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Articulo de referencia

Conjetura del corredor solitario

Problema sin resolver en matemáticas ¿Es cierta la conjetura del corredor solitario para cualquier número de corredores? Más problemas sin resolver en matemáticas En teoría de n...

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Problema sin resolver en matemáticas
¿Es cierta la conjetura del corredor solitario para cualquier número de corredores?
Más problemas sin resolver en matemáticas

En teoría de números , específicamente en el estudio de la aproximación diofántica , la conjetura del corredor solitario es una conjetura sobre el comportamiento a largo plazo de los corredores en una pista circular. Afirma quenorte{\displaystyle n}Los corredores en una pista de longitud unitaria, con velocidades constantes y distintas entre sí, se sentirán solos en algún momento, al menos.1/norte{\displaystyle 1/n}unidades de distancia de todos los demás.

La conjetura fue planteada por primera vez en 1967 por el matemático alemán Jörg Wills , en términos puramente teóricos de números, e independientemente como un problema de obstrucción de la vista en 1974 por Thomas W. Cusick; su formulación ilustrativa y ahora popular data de 1998. Se sabe que la conjetura es verdadera para10{\displaystyle 10}corredores o menos, pero el caso general sigue sin resolverse. Las implicaciones de la conjetura incluyen soluciones a problemas de obstrucción de la vista y límites en propiedades, relacionadas con números cromáticos , de ciertos grafos.

Formulación

Animación que ilustra el caso de 6 corredores.
Ejemplo de un caso de la conjetura con n = 6 corredores. Los corredores de color negro aún no se han sentido solos. Los arcos blancos, de longitud 2/ n , indican que un corredor se siente solo actualmente. Los corredores de color amarillo sí se han sentido solos.

Considerarnorte{\displaystyle n}corredores en una pista circular de longitud unitaria. En el momento inicialt=0{\displaystyle t=0}Todos los corredores están en la misma posición y comienzan a correr; las velocidades de los corredores son constantes, todas distintas y pueden ser negativas. Se dice que un corredor está solo en ese momento.t{\displaystyle t}si están a una distancia (medida a lo largo del círculo) de al menos1/norte{\displaystyle 1/n}de todos los demás corredores. La conjetura del corredor solitario afirma que cada corredor se siente solo en algún momento, independientemente de la velocidad que elija. [ 1 ]

Esta formulación visual de la conjetura se publicó por primera vez en 1998. [ 2 ] En muchas formulaciones, incluida la original de Jörg M. Wills, [ 3 ] [ 4 ] se hacen algunas simplificaciones. El corredor que se supone que está solo está estacionario en 0 (con velocidad cero) y, por lo tanto,norte−1{\displaystyle n-1}Se consideran otros corredores con velocidades distintas de cero. [ a ] ​​Los corredores en movimiento pueden restringirse aún más a velocidades positivas solamente: por simetría, los corredores con velocidadesincógnita{\displaystyle x}y−incógnita{\displaystyle -x}tienen la misma distancia de 0 en todo momento, y por lo tanto son esencialmente equivalentes. Demostrar el resultado para cualquier corredor estacionario implica el resultado general para todos los corredores, ya que se pueden hacer estacionarios restando su velocidad de la de todos los corredores, dejándolos con velocidad cero. La conjetura entonces afirma que, para cualquier colecciónv1,v2,…,vnorte−1{\displaystyle v_{1},v_{2},\dots,v_{n-1}}de velocidades positivas y distintas, existe algún tiempot>0{\displaystyle t>0}de tal manera que 1norte≤frac⁡(vit)≤1−1norte(i=1,…,norte−1),{\displaystyle {\frac {1}{n}}\leq \operatorname {frac} (v_{i}t)\leq 1-{\frac {1}{n}}\qquad (i=1,\dots ,n-1),} dóndefrac⁡(incógnita){\displaystyle \operatorname {frac} (x)}denota la parte fraccionaria deincógnita{\displaystyle x}. [ 6 ] Interpretado visualmente, si los corredores corren en sentido contrario a las agujas del reloj, el término medio de la desigualdad es la distancia desde el origen hasta eli{\displaystyle i}el corredor en ese momentot{\displaystyle t}, medido en sentido contrario a las agujas del reloj. [ b ] Esta convención se utiliza para el resto de este artículo.

La conjetura de Wills fue parte de su trabajo en aproximación diofántica , [ 7 ] el estudio de cuán cerca pueden aproximarse las fracciones a los números irracionales: el teorema de aproximación de Dirichlet (~1840) dice que para cada número realt{\displaystyle t}y entero positivonorte{\displaystyle n}, existe un número enteroq∈{1,2,…,norte−1}{\displaystyle q\in \{1,2,\dots ,n-1\}}de tal manera que la distancia detq{\displaystyle tq}al entero más cercano es≤1norte{\displaystyle \leq {\frac {1}{n}}}Wills preguntó si este resultado se puede mejorar si se permite reemplazar{1,2,…,norte−1}{\displaystyle \{1,2,\dots ,n-1\}}con otro conjunto denorte−1{\displaystyle n-1}enteros positivos, y la conjetura del corredor solitario afirma que no puede.

Trascendencia

Una serie de cuadrados rojos y una línea verde, con pendiente 2, que tocan los cuadrados por poco.
Los cuadrados de lado 1/3 colocados en cada coordenada semi-entera obstruyen cualquier rayo que parta del origen (excepto aquellos que se encuentran sobre un eje). Cualquier lado de menor longitud dejará pequeños huecos.

Suponerdo{\displaystyle C}es un n - hipercubo de longitud de lados{\displaystyle s}en un espacio n -dimensional (norte≥2{\displaystyle n\geq 2}). Coloque una copia centrada dedo{\displaystyle C}en cada punto con coordenadas semienteras . Un rayo desde el origen puede no alcanzar todas las copias dedo{\displaystyle C}, en cuyo caso hay una brecha ( infinitesimal ), o se ha alcanzado al menos una copia. Cusick (1973) hizo una formulación independiente de la conjetura del corredor solitario en este contexto; la conjetura implica que hay brechas si y solo sis<(norte−1)/(norte+1){\displaystyle s<(n-1)/(n+1)}, ignorando los rayos que se encuentran en uno de los hiperplanos de coordenadas. [ 8 ] Por ejemplo, colocados en un espacio bidimensional, los cuadrados más pequeños que1/3{\displaystyle 1/3}en longitud de lado dejará huecos, como se muestra, y cuadrados con longitud de lado1/3{\displaystyle 1/3}o mayor obstruirá todo rayo que no sea paralelo a un eje. La conjetura generaliza esta observación a cualquier número de dimensiones.

En teoría de grafos , un grafo de distanciasGRAMO{\displaystyle G}en el conjunto de los enteros y utilizando algún conjunto finitoD{\displaystyle D}de distancias enteras positivas, tiene una arista entreincógnita,y{\displaystyle x,y}si y solo si|incógnita−y|∈D{\displaystyle |xy|\in D}. Por ejemplo, siD={2}{\displaystyle D=\{2\}}, cada par consecutivo de enteros pares, y de enteros impares, es adyacente, formando todos juntos dos componentes conexas . Una coloración k - regular de los enteros con pasoλ∈R{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }asigna a cada enteronorte{\displaystyle n}uno dek{\displaystyle k}colores basados ​​en el residuo de⌊λnorte⌋{\displaystyle \lfloor \lambda n\rfloor }módulok{\displaystyle k}. Por ejemplo, siλ=0,5{\displaystyle \lambda =0.5}, el color se repite cada2k{\displaystyle 2k}números enteros y cada par de números enteros2metro,2metro+1{\displaystyle 2m,2m+1}son del mismo color. Tomandok=|D|+1{\displaystyle k=|D|+1}La conjetura del corredor solitario implicaGRAMO{\displaystyle G}admite una coloración k -regular adecuada (es decir, cada nodo está coloreado de manera diferente a sus adyacencias) para algún valor de paso. [ 9 ] Por ejemplo,(k,λ)=(2,0,5){\displaystyle (k,\lambda)=(2,0.5)}genera una coloración adecuada en el gráfico de distancias generado porD={2}{\displaystyle D=\{2\}}. (k{\displaystyle k}se conoce como el número cromático regular deD{\displaystyle D}.)

Dado un grafo dirigidoGRAMO{\displaystyle G}, un flujo cero en ninguna parteGRAMO{\displaystyle G}asocia un valor positivoF(mi){\displaystyle f(e)}a cada bordemi{\displaystyle e}, de tal manera que el flujo de salida de cada nodo sea igual al flujo de entrada. La conjetura del corredor solitario implica que, siGRAMO{\displaystyle G}tiene un flujo cero en ninguna parte con como máximok{\displaystyle k}valores enteros distintos, entoncesGRAMO{\displaystyle G}tiene un flujo de cero en ninguna parte con valores solo en{1,2,…,k}{\displaystyle \{1,2,\ldots ,k\}}(posiblemente después de invertir las direcciones de algunos arcos deGRAMO{\displaystyle G}). Este resultado fue comprobado parak≥5{\displaystyle k\geq 5}con métodos separados, y dado que los casos más pequeños de la conjetura del corredor solitario están resueltos, el teorema completo queda demostrado. [ 10 ]

Resultados conocidos

Para una configuración dada de corredores, seaδ{\displaystyle \delta }denotan la menor de las distancias máximas de soledad de los corredores y la brecha de soledad [ 11 ]δnorte{\displaystyle \delta _{n}}denota el mínimoδ{\displaystyle \delta }en todas las configuraciones connorte{\displaystyle n}corredores. En esta notación, la conjetura afirma queδnorte≥1/norte{\displaystyle \delta _{n}\geq 1/n}, un límite que, si es correcto, no se puede mejorar. Por ejemplo, si el corredor que se siente solo está parado y aceleravi=i{\displaystyle v_{i}=i}Si son elegidos, entonces no hay ningún momento en el que sean estrictamente más que1/norte{\displaystyle 1/n}unidades de distancia de todos los demás, lo que demuestra queδnorte≤1/norte{\displaystyle \delta _{n}\leq 1/n}. [ c ] Alternativamente, esta conclusión puede derivarse rápidamente del teorema de aproximación de Dirichlet . Paranorte≥2{\displaystyle n\geq 2}un límite inferior simpleδnorte≥1/(2norte−2){\displaystyle \delta _{n}\geq 1/(2n-2)}puede obtenerse mediante un argumento de probabilidad. [ 12 ]

La conjetura se puede reducir a restringir las velocidades de los corredores a enteros positivos: Si la conjetura es verdadera paranorte{\displaystyle n}corredores con velocidades enteras, es cierto paranorte{\displaystyle n}corredores con velocidades reales. [ 13 ]

Límites más estrictos

Ligeras mejoras en el límite inferior1/(2norte−2){\displaystyle 1/(2n-2)}son conocidos. Chen y Cusick (1999) demostraron quenorte≥5{\displaystyle n\geq 5}que si2norte−5{\displaystyle 2n-5}es primo, entoncesδnorte≥12norte−5{\displaystyle \delta _ {n}\geq {\tfrac {1}{2n-5}}}y si4norte−9{\displaystyle 4n-9}es primo, entoncesδnorte≥24norte−9{\displaystyle \delta _ {n}\geq {\tfrac {2}{4n-9}}}. Perarnau y Serra (2016) demostraron incondicionalmente para suficientemente grandesnorte{\displaystyle n}eso δnorte≥12norte−4+o(1).{\displaystyle \delta _ {n}\geq {\frac {1}{2n-4+o(1)}}.}

Tao (2018) demostró el mejor resultado asintótico conocido hasta la fecha: para valores suficientemente grandesnorte{\displaystyle n}, δnorte≥12norte−2+doregistro⁡nortenorte2(registro⁡registro⁡norte)2{\displaystyle \delta _{n}\geq {\frac {1}{2n-2}}+{\frac {c\log n}{n^{2}(\log \log n)^{2}}}} por alguna constantedo>0{\displaystyle c>0}También demostró que la conjetura completa está implícita al probar la conjetura para velocidades enteras de tamañonorteO(norte2){\displaystyle n^{O(n^{2})}}(véase la notación de la gran O ). Malikiosis, Santos y Schymura (2025) lo redujeron aún más anorte2norte{\displaystyle n^{2n}}. [ 14 ] Esta implicación permite teóricamente probar la conjetura para un dadonorte{\displaystyle n}comprobando un conjunto finito de casos, pero el número de casos crece demasiado rápido para ser práctico. [ 15 ]

La conjetura se ha demostrado bajo supuestos específicos sobre las velocidades de los corredores. Para valores suficientemente grandesnorte{\displaystyle n}, es cierto si vi+1vi≥1+22registro⁡(norte−1)norte−1(i=1,…,norte−2).{\displaystyle {\frac {v_{i+1}}{v_{i}}}\geq 1+{\frac {22\log(n-1)}{n-1}}\qquad (i=1,\dots,n-2).} En otras palabras, la conjetura es cierta para valores grandes.norte{\displaystyle n}si las velocidades crecen lo suficientemente rápido. Si la constante 22 se reemplaza por 33, entonces la conjetura se cumple paranorte≥16343{\displaystyle n\geq 16343}. [ 16 ] Un resultado similar para suficientemente grandenorte{\displaystyle n}solo requiere una suposición similar parai=⌊norte/22⌋−1,…,norte−2{\displaystyle i=\lfloor n/22\rfloor -1,\dots ,n-2}. [ 15 ] Incondicionalmente ennorte{\displaystyle n}La conjetura es verdadera sivi+1/vi≥2{\displaystyle v_{i+1}/v_{i}\geq 2}a pesar dei{\displaystyle i}. [ 17 ]

Para n específico

La conjetura es cierta paranorte≤10{\displaystyle n\leq 10}corredores. Las pruebas paranorte≤3{\displaystyle n\leq 3}son elementales; elnorte=4{\displaystyle n=4}El caso se estableció en 1972. [ 18 ] Elnorte=5{\displaystyle n=5},norte=6{\displaystyle n=6}, ynorte=7{\displaystyle n=7}Los casos se resolvieron en 1984, 2001 y 2008, respectivamente. La primera prueba paranorte=5{\displaystyle n=5}fue asistido por computadora, pero todos los casos paranorte≤7{\displaystyle n\leq 7}Desde entonces se han demostrado con métodos elementales. [ 19 ] Partiendo de los resultados relativos a la "verificación finita" de Tao (2018) , que posteriormente fueron mejorados por Malikiosis, Santos y Schymura (2025) , Rosenfeld (2025a) resolvió elnorte=8{\displaystyle n=8}caso. [ 14 ] Este método fue posteriormente y de forma independiente extendido por Rosenfeld (2025b) para manejarnorte=9{\displaystyle n=9}corredores, por Trakulthongchai (2025) para manejarnorte=9{\displaystyle n=9}ynorte=10{\displaystyle n=10}corredores, y por Sungkawichai y Trakulthongchai (2026) para manejarnorte=11{\displaystyle n=11},norte=12{\displaystyle n=12}, ynorte=13{\displaystyle n=13}corredores. [ 20 ]

Para algunosnorte{\displaystyle n}, existen ejemplos esporádicos con una separación máxima de1/norte{\displaystyle 1/n}además del ejemplo devi=i{\displaystyle v_{i}=i}dado anteriormente. [ 6 ] Paranorte=5{\displaystyle n=5}, el único ejemplo conocido (salvo desplazamientos y escalado) es{0,1,3,4,7}{\displaystyle \{0,1,3,4,7\}}; paranorte=6{\displaystyle n=6}El único ejemplo conocido es{0,1,3,4,5,9}{\displaystyle \{0,1,3,4,5,9\}}; y paranorte=8{\displaystyle n=8}Los ejemplos conocidos son{0,1,4,5,6,7,11,13}{\displaystyle \{0,1,4,5,6,7,11,13\}}y{0,1,2,3,4,5,7,12}{\displaystyle \{0,1,2,3,4,5,7,12\}}. [ 21 ] Existe una familia infinita explícita de tales casos esporádicos. [ 22 ]

Kravitz (2021) formuló una versión más precisa de la conjetura que aborda casos de casi igualdad. Más específicamente, conjetura que para un conjunto dado de velocidadesvi{\displaystyle v_{i}}, cualquieraδ=s/(s(norte−1)+1){\displaystyle \delta =s/(s(n-1)+1)}para algún entero positivos{\displaystyle s}, [ d ] oδ≥1/(norte−1){\displaystyle \delta \geq 1/(n-1)}, dóndeδ{\displaystyle \delta }es el vacío de soledad de esa configuración. Confirmó esta conjetura paranorte≤4{\displaystyle n\leq 4}y algunos casos especiales. [ 23 ]

Rifford (2022) abordó la cuestión del tamaño del tiempo necesario para que un corredor se sienta solo. Formuló una conjetura más fuerte que afirma que para cada enteronorte≥3{\displaystyle n\geq 3}Hay un número entero positivonorte{\displaystyle N}de tal manera que para cualquier colecciónv1,v2,…,vnorte−1{\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n-1}}de velocidades positivas y distintas, existe algún tiempot>0{\displaystyle t>0}de tal manera quefrac⁡(vit)∈[1/norte,1−1/norte]{\displaystyle \operatorname {frac} (v_{i}t)\in [1/n,1-1/n]}parai=1,…,norte−1{\displaystyle i=1,\dots ,n-1}con t≤nortemin⁡(v1,…,vnorte−1).{\displaystyle t\leq {\frac {N}{\operatorname {min} (v_{1},\dots ,v_{n-1})}}.} Rifford confirmó esta conjetura paranorte=3,4,5,6{\displaystyle n=3,4,5,6}y demostró que el mínimonorte{\displaystyle N}en cada caso viene dado pornorte=1{\displaystyle N=1}paranorte=3,4,5{\displaystyle n=3,4,5}ynorte=2{\displaystyle N=2}paranorte=6{\displaystyle n=6}. El último resultado (norte=2{\displaystyle N=2}paranorte=6{\displaystyle n=6}) muestra que si se consideran seis corredores que parten de0{\displaystyle 0}en ese momentot=0{\displaystyle t=0}con velocidades constantesv0,v1,…,v5{\displaystyle v_{0},v_{1},\dots ,v_{5}}conv0=0{\displaystyle v_{0}=0} yv1,…,v5{\displaystyle v_{1},\dots ,v_{5}}distinto y positivo, entonces el corredor estático está separado por una distancia al menos1/6{\displaystyle 1/6}de los demás durante las dos primeras rondas del corredor no estático más lento (pero no necesariamente durante la primera ronda). [ 24 ]

Otros resultados

Existe un resultado mucho más sólido para velocidades elegidas al azar: utilizando la convención del corredor estacionario, sinorte{\displaystyle n}yε>0{\displaystyle \varepsilon >0}son fijos ynorte−1{\displaystyle n-1}Los corredores con velocidades distintas de cero se eligen uniformemente al azar de{1,2,…,k}{\displaystyle \{1,2,\ldots ,k\}}, entoncesPAG(δ≥1/2−ε)→1{\displaystyle P(\delta \geq 1/2-\varepsilon )\to 1}comok→∞{\displaystyle k\to \infty }En otras palabras, es probable que los corredores con velocidades aleatorias en algún momento se sientan "muy solos", casi1/2{\displaystyle 1/2}unidades del otro corredor más cercano. [ 25 ] La conjetura completa es cierta si "soledad" se reemplaza por "casi soledad", lo que significa que como máximo hay otro corredor dentro1/norte{\displaystyle 1/n}de un corredor dado. [ 26 ] La conjetura se ha generalizado a un análogo en campos de funciones algebraicas . [ 27 ]

Beck, Hosten y Schymura (2019) modelaron la conjetura a través de un poliedro , que se define de la siguiente manera: para un vector positivonorte{\displaystyle \mathbf {n} }enk{\displaystyle k}espacio -dimensional, el poliedro corredor solitario es [ 28 ]{incógnita∈Rk:nortei−knortejk+1≤nortejincógnitai−norteiincógnitaj≤knortei−nortejk+1,1≤i<j≤k},{\displaystyle \left\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{k}\colon {\frac {n_{i}-kn_{j}}{k+1}}\leq n_{j}x_{i}-n_{i}x_{j}\leq {\frac {kn_{i}-n_{j}}{k+1}},1\leq i<j\leq k\right\},} y la conjetura del corredor solitario es equivalente a la afirmación de que este poliedro contiene un punto entero, para cualquiernorte{\displaystyle \mathbf {n} }con entradas enteras positivas distintas.

Notas y referencias

Notas

  1. ↑ Algunos autores utilizan la convención de quenorte{\displaystyle n}es el número de corredores no estacionarios, y por lo tanto la conjetura es que la brecha de soledad es como máximo1/(norte+1){\displaystyle 1/(n+1)}. [ 5 ]
  2. ↑ Por ejemplo, si el origen está en la posición de las 6 en punto, un corredor en la posición de las 9 en punto tendráfrac⁡(vt)=3/4{\displaystyle \operatorname {frac} (vt)=3/4}.
  3. ↑ Supongamos que el corredor solitario está fijo en 0. Por contradicción, supongamos que existet{\displaystyle t}de tal manera que{vit}∈(1/norte,1−1/norte){\displaystyle \{v_{i}t\}\in (1/n,1-1/n)}a pesar dei{\displaystyle i}Según el principio del palomar, existen distintosi{\displaystyle i}yj{\displaystyle j}de tal manera que{vit}≤{vjt}<{vit}+1/norte{\displaystyle \{v_{i}t\}\leq \{v_{j}t\}<\{v_{i}t\}+1/n}Pero‖vj−vi‖=vk{\displaystyle \|v_{j}-v_{i}\|=v_{k}}para algunosk{\displaystyle k}, así que o{vkt}={vjt}−{vit}<1/norte{\displaystyle \{v_{k}t\}=\{v_{j}t\}-\{v_{i}t\}<1/n}o{vkt}=1−({vjt}−{vit})>1−1/norte{\displaystyle \{v_{k}t\}=1-(\{v_{j}t\}-\{v_{i}t\})>1-1/n}, una contradicción. [ 6 ]
  4. ↑ Tomandos=1{\displaystyle s=1}da pie a la conjetura del corredor solitario.

Citas

Obras citadas

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