Cocientes parciales restringidos

En matemáticas , y más particularmente en la teoría analítica de fracciones regulares continuas , se dice que una fracción regular continua infinita x es restringida , o está compuesta de cocientes parciales restringidos , si la secuencia de denominadores de sus cocientes parciales está acotada; es decir,

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{a_{4}+\ddots }}}}}}}}=a_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{K}}}{\frac {1}{a_{i}}},\,}$

y existe algún entero positivo M tal que todos los denominadores parciales ( ^enteros ) a i _son menores o iguales que M. ^{[ 1 ]} [ ^{2 ]}

Una fracción continua periódica regular consta de un bloque inicial finito de denominadores parciales seguido de un bloque repetitivo; si

${\displaystyle \zeta =[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},{\overline {a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m}}}],\,}$

Entonces, ζ es un número irracional cuadrático , y su representación como fracción continua regular es periódica. Claramente, cualquier fracción continua periódica regular consta de cocientes parciales restringidos, ya que ninguno de los denominadores parciales puede ser mayor que el mayor de los _valores entre _{0 y} k _{+ m} . Históricamente, los matemáticos estudiaron fracciones continuas periódicas antes de considerar el concepto más general de cocientes parciales restringidos.

El conjunto de Cantor es un conjunto C de medida cero a partir del cual se puede construir un intervalo completo de números reales mediante una simple suma ; es decir, cualquier número real del intervalo se puede expresar como la suma de exactamente dos elementos del conjunto C. La demostración habitual de la existencia del conjunto de Cantor se basa en la idea de hacer un "agujero" en el centro de un intervalo, luego hacer agujeros en los subintervalos restantes y repetir este proceso hasta el infinito .

El proceso de agregar un cociente parcial más a una fracción continua finita es en muchos sentidos análogo a este proceso de "perforar un agujero" en un intervalo de números reales. El tamaño del "agujero" es inversamente proporcional al siguiente denominador parcial elegido : si el siguiente denominador parcial es 1, la brecha entre convergentes sucesivos se maximiza. Para precisar los siguientes teoremas, consideraremos CF( M ), el conjunto de fracciones continuas restringidas cuyos valores se encuentran en el intervalo abierto (0,  1) y cuyos denominadores parciales están acotados por un entero positivo M , es decir,

${\displaystyle \mathrm {CF} (M)=\{[0;a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]:1\leq a_{i}\leq M\}.\,}$

Al plantear un argumento paralelo al utilizado para construir el conjunto de Cantor, se pueden obtener dos resultados interesantes.

• Si M ≥ 4, entonces cualquier número real en un intervalo puede construirse como la suma de dos elementos de CF( M ), donde el intervalo está dado por

${\displaystyle (2\times [0;{\overline {M,1}}],2\times [0;{\overline {1,M}}])=\left({\frac {1}{M}}\left[{\sqrt {M^{2}+4M}}-M\right],{\sqrt {M^{2}+4M}}-M\right).}$

• Un argumento sencillo demuestra que${\displaystyle [0;{\overline {1,M}}]-[0;{\overline {M,1}}]\geq {\frac {1}{2}}}$se cumple cuando M  ≥  4, y esto a su vez implica que si M  ≥  4, todo número real puede representarse en la forma n  +  CF ₁  +  CF ₂ , donde n es un entero, y CF ₁ y CF ₂ son elementos de CF( M ). ^{[ 3 ]}

Zaremba ha conjeturado la existencia de una constante absoluta A , tal que los racionales con cocientes parciales restringidos por A contienen al menos uno para cada denominador (entero positivo). La elección A = 5 es compatible con la evidencia numérica. ^{[ 4 ]} Otras conjeturas reducen ese valor, en el caso de todos los denominadores suficientemente grandes. ^{[ 5 ]} Jean Bourgain y Alex Kontorovich han demostrado que A puede elegirse de manera que la conclusión se cumpla para un conjunto de denominadores de densidad 1. ^{[ 6 ]}

• espectro de Markov