Axioma de regularidad

En matemáticas , el axioma de regularidad (también conocido como axioma de fundamento ) es un axioma de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que establece que todo conjunto no vacío A contiene un elemento disjunto de A. En lógica de primer orden , el axioma se lee:

$${\displaystyle \forall x\,(x\neq \varnothing \rightarrow (\exists y\in x)(x\cap y=\varnothing )).}$$

El axioma de regularidad junto con el axioma de emparejamiento implica que ningún conjunto es un elemento de sí mismo y que no existe una sucesión infinita.${\displaystyle (a_{n})}$de tal manera que${\displaystyle a_{i+1}}$es un elemento de${\displaystyle a_{i}}$a pesar de${\displaystyle i}$Con el axioma de elección dependiente (que es una forma debilitada del axioma de elección ), este resultado puede invertirse: si no existen tales secuencias infinitas, entonces el axioma de regularidad es verdadero. Por lo tanto, en este contexto, el axioma de regularidad es equivalente a la afirmación de que no existen cadenas de pertenencia infinitas descendentes.

El axioma fue formulado originalmente por von Neumann ; ^{[ 1 ]} fue adoptado en una formulación más cercana a la que se encuentra en los libros de texto contemporáneos por Zermelo . ^{[ 2 ]} Prácticamente todos los resultados en las ramas de las matemáticas basadas en la teoría de conjuntos se mantienen incluso en ausencia de regularidad. ^{[ 3 ]} Sin embargo, la regularidad hace que algunas propiedades de los ordinales sean más fáciles de demostrar; y no solo permite que la inducción se realice en conjuntos bien ordenados sino también en clases propias que son estructuras relacionales bien fundadas, como el orden lexicográfico en${\textstyle \{(n,\alpha )\mid n\in \omega \land \alpha {\text{ es un ordinal }}\}\,.}$

Dados los demás axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, el axioma de regularidad es equivalente al axioma de inducción . El axioma de inducción tiende a usarse en lugar del axioma de regularidad en las teorías intuicionistas (aquellas que no aceptan la ley del tercero excluido ), donde los dos axiomas no son equivalentes.

Además de omitir el axioma de regularidad, las teorías de conjuntos no estándar han postulado la existencia de conjuntos que son elementos de sí mismos.

Sea el conjunto no vacío S un contraejemplo al axioma de regularidad; es decir, cada elemento de S tiene una intersección no vacía con S. Definimos una relación binaria R en S mediante${\textstyle aRb:\Leftrightarrow b\in S\cap a}$, que es entera por supuesto. Por lo tanto, por el axioma de elección dependiente, existe alguna secuencia ( a _n ) en S que satisface a _n Ra _n+1 para todo n en N . Como esta es una cadena descendente infinita, llegamos a una contradicción y, por lo tanto, no existe tal S.

Skolem ^{[ 4 ]} y von Neumann ^{[ 5 ]} demostraron que la regularidad era relativamente consistente con el resto de ZF, lo que significa que si ZF sin regularidad es consistente, entonces ZF (con regularidad) también lo es. ^{[ 6 ]}

También se demostró que el axioma de regularidad es independiente de los demás axiomas de ZFC, suponiendo que sean consistentes. El resultado fue anunciado por Paul Bernays en 1941, aunque no publicó una demostración hasta 1954. La demostración involucra (y condujo al estudio de) los modelos (o método) de permutación de Rieger-Bernays , que se utilizaron para otras demostraciones de independencia para sistemas no bien fundados. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

El axioma de regularidad rara vez resulta útil fuera de la teoría de conjuntos; AA Fraenkel, Y. Bar-Hillel y A. Levy señalaron que ^{[ 9 ]} “su omisión no incapacitará ningún campo de las matemáticas”. Por lo tanto, su inclusión puede considerarse principalmente como una aclaración de lo que se entiende por “conjunto”, tal como se desarrolla en el lema de colapso de Mostowski (que proporciona el recíproco: que la pertenencia a todo conjunto no solo es una relación bien fundada y extensional, sino que cualquier relación de este tipo admite un conjunto correspondiente). Si se realizan cálculos matemáticos en un contexto más estructural, por ejemplo, utilizando una teoría de tipos o una teoría de conjuntos estructural como ETCS , el axioma no se utiliza en absoluto, ya que no es necesario para demostrar que Set , la categoría de conjuntos, forma un topos elemental . ^{[ 10 ]}

Sin embargo, tiene usos prácticos, especialmente en ausencia del axioma de elección . Una aplicación es el truco de Scott para construir clases de equivalencia de una relación definida en clases propias, como alternativa a postular un universo de Grothendieck ; también puede usarse como alternativa a la elección en la demostración del teorema de Frucht para grupos infinitos. ^{[ 11 ]}

La teoría ingenua de conjuntos (el esquema axiomático de comprensión irrestricta y el axioma de extensionalidad ) es inconsistente debido a la paradoja de Russell . En las primeras formalizaciones de conjuntos, los matemáticos y lógicos evitaron esta contradicción simplemente reemplazando el esquema axiomático de comprensión por el mucho más débil esquema axiomático de separación . Sin embargo, este paso por sí solo conduce a teorías de conjuntos consideradas demasiado débiles. Por lo tanto, se recuperó parte del poder de la comprensión mediante los otros axiomas de existencia de la teoría de conjuntos ZF (emparejamiento, unión, conjunto potencia , reemplazo e infinito), que pueden considerarse casos especiales de comprensión. Hasta ahora, estos axiomas no parecen conducir a ninguna contradicción. Posteriormente, se añadieron el axioma de elección y el axioma de regularidad para excluir modelos con algunas propiedades indeseables. Se sabe que estos dos axiomas son relativamente consistentes.

En presencia del esquema axiomático de separación, la paradoja de Russell se convierte en una prueba de que no existe un conjunto de todos los conjuntos . El axioma de regularidad, junto con el axioma de emparejamiento, también prohíben tal conjunto universal. Sin embargo, la paradoja de Russell proporciona una prueba de que no existe un "conjunto de todos los conjuntos" utilizando únicamente el esquema axiomático de separación, sin axiomas adicionales. En particular, ZF, sin el axioma de regularidad, ya prohíbe tal conjunto universal.

Si una teoría se extiende añadiendo uno o más axiomas, cualquier consecuencia (posiblemente indeseable) de la teoría original seguirá siendo consecuencia de la teoría extendida. En particular, si la teoría ZF sin regularidad se extiende añadiéndole regularidad para obtener ZF, cualquier contradicción derivada de la teoría original seguirá siendo válida en la teoría extendida.

La existencia de átomos de Quine (conjuntos que satisfacen la ecuación de fórmula x  =  { x }, es decir, que se tienen a sí mismos como sus únicos elementos) es consistente con la teoría obtenida al eliminar el axioma de regularidad de ZFC. Varias teorías de conjuntos no bien fundadas permiten conjuntos circulares "seguros", como los átomos de Quine, sin volverse inconsistentes mediante la paradoja de Russell. ^{[ 12 ]}

En ZF se puede demostrar que la clase${\textstyle \bigcup _{\alpha }V_{\alpha }}$, llamado universo de von Neumann , es igual a la clase de todos los conjuntos. Esta afirmación es incluso equivalente al axioma de regularidad (si trabajamos en ZF omitiendo este axioma). A partir de cualquier modelo que no satisfaga el axioma de regularidad, se puede construir un modelo que lo satisfaga tomando solo conjuntos en${\textstyle \bigcup _{\alpha }V_{\alpha }}$.

Herbert Enderton ^{[ 13 ]} escribió que "La idea de rango es descendiente del concepto de tipo de Russell ". Comparando ZF con la teoría de tipos , Alasdair Urquhart escribió que "El sistema de Zermelo tiene la ventaja notacional de no contener ninguna variable explícitamente tipada, aunque de hecho puede verse como si tuviera una estructura de tipo implícita incorporada, al menos si se incluye el axioma de regularidad. ^{[ 14 ] [ 15 ]}

Dana Scott ^{[ 16 ]} fue más allá y afirmó que:

Lo cierto es que solo existe una forma satisfactoria de evitar las paradojas: el uso de alguna variante de la teoría de tipos . Esta teoría fue la base de las intuiciones tanto de Russell como de Zermelo. De hecho, la mejor manera de entender la teoría de Zermelo es como una simplificación y extensión de la de Russell (nos referimos , por supuesto, a la teoría simple de tipos de Russell). La simplificación consistió en hacer que los tipos fueran acumulativos . De este modo, la mezcla de tipos resulta más sencilla y se evitan repeticiones molestas. Una vez que se permite que los tipos posteriores acumulen los anteriores, podemos imaginar fácilmente la extensión de los tipos al espacio transfinito ; hasta dónde queremos llegar queda necesariamente abierto. Russell explicitó sus tipos en su notación, mientras que Zermelo los dejó implícitos .

En el mismo artículo, Scott muestra que un sistema axiomático basado en las propiedades inherentes de la jerarquía acumulativa resulta ser equivalente a ZF, incluyendo la regularidad. ^{[ 17 ]}

El concepto de buena fundación y rango de un conjunto fueron introducidos por Dmitry Mirimanoff . ^{[ 18 ] [ 19 ]} Mirimanoff llamó a un conjunto x "regular" ( en francés : ordinaire ) si toda cadena descendente x ∋ x ₁ ∋ x ₂ ∋ ... es finita. Sin embargo, Mirimanoff no consideró su noción de regularidad (y buena fundación) como un axioma que se debe observar en todos los conjuntos; ^{[ 20 ]} en trabajos posteriores Mirimanoff también exploró lo que ahora se denomina conjuntos no bien fundados ( extraordinaire en la terminología de Mirimanoff). ^{[ 21 ]}

Skolem ^{[ 4 ]} y von Neumann ^{[ 1 ]} señalaron que los conjuntos no bien fundados son superfluos ^{[ 22 ]} y en la misma publicación von Neumann da un axioma ^{[ 23 ]} que excluye algunos, pero no todos, los conjuntos no bien fundados. ^{[ 24 ]} En una publicación posterior, von Neumann ^{[ 25 ]} dio una versión equivalente pero más compleja del axioma de fundación de clases: ^{[ 26 ]}

$${\displaystyle A\neq \emptyset \rightarrow \exists x\in A\,(x\cap A=\emptyset ).}$$

La forma contemporánea y final del axioma se debe a Zermelo. ^{[ 2 ]}

Los urelementos son objetos que no son conjuntos, pero que pueden ser elementos de conjuntos. En la teoría de conjuntos ZF, no hay urelementos, pero en otras teorías de conjuntos como ZFA , sí los hay. En estas teorías, el axioma de regularidad debe modificarse. La afirmación "${\textstyle x\neq \emptyset }$" debe ser reemplazado por una declaración que${\textstyle x}$no está vacío y no es un urelement. Un reemplazo adecuado es${\textstyle (\exists y)[y\in x]}$, que indica que x está habitado .

• Teoría de conjuntos sin fundamento
• El truco de Scott
• Inducción épsilon

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• Axioma fundamental en PlanetMath .
• Conjunto habitado y el axioma de fundación en nLab