema fundamental de los grupos abelianos finitos . El teorema, en ambas formulaciones, se generaliza a su vez al teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal , el cual admite generalizaciones adicionales.

Descomposición primaria

La formulación de descomposición primaria establece que todo grupo abeliano finitamente generado G es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos primarios y grupos cíclicos infinitos . Un grupo cíclico primario es aquel cuyo orden es una potencia de un número primo . Es decir, todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a un grupo de la forma

Znorte⊕Z/q1Z⊕⋯⊕Z/qtZ,{\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} /q_{1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /q_{t}\mathbb {Z} ,}

donde n ≥ 0 es el rango , y los números q 1 , ..., q t son potencias de números primos (no necesariamente distintos). En particular, G es finito si y solo si n = 0. Los valores de n , q 1 , ..., q t están determinados de forma única por G ( salvo que se reordenen los índices) , es decir, hay una y solo una forma de representar G como tal descomposición.

La demostración de esta afirmación utiliza el teorema de la base para grupos abelianos finitos : todo grupo abeliano finito es una suma directa de grupos cíclicos primarios . Denotemos el subgrupo de torsión de G como tG . Entonces, G/tG es un grupo abeliano sin torsión y, por lo tanto , es abeliano libre. tG es un sumando directo de G , lo que significa que existe un subgrupo F de G.GRAMO=tGRAMO⊕F{\displaystyle G=tG\oplus F}, dóndeF≅GRAMO/tGRAMO{\displaystyle F\cong G/tG}Entonces, F también es un grupo abeliano libre. Dado que tG es finitamente generado y cada elemento de tG tiene orden finito, tG es finito. Por el teorema de la base para grupos abelianos finitos, tG puede escribirse como suma directa de grupos cíclicos primarios.

Descomposición en factores invariantes

También podemos escribir cualquier grupo abeliano finitamente generado G como una suma directa de la forma

Znorte⊕Z/k1Z⊕⋯⊕Z/ktúZ,{\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} /{k_{1}}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /{k_{u}}\mathbb {Z} ,}

donde k 1 divide a k 2 , que divide a k 3 y así sucesivamente hasta k u . Nuevamente, el rango n y los factores invariantes k 1 , ..., k u están determinados unívocamente por G (aquí con un orden único). El rango y la secuencia de factores invariantes determinan el grupo salvo isomorfismo.

Equivalencia

Estas afirmaciones son equivalentes como resultado del teorema chino del resto , lo que implica queZjk≅Zj⊕Zk{\displaystyle \mathbb {Z} _{jk}\cong \mathbb {Z} _{j}\oplus \mathbb {Z} _{k}}si y solo si j y k son coprimos .

Historia

La historia y la atribución del teorema fundamental se complican por el hecho de que fue demostrado cuando la teoría de grupos no estaba bien establecida, y por lo tanto, las primeras formas, si bien son esencialmente el resultado y la demostración modernos, a menudo se presentan para un caso específico. Brevemente, una primera forma del caso finito fue demostrada por Gauss en 1801, el caso finito fue demostrado por Kronecker en 1870, y Frobenius y Stickelberger lo enunciaron en términos de teoría de grupos en 1878. El caso finitamente presentado se resuelve mediante la forma normal de Smith , y por lo tanto frecuentemente se le atribuye a ( Smith 1861 ) , [ 3 ] aunque el caso finitamente generado a veces se le atribuye a Poincaré en 1900; los detalles se presentan a continuación.

El teórico de grupos László Fuchs afirma: [ 3 ]

En lo que respecta al teorema fundamental sobre grupos abelianos finitos, no está claro hasta qué punto hay que remontarse en el tiempo para rastrear su origen. ... Se necesitó mucho tiempo para formular y demostrar el teorema fundamental en su forma actual...

El teorema fundamental para grupos abelianos finitos fue demostrado por Leopold Kronecker en 1870, utilizando una demostración de teoría de grupos, [ 4 ] aunque sin enunciarlo en términos de teoría de grupos; [ 5 ] una presentación moderna de la demostración de Kronecker se da en ( Stillwell 2012 ) , 5.2.2 Teorema de Kronecker, 176–177 . Esto generalizó un resultado anterior de Carl Friedrich Gauss de Disquisitiones Arithmeticae (1801), que clasificaba las formas cuadráticas; Kronecker citó este resultado de Gauss. El teorema fue enunciado y demostrado en el lenguaje de grupos por Ferdinand Georg Frobenius y Ludwig Stickelberger en 1878. [ 6 ] [ 7 ] Otra formulación en teoría de grupos fue dada por el alumno de Kronecker, Eugen Netto, en 1882. [ 8 ] [ 9 ]

El teorema fundamental para grupos abelianos finitamente presentados fue demostrado por Henry John Stephen Smith en ( Smith 1861 ) , [ 3 ] como matrices enteras que corresponden a presentaciones finitas de grupos abelianos (esto se generaliza a módulos finitamente presentados sobre un dominio ideal principal), y la forma normal de Smith corresponde a la clasificación de grupos abelianos finitamente presentados.

El teorema fundamental para grupos abelianos finitamente generados fue demostrado por Henri Poincaré en 1900, utilizando una demostración matricial (que se generaliza a dominios de ideales principales). Esto se realizó en el contexto del cálculo de la homología de un complejo, específicamente el número de Betti y los coeficientes de torsión de una dimensión del complejo, donde el número de Betti corresponde al rango de la parte libre y los coeficientes de torsión corresponden a la parte de torsión. [ 4 ]

La demostración de Kronecker fue generalizada a grupos abelianos finitamente generados por Emmy Noether en 1926. [ 4 ]

Corolarios

Dicho de otro modo, el teorema fundamental establece que un grupo abeliano finitamente generado es la suma directa de un grupo abeliano libre de rango finito y un grupo abeliano finito, siendo cada uno de ellos único salvo isomorfismo. El grupo abeliano finito es simplemente el subgrupo de torsión de G. El rango de G se define como el rango de la parte libre de torsión de G ; este es simplemente el número n en las fórmulas anteriores.

Un corolario del teorema fundamental es que todo grupo abeliano libre de torsión finitamente generado es abeliano libre. La condición de finitamente generado es esencial aquí:Q{\displaystyle \mathbb {Q} }es libre de torsión pero no abeliano libre.

Todo subgrupo y grupo cociente de un grupo abeliano finitamente generado es también finitamente generado y abeliano. Los grupos abelianos finitamente generados, junto con los homomorfismos de grupo , forman una categoría abeliana que es una subcategoría de Serre de la categoría de grupos abelianos .

Grupos abelianos generados de forma no finita

Nótese que no todo grupo abeliano de rango finito es finitamente generado; el grupo de rango 1Q{\displaystyle \mathbb {Q} }es un contraejemplo, y el grupo de rango 0 dado por una suma directa de infinitas copias numerables deZ2{\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}es otro.

Véase también

Notas

  1. 1 2 Silverman y Tate (1992), pág. 102
  2. ↑ de la Harpe (2000), pág. 46
  3. 1 2 3 Fuchs, László (2015) [Publicado originalmente en 1958]. Grupos abelianos . Springer. pág . 85. ISBN  978-3-319-19422-6.
  4. 1 2 3 Stillwell, John (2012). "5.2 El teorema de estructura para grupos abelianos finitamente generados". Topología clásica y teoría combinatoria de grupos . pág. 175 . 
  5. ↑ Wussing, Hans (2007) [1969]. Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes. Ein Beitrag zur Entstehungsgeschichte der abstrakten Gruppentheorie [ La génesis del concepto de grupo abstracto: una contribución a la historia del origen de la teoría de grupos abstractos. ] . pag. 67 . 
  6. ↑ G. Frobenius, L. Stickelberger, Ueber Gruppen von vertauschbaren Elementen, J. reine u. ángulo. Matemáticas, 86 (1878), 217-262.
  7. ↑ Wussing (2007), págs. 234–235
  8. ↑ Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra , Eugen Netto, 1882
  9. ↑ Wussing (2007), págs. 234–235

Referencias