aproximación diofántica

Un número difícilmente aproximable es un x para el cual existe una constante positiva c tal que para todo p / q racional tenemos

${\displaystyle \left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\frac {c}{q^{2}}}\ .}$

Los números que se aproximan mal son precisamente aquellos con cocientes parciales acotados . ^{[ 6 ]}

De forma equivalente, un número es difícilmente aproximable si y solo si su constante de Markov es finita o, equivalentemente, su fracción continua simple está acotada.

Un número racional${\textstyle \alpha ={\frac {a}{b}}}$puede ser obviamente y perfectamente aproximado por${\textstyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}}={\frac {i\,a}{i\,b}}}$para cada entero positivo i .

Si${\textstyle {\frac {p}{q}}\not =\alpha ={\frac {a}{b}}\,,}$tenemos

${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\geq {\frac {1}{bq}},}$

porque${\displaystyle |aq-bp|}$es un número entero positivo y, por lo tanto, no es menor que 1. Por consiguiente, la precisión de la aproximación es mala en relación con los números irracionales (véanse las secciones siguientes).

Cabe señalar que la demostración anterior utiliza una variante del principio del palomar : un entero no negativo distinto de cero no es menor que 1. Esta observación, aparentemente trivial, se utiliza en casi todas las demostraciones de cotas inferiores para aproximaciones diofánticas, incluso en las más sofisticadas.

En resumen, un número racional se aproxima perfectamente a sí mismo, pero se aproxima mal a cualquier otro número racional.

En la década de 1840, Joseph Liouville obtuvo la primera cota inferior para la aproximación de números algebraicos : si x es un número algebraico irracional de grado n sobre los números racionales, entonces existe una constante c ( x ) > 0 tal que

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n}}}}$

se cumple para todos los enteros p y q donde q > 0 .

Este resultado le permitió producir el primer ejemplo comprobado de un número trascendental, la constante de Liouville.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots \,,}$

lo cual no satisface el teorema de Liouville, cualquiera que sea el grado n que se elija.

Esta conexión entre las aproximaciones diofánticas y la teoría de números trascendentales perdura hasta nuestros días. Muchas de las técnicas de demostración son comunes a ambas áreas.

Durante más de un siglo, se realizaron numerosos esfuerzos para mejorar el teorema de Liouville: cada mejora de la cota nos permite demostrar que más números son trascendentales. Las principales mejoras se deben a Axel Thue ( 1909 ) , Siegel ( 1921 ) , Freeman Dyson ( 1947 ) y Klaus Roth ( 1955 ) , que finalmente condujeron al teorema de Thue-Siegel-Roth: Si x es un número algebraico irracional y ε > 0 , entonces existe un número real positivo c ( x , ε ) tal que    

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon }}}}$

se cumple para todo entero p y q tal que q > 0 .

En cierto modo, este resultado es óptimo, ya que el teorema sería falso si ε  =  0. Esto es una consecuencia inmediata de las cotas superiores que se describen a continuación.

Posteriormente, Wolfgang M. Schmidt generalizó esto al caso de aproximaciones simultáneas, demostrando que: Si x ₁ , ..., x _n son números algebraicos tales que 1, x ₁ , ..., x _n son linealmente independientes sobre los números racionales y ε es cualquier número real positivo dado, entonces solo hay un número finito de n -tuplas racionales ( p ₁ / q , ..., p _n / q ) tales que

${\displaystyle \left|x_{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|<q^{-(1+1/n+\varepsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.}$

Nuevamente, este resultado es óptimo en el sentido de que no se puede eliminar ε del exponente.

Todos los límites inferiores anteriores no son efectivos , en el sentido de que las demostraciones no proporcionan ningún método para calcular la constante implícita en los enunciados. Esto significa que no se pueden utilizar los resultados ni sus demostraciones para obtener límites para el tamaño de las soluciones de ecuaciones diofánticas relacionadas. Sin embargo, estas técnicas y resultados a menudo pueden utilizarse para acotar el número de soluciones de dichas ecuaciones.

Sin embargo, un refinamiento del teorema de Baker por Feldman proporciona una cota efectiva: si x es un número algebraico de grado n sobre los números racionales, entonces existen constantes efectivamente computables c ( x )  >  0 y 0  < d ( x ) < n tales que   

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{|q|^{d(x)}}}}$

Se cumple para todos los números enteros racionales.

Sin embargo, como ocurre con todas las versiones efectivas del teorema de Baker, las constantes d y 1/ c son tan grandes que este resultado efectivo no se puede utilizar en la práctica.

El primer resultado importante sobre cotas superiores para aproximaciones diofánticas es el teorema de aproximación de Dirichlet , que implica que, para cada número irracional α , existen infinitas fracciones.${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$de tal manera que

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}\,.}$

Esto implica inmediatamente que no se puede suprimir la ε en el enunciado del teorema de Thue-Siegel-Roth.

Adolf Hurwitz (1891) ^{[ 7 ]} reforzó este resultado, demostrando que para cada número irracional α , existen infinitas fracciones.${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$de tal manera que

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}\,.}$

Por lo tanto,${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {5}}\,q^{2}}}}$es una cota superior para las aproximaciones diofánticas de cualquier número irracional. La constante en este resultado no puede mejorarse aún más sin excluir algunos números irracionales (véase más adelante).

Émile Borel (1903) ^{[ 8 ]} demostró que, de hecho, dado cualquier número irracional α y dados tres convergentes consecutivos de α , al menos uno debe satisfacer la desigualdad dada en el Teorema de Hurwitz.

Definición : Dos números reales${\displaystyle x,y}$se denominan equivalentes ^{[ 9 ] [ 10 ]} si hay números enteros${\displaystyle a,b,c,d\;}$con${\displaystyle ad-bc=\pm 1\;}$de tal manera que:

${\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}\,.}$

Así pues, la equivalencia se define mediante una transformación de Möbius entera sobre los números reales, o mediante un miembro del grupo modular.${\displaystyle {\text{SL}}_{2}^{\pm }(\mathbb {Z} )}$, el conjunto de matrices invertibles de 2 × 2 sobre los números enteros. Cada número racional es equivalente a 0; por lo tanto, los números racionales son una clase de equivalencia para esta relación.

La equivalencia puede leerse en la representación de fracción continua regular, como lo muestra el siguiente teorema de Serret :

Teorema : Dos números irracionales x e y son equivalentes si y solo si existen dos enteros positivos h y k tales que las representaciones de fracciones continuas regulares de x e y

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=[u_{0};u_{1},u_{2},\ldots ]\,,\\y&=[v_{0};v_{1},v_{2},\ldots ]\,,\end{aligned}}}$

satisfacer

${\displaystyle u_{h+i}=v_{k+i}}$

para cada entero no negativo i . ^{[ 11 ]}

Por lo tanto, salvo una secuencia inicial finita, los números equivalentes tienen la misma representación en fracción continua.

Los números equivalentes son aproximables en el mismo grado, en el sentido de que tienen la misma constante de Markov .

Como se dijo anteriormente, la constante en el teorema de Borel no puede mejorarse, como lo demostró Adolf Hurwitz en 1891. ^{[ 12 ]} Sea${\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$sea ​​la proporción áurea . Entonces, para cualquier constante real c con${\displaystyle c>{\sqrt {5}}\;}$Solo existe un número finito de números racionales p / q tales que

${\displaystyle \left|\phi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{c\,q^{2}}}.}$

Por lo tanto, una mejora solo se puede lograr si los números que son equivalentes a${\displaystyle \phi }$quedan excluidos. Más precisamente: ^{[ 13 ] [ 14 ]} Para cada número irracional${\displaystyle \alpha }$, lo cual no es equivalente a${\displaystyle \phi }$, hay infinitas fracciones${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$de tal manera que

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {8}}q^{2}}}.}$

Mediante exclusiones sucesivas: a continuación se deben excluir los números equivalentes a${\displaystyle {\sqrt {2}}}$— de cada vez más clases de equivalencia, el límite inferior puede ampliarse aún más. Los valores que pueden generarse de esta manera son los números de Lagrange , que forman parte del espectro de Lagrange . Convergen al número 3 y están relacionados con los números de Markov . ^{[ 15 ] [ 16 ]}

Un ejemplo importante de una función${\displaystyle \psi }$La función a la que se puede aplicar el teorema de Khinchin es la función${\displaystyle \psi _{c}(q)=q^{-c}}$donde c  >  1 es un número real. Para esta función, la serie relevante converge y, por lo tanto, el teorema de Khinchin nos dice que casi todos los puntos no son${\displaystyle \psi _{c}}$-aproximable. Por lo tanto, el conjunto de números que son${\displaystyle \psi _{c}}$-aproximable forma un subconjunto de la recta real de medida de Lebesgue cero. El teorema de Jarník-Besicovitch, debido a V. Jarník y A. S. Besicovitch , establece que la dimensión de Hausdorff de este conjunto es igual a${\displaystyle 1/c}$. ^{[ 19 ]} En particular, el conjunto de números que son${\displaystyle \psi _{c}}$-aproximado para algunos${\displaystyle c>1}$(conocido como el conjunto de números muy bien aproximables ) tiene dimensión de Hausdorff uno, mientras que el conjunto de números que son${\displaystyle \psi _{c}}$-aproximado para todos${\displaystyle c>1}$(conocido como el conjunto de números de Liouville ) tiene dimensión de Hausdorff cero.

Otro ejemplo importante es la función${\displaystyle \psi _{\varepsilon }(q)=\varepsilon q^{-1}}$, dónde${\displaystyle \varepsilon >0}$es un número real. Para esta función, la serie relevante diverge y, por lo tanto, el teorema de Khinchin nos dice que casi todo número es${\displaystyle \psi _{\varepsilon }}$-aproximable. Esto es lo mismo que decir que todo número de este tipo es bien aproximable , donde un número se llama bien aproximable si no es mal aproximable. Por lo tanto, un análogo apropiado del teorema de Jarník-Besicovitch debería referirse a la dimensión de Hausdorff del conjunto de números mal aproximables. Y, de hecho, V. Jarník demostró que la dimensión de Hausdorff de este conjunto es igual a uno. Este resultado fue mejorado por WM Schmidt , quien demostró que el conjunto de números mal aproximables es incompresible , lo que significa que si${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$es una secuencia de mapas bi-Lipschitz , entonces el conjunto de números x para los cuales${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots }$Todos son muy aproximados y tienen dimensión de Hausdorff uno. Schmidt también generalizó el teorema de Jarník a dimensiones superiores, un logro significativo porque el argumento de Jarník es esencialmente unidimensional, dependiendo del aparato de fracciones continuas.