Grandes cantidades

Los números grandes son aquellos mucho mayores que los que encontramos en la vida cotidiana, como los que utilizamos para contar o en transacciones financieras. Estas cantidades aparecen de forma destacada en matemáticas , cosmología , criptografía y mecánica estadística . La googología estudia las convenciones de nomenclatura y las propiedades de estos números inmensos. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Dado que el formato decimal habitual para números grandes puede resultar extenso, se han ideado otros sistemas que permiten una representación más concisa. Por ejemplo, mil millones se representan con 10 caracteres (1.000.000.000) en formato decimal, pero solo con 3 caracteres (10⁹ ⁾ en notación exponencial . Un billón tiene 13 caracteres en decimal, pero solo cuatro (10¹² ⁾ en notación científica . Los valores que varían drásticamente pueden representarse y compararse gráficamente mediante una escala logarítmica .

Un sistema de numeración en lenguaje natural representa números grandes usando nombres en lugar de una serie de dígitos. Por ejemplo, " mil millones " puede ser más fácil de comprender para algunos lectores que "1.000.000.000". A veces se abrevia usando un sufijo, por ejemplo, 2.340.000.000 = 2,34B (B = mil millones). Un valor numérico puede ser extenso cuando se expresa con palabras, por ejemplo, "2.345.789" es "dos millones trescientos cuarenta y cinco mil setecientos ochenta y nueve". ^{[ 3 ]}

La notación científica se ideó para representar la amplia gama de valores que se encuentran en la investigación científica en un formato más compacto que los formatos tradicionales, pero que permite una alta precisión cuando se requiere. ^{[ 4 ]} Un valor se representa como una fracción decimal multiplicada por una potencia de 10. [ ^{4 ] El} factor tiene como objetivo facilitar la comprensión lectora en comparación con una larga serie de ceros. Por ejemplo, 1.0 × 10⁹ expresa mil millones – 1 seguido de nueve ceros. El recíproco , una milmillonésima parte, es 1.0 × 10⁻⁹ . A veces, la letra e reemplaza al exponente; por ejemplo, mil millones se puede expresar como 1e9 en lugar de 1,0 × 10.⁹ .

• googol =${\displaystyle 10^{100}}$
• centillón =${\displaystyle 10^{303}}$o${\displaystyle 10^{600}}$dependiendo del sistema de nomenclatura numérica
• mil millones =${\displaystyle 10^{3003}}$o${\displaystyle 10^{6000}}$dependiendo del sistema de nomenclatura numérica
• El mayor número de Smith conocido = (10 ¹⁰³¹ −1) × (10 ⁴⁵⁹⁴ + 3 × 10²²⁹⁷ + 1) ¹⁴⁷⁶ × 10^{3 913 210}
• El primo de Mersenne más grande conocido =${\displaystyle 2^{136,279,841}-1}$^{[ 5 ]}
• googolplex =${\displaystyle 10^{\text{googol}}=10^{10^{100}}}$
• Números de Skewes : el primero es aproximadamente${\displaystyle 10^{10^{10^{34}}}}$, el segundo${\displaystyle 10^{10^{10^{964}}}}$
• El número de Graham , mayor de lo que se puede representar incluso usando torres de potencia ( tetración ). Sin embargo, se puede representar usando capas de la notación de flecha hacia arriba de Knuth .
• El teorema del árbol de Kruskal es una secuencia relacionada con grafos. TREE(3) es mayor que el número de Graham .
• El número de Rayo es un número grande que lleva el nombre de Agustín Rayo y que se ha considerado el número más grande jamás nombrado. Fue definido originalmente en un "duelo de grandes números" en el MIT el 26 de enero de 2007.

Ejemplos de números grandes que describen cosas del mundo real:

• El número de células en el cuerpo humano (estimado en 3,72 × 10¹³ ), o 37,2 billones ^{[ 6 ]}
• El número de bits en un disco duro de computadora ( a partir de 2024), típicamente alrededor de 10 ¹³ , 1–2 TB ), o 10 billones 
• El número de conexiones neuronales en el cerebro humano (estimado en ^10¹⁴ ), o 100 billones
• La constante de Avogadro es el número de "entidades elementales" (generalmente átomos o moléculas) en un mol ; el número de átomos en 12  gramos de carbono-12 , aproximadamente 6,022 × 10 ²³ , o 602,2 sextillones.
• El número total de pares de bases de ADN dentro de toda la biomasa en la Tierra, como una posible aproximación de la biodiversidad global , se estima en(5,3 ± 3,6) × 10 ³⁷ , o 53±36 undecillones ^{[ 7 ] [ 8 ]}
• La Tierra consta de aproximadamente 4 × 10 ⁵¹ , o 4 sexdecillones, de nucleones.
• El número estimado de átomos en el universo observable (10 ⁸⁰ ), o 100 quinvigintilones
• El límite inferior de la complejidad del árbol de juego del ajedrez , también conocido como el " número de Shannon " (estimado en 10 ¹²⁰ ), o 1 novemtrigintillón. ^{[ 9 ]} Nótese que este valor del número de Shannon es para el ajedrez estándar. Tiene valores aún mayores para variantes de ajedrez de tablero más grande como Grant Acedrex , Tai Shogi y Taikyoku Shogi .

En astronomía y cosmología se encuentran grandes números para medidas de longitud y tiempo. Por ejemplo, según el modelo predominante del Big Bang , el universo tiene aproximadamente 13.800 millones de años (equivalente a4,355 × 10 ¹⁷ segundos). El universo observable abarca 93 mil millones de años luz (aproximadamente8,8 × 10 ²⁶ metros) y alberga alrededor de5 × 10²² estrellas, organizadas en aproximadamente 125 mil millones ^de galaxias (según las observaciones del Telescopio Espacial Hubble). Como estimación aproximada, hay aproximadamente10 ⁸⁰ átomos dentro del universo observable. ^{[ 10 ]}

Según Don Page , físico de la Universidad de Alberta, Canadá, el tiempo finito más largo que hasta ahora ha sido calculado explícitamente por algún físico es ^{[ 11 ].}

${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{10^{1.1}}}}}{\mbox{ años}}}$

(que corresponde a la escala de un tiempo de recurrencia de Poincaré estimado para el estado cuántico de una caja hipotética que contiene un agujero negro con la masa estimada de todo el universo, observable o no, asumiendo un cierto modelo inflacionario con un inflatón cuya masa es 10 ⁻⁶ masas de Planck ), aproximadamente 10^10^1.288*10^3.884 T ^{[ 12 ] [ 13 ]} Este tiempo asume un modelo estadístico sujeto a la recurrencia de Poincaré. Una forma mucho más simplificada de pensar en este tiempo es en un modelo donde la historia del universo se repite arbitrariamente muchas veces debido a propiedades de la mecánica estadística ; esta es la escala de tiempo en la que por primera vez será algo similar (para una elección razonable de "similar") a su estado actual nuevamente.

Los procesos combinatorios dan lugar a números sorprendentemente grandes. La función factorial , que cuantifica las permutaciones de un conjunto fijo de objetos, crece de forma superexponencial a medida que aumenta el número de objetos. La fórmula de Stirling proporciona una expresión asintótica precisa para este rápido crecimiento. ^{[ 14 ]}

En mecánica estadística, los números combinatorios alcanzan magnitudes tan inmensas que a menudo se expresan utilizando logaritmos .

Los números de Gödel , junto con representaciones similares de cadenas de bits en la teoría de la información algorítmica , son enormes, incluso para enunciados matemáticos de longitud moderada. Sorprendentemente, ciertos números patológicos superan incluso los números de Gödel asociados con proposiciones matemáticas típicas. ^{[ 15 ]}

El lógico Harvey Friedman ha realizado importantes contribuciones al estudio de números muy grandes, incluyendo trabajos relacionados con el teorema del árbol de Kruskal y el teorema de Robertson-Seymour . ^{[ 16 ]}

Una forma estandarizada de escribir números muy grandes permite ordenarlos fácilmente de forma ascendente, y así hacerse una buena idea de cuánto mayor es un número que otro.

Para comparar números en notación científica, por ejemplo 5×10⁴ ^y 2×10⁵ ^, primero se comparan los exponentes; en este caso, 5 > 4, por lo que 2×10⁵ ^> 5× ^10⁴ . Si los exponentes son iguales, se compara la mantisa (o coeficiente); así, 5×10⁴ ^> 2×10⁴ ^porque 5 > 2.

La tetración con base 10 da como resultado la secuencia${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n=10\to n\to 2=(10\uparrow )^{n}1}$, las torres de poder de los números 10, donde${\displaystyle (10\uparrow )^{n}}$denota una potencia funcional de la función${\displaystyle f(n)=10^{n}}$(la función también se expresa mediante el sufijo "-plex", como en googolplex; véase la familia googol ).

Son números redondos, cada uno de los cuales representa un orden de magnitud en un sentido general. Una forma sencilla de especificar cuán grande es un número es indicar entre qué dos números de esta secuencia se encuentra.

Más precisamente, los números intermedios se pueden expresar de la forma${\displaystyle (10\uparrow )^{n}a}$, es decir, con una torre de potencia de 10 y un número en la parte superior, posiblemente en notación científica, por ejemplo${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{10^{4.829}}}}}=(10\uparrow )^{5}4.829}$, un número entre${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 5}$y${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 6}$(tenga en cuenta que${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n<(10\uparrow )^{n}a<10\uparrow \uparrow (n+1)}$si${\displaystyle 1<a<10}$). (Véase también la extensión de la tetración a alturas reales .)

Por lo tanto, googolplex es${\displaystyle 10^{10^{100}}=(10\uparrow )^{2}100=(10\uparrow )^{3}2}$.

Otro ejemplo:

${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 4={\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\qquad \quad \ \ \ 65,536{\mbox{ copias de }}2\end{matrix}}\approx (10\uparrow )^{65,531}(6\times 10^{19,728})\approx (10\uparrow )^{65,533}4.3}$(entre${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65,533}$y${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65,534}$)

Así, el "orden de magnitud" de un número (en una escala mayor de la que se suele entender) se puede caracterizar por el número de veces ( n ) que hay que tomar la${\displaystyle log_{10}}$para obtener un número entre 1 y 10. Por lo tanto, el número está entre${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}$y${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (n+1)}$Como se explicó, una descripción más precisa de un número también especifica el valor de este número entre 1 y 10, o el número anterior (tomando el logaritmo una vez menos) entre 10 y 10 ¹⁰ , o el siguiente, entre 0 y 1.

Tenga en cuenta que

${\displaystyle 10^{(10\uparrow )^{n}x}=(10\uparrow )^{n}10^{x}}$

Es decir, si un número x es demasiado grande para una representación${\displaystyle (10\uparrow )^{n}x}$La torre de potencias se puede elevar un nivel, reemplazando x por log ₁₀ x , o bien se puede hallar x a partir de la representación de la torre inferior del logaritmo en base ₁₀ del número entero. Si la torre de potencias contuviera uno o más números distintos de 10, ambos enfoques darían resultados diferentes, ya que extender la torre de potencias con un 10 en la base no es lo mismo que extenderla con un 10 en la parte superior (aunque, por supuesto, se aplican observaciones similares si toda la torre de potencias consta de copias del mismo número, distintas de 10).

Si la altura de la torre es grande, las diversas representaciones para números grandes se pueden aplicar a la altura misma. Si la altura se da solo de forma aproximada, dar un valor en la parte superior no tiene sentido, por lo que la notación de doble flecha (por ejemplo${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (7,21\times 10^{8})}$) se puede utilizar. Si el valor después de la doble flecha es un número muy grande, lo anterior se puede aplicar recursivamente a ese valor.

Ejemplos:

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10^{\,\!10^{10^{3.81\times 10^{17}}}}}$(entre${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 2}$y${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 3}$)

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})=(10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$(entre${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 4}$y${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 5}$)

De forma similar a lo anterior, si el exponente de${\displaystyle (10\uparrow )}$no se da exactamente entonces dar un valor a la derecha no tiene sentido, y en lugar de usar la notación de potencia de${\displaystyle (10\uparrow )}$, es posible añadir${\displaystyle 1}$al exponente de${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$para obtener, por ejemplo${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{3}(2.8\times 10^{12})}$.

Si el exponente de${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$es grande, las diversas representaciones para números grandes se pueden aplicar a este exponente mismo. Si este exponente no se da exactamente, entonces, nuevamente, dar un valor a la derecha no tiene sentido, y en lugar de usar la notación de potencia de${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$Es posible utilizar el operador de triple flecha, por ejemplo${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow (7.3\times 10^{6})}$.

Si el argumento derecho del operador de triple flecha es grande, lo anterior se aplica a él, obteniendo, por ejemplo,${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$(entre${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 4}$y${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 5}$). Esto se puede hacer de forma recursiva, por lo que es posible tener una potencia del operador de flecha triple.

Entonces es posible proceder con operadores con mayor número de flechas, escritas${\displaystyle \uparrow ^{n}}$.

Compare esta notación con el operador hiper y la notación de flechas encadenadas de Conway :

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b}$= ( a → b → n ) = hiper( a , n + 2, b )    

Una ventaja de la primera es que, cuando se considera como una función de b , existe una notación natural para las potencias de esta función (al igual que cuando se escriben las n flechas):${\displaystyle (a\uparrow ^{n})^{k}b}$. Por ejemplo:

${\displaystyle (10\uparrow ^{2})^{3}b}$= ( 10 → ( 10 → ( 10 → b → 2 ) → 2 ) → 2 )

y solo en casos especiales se reduce la notación de cadena anidada larga; para${\displaystyle ''b''=1}$obtiene:

${\displaystyle 10\uparrow ^{3}3=(10\uparrow ^{2})^{3}1}$= ( 10 → 3 → 3 )

Dado que b también puede ser muy grande, en general se puede escribir en su lugar como un número con una secuencia de potencias.${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{k_{n}}}$con valores decrecientes de n (con exponentes enteros dados exactamente)${\displaystyle {k_{n}}}$) con al final un número en notación científica ordinaria. Siempre que un${\displaystyle {k_{n}}}$es demasiado grande para ser dado exactamente, el valor de${\displaystyle {k_{n+1}}}$se incrementa en 1 y todo lo que está a la derecha de${\displaystyle ({n+1})^{k_{n+1}}}$se reescribe.

Para describir números de forma aproximada, no se necesitan desviaciones del orden decreciente de los valores de n . Por ejemplo,${\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow \uparrow )^{5}a=(10\uparrow \uparrow )^{6}a}$, y${\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow \uparrow \uparrow 3)=10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 10+1)\approx 10\uparrow \uparrow \uparrow 3}$De este modo se obtiene el resultado, un tanto contraintuitivo, de que un número x puede ser tan grande que, en cierto modo, x y 10 ^x son "casi iguales" (para aritmética de números grandes, véase también más abajo).

Si el superíndice de la flecha hacia arriba es grande, se pueden aplicar las distintas representaciones para números grandes a este superíndice mismo. Si este superíndice no se da exactamente, no tiene sentido elevar el operador a una potencia particular ni ajustar el valor sobre el que actúa; en su lugar, es posible simplemente usar un valor estándar a la derecha, por ejemplo 10, y la expresión se reduce a${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10=(10\to 10\to n)}$con un n aproximado . Para tales números, la ventaja de usar la notación de flecha hacia arriba ya no se aplica, por lo que se puede usar la notación de cadena en su lugar.

Lo anterior se puede aplicar recursivamente para este n , por lo que la notación${\displaystyle \uparrow ^{n}}$se obtiene en el superíndice de la primera flecha, etc., o una notación de cadena anidada, por ejemplo:

(10 → 10 → (10 → 10 →${\displaystyle 3\times 10^{5}}$) ) =${\displaystyle 10\uparrow ^{10\uparrow ^{3\times 10^{5}}10}10}$

Si el número de niveles se vuelve demasiado grande para ser conveniente, se utiliza una notación donde este número de niveles se escribe como un número (como usar el superíndice de la flecha en lugar de escribir muchas flechas). Introduciendo una función${\displaystyle f(n)=10\uparrow ^{n}10}$= (10 → 10 → n ), estos niveles se convierten en potencias funcionales de f , lo que nos permite escribir un número en la forma${\displaystyle f^{m}(n)}$donde m se da exactamente y n es un número entero que puede o no darse exactamente (por ejemplo:${\displaystyle f^{2}(3\times 10^{5})}$). Si n es grande, cualquiera de las anteriores puede usarse para expresarlo. Los números más "redondeados" de estos son los de la forma f ^m (1) = (10→10→ m →2). Por ejemplo,${\displaystyle (10\to 10\to 3\to 2)=10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10}$

Compare la definición del número de Graham: utiliza el número 3 en lugar del 10 y tiene 64 niveles de flecha y el número 4 en la parte superior; por lo tanto${\displaystyle G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2<(10\to 10\to 65\to 2)=f^{65}(1)}$pero también${\displaystyle G<f^{64}(4)<f^{65}(1)}$.

Si m en${\displaystyle f^{m}(n)}$es demasiado grande para darlo exactamente, es posible usar un n fijo , por ejemplo n = 1, y aplicar lo anterior recursivamente a m , es decir, el número de niveles de flechas hacia arriba se representa en la notación de flecha hacia arriba en superíndice, etc. Usando la notación de potencia funcional de f esto da múltiples niveles de f . Introduciendo una función${\displaystyle g(n)=f^{n}(1)}$Estos niveles se convierten en potencias funcionales de g , lo que nos permite escribir un número en la forma${\displaystyle g^{m}(n)}$donde m se da exactamente y n es un entero que puede o no darse exactamente. Por ejemplo, si (10→10→ m →3) = g ^m (1). Si n es grande, cualquiera de las anteriores puede usarse para expresarlo. De manera similar, se puede introducir una función h , etc. Si se requieren muchas de estas funciones, se pueden numerar en lugar de usar una letra nueva cada vez, por ejemplo, como subíndice, de manera que haya números de la forma${\displaystyle f_{k}^{m}(n)}$donde k y m se dan exactamente y n es un número entero que puede o no darse exactamente. Usando k = 1 para la f anterior, k = 2 para g , etc., se obtiene (10 → 10 → n → k ) =${\displaystyle f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(1)}$Si n es grande, cualquiera de las anteriores puede usarse para expresarlo. De esta manera se obtiene un anidamiento de formas.${\displaystyle {f_{k}}^{m_{k}}}$donde al ir hacia adentro la k disminuye, y con un argumento interno una secuencia de potencias${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{p_{n}}}$con valores decrecientes de n (donde todos estos números son enteros dados exactamente) con al final un número en notación científica ordinaria.

Cuando k es demasiado grande para ser dado exactamente, el número en cuestión puede expresarse como${\displaystyle {f_{n}}(10)}$=(10→10→10→ n ) con un n aproximado . Nótese que el proceso de ir desde la secuencia${\displaystyle 10^{n}}$=(10→ n ) a la secuencia${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10}$=(10→10→ n ) es muy similar a pasar de lo último a la secuencia${\displaystyle {f_{n}}(10)}$=(10→10→10→ n ): es el proceso general de agregar un elemento 10 a la cadena en la notación de cadena; este proceso puede repetirse (véase también la sección anterior). Numerando las versiones subsiguientes de esta función, un número puede describirse usando funciones${\displaystyle {f_{qk}}^{m_{qk}}}$, anidado en orden lexicográfico con q como el número más significativo, pero con orden decreciente para q y para k ; como argumento interno produce una secuencia de potencias${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{p_{n}}}$con valores decrecientes de n (donde todos estos números son enteros dados exactamente) con al final un número en notación científica ordinaria.

Para un número demasiado grande para escribirlo en la notación de flechas encadenadas de Conway, su tamaño se puede describir mediante la longitud de esa cadena, por ejemplo, usando solo elementos 10 en la cadena; en otras palabras, se podría especificar su posición en la secuencia 10, 10→10, 10→10→10, ... Si incluso la posición en la secuencia es un número grande, se pueden aplicar las mismas técnicas.

A continuación se ilustra el efecto de una base distinta de 10, la base 100. También se muestran representaciones de números y operaciones aritméticas.

${\displaystyle 100^{12}=10^{24}}$, con base 10 el exponente se duplica.

${\displaystyle 100^{100^{12}}=10^{2*10^{24}}}$, lo mismo.

${\displaystyle 100^{100^{100^{12}}}\approx 10^{10^{2*10^{24}+0.30103}}}$, el exponente más alto es poco más del doble (aumentado por log ₁₀ 2).

• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 2=10^{200}}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 3=10^{2\times 10^{200}}}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{2}(2\times 10^{200}+0.3)=(10\uparrow )^{2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{3}200.3=(10\uparrow )^{4}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow n=(10\uparrow )^{n-2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{n-1}200.3=(10\uparrow )^{n}2.3<10\uparrow \uparrow (n+1)}$(por lo tanto, si n es grande, parece justo decir que${\displaystyle 100\uparrow \uparrow n}$es "aproximadamente igual a"${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}$)
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{100}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{100}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{100}2.3<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)}$(comparar${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{10}1<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)}$; por lo tanto, si n es grande, parece justo decir que${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow n}$es "aproximadamente igual a"${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n}$)
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(comparar${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$)
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(comparar${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$)
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(comparar${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$; si n es grande, esto es "aproximadamente" igual)

Para un número${\displaystyle 10^{n}}$, un cambio de una unidad en n cambia el resultado por un factor de 10. En un número como${\displaystyle 10^{\,\!6.2\times 10^{3}}}$, con el 6.2 como resultado del redondeo adecuado utilizando cifras significativas, el verdadero valor del exponente puede ser 50 menos o 50 más. Por lo tanto, el resultado puede ser un factor${\displaystyle 10^{50}}$demasiado grande o demasiado pequeño. Esto parece una precisión extremadamente baja, pero para un número tan grande puede considerarse aceptable (un error grande en un número grande puede ser "relativamente pequeño" y, por lo tanto, aceptable).

Dada una secuencia/función entera estrictamente creciente${\displaystyle f_{0}(n)}$( n ≥1), es posible producir una secuencia de crecimiento más rápido${\displaystyle f_{1}(n)=f_{0}^{n}(n)}$(donde el superíndice n denota la n- ^ésima potencia funcional ). Esto se puede repetir cualquier número de veces dejando${\displaystyle f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(n)}$, cada secuencia crece mucho más rápido que la anterior. Por lo tanto, es posible definir${\displaystyle f_{\omega }(n)=f_{n}(n)}$, que crece mucho más rápido que cualquier${\displaystyle f_{k}}$para k finito (donde ω es el primer número ordinal infinito , que representa el límite de todos los números finitos k). Esta es la base de la jerarquía de funciones de rápido crecimiento, en la que el subíndice de indexación se extiende a ordinales cada vez mayores.

Por ejemplo, comenzando con f ₀ ( n ) = n + 1:

• f ₁ ( n ) = f ₀ ⁿ ( n ) = n + n = 2 n
• f ₂ ( n ) = f ₁ ⁿ ( n ) = 2 ⁿ n > (2 ↑) n para n ≥ 2 (usando la notación de flecha hacia arriba de Knuth )
• f ₃ ( n ) = f ₂ ⁿ ( n ) > (2 ↑) ⁿ n ≥ 2 ↑ ² n para n ≥ 2
• f _{k +1} ( n ) > 2 ↑ ^k n para n ≥ 2, k < ω
• f _ω ( n ) = f _n ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n > 2 ↑ ^{n − 2} ( n + 3) − 3 = A ( n , n ) para n ≥ 2, donde A es la función de Ackermann (de la cual f _ω es una versión unaria)
• f _ω+1 (64) > f _ω ⁶⁴ (6) > Número de Graham (= g ₆₄ en la secuencia definida por g ₀ = 4, g _{k +1} = 3 ↑ ^{g _k} 3)
  • Esto se deduce al observar que f _ω ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n > 3 ↑ ^{n – 2} 3 + 2, y por lo tanto f _ω ( g _k + 2) > g _{k +1} + 2
• f _ω ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n = (2 → n → n -1) = (2 → n → n -1 → 1) (usando la notación de flechas encadenadas de Conway )
• f _ω+1 ( n ) = f _ω ⁿ ( n ) > (2 → n → n -1 → 2) (porque si g _k ( n ) = X → n → k entonces X → n → k +1 = g _k ⁿ (1))
• f _{ω+ k} ( n ) > (2 → n → n -1 → k +1) > ( n → n → k )
• f _ω2 ( n ) = f _{ω+ n} ( n ) > ( n → n → n ) = ( n → n → n → 1)
• f _{ω2+ k} ( n ) > ( n → n → n → k )
• f _ω3 ( n ) > ( n → n → n → n )
• f _{ω k} ( n ) > ( n → n → ... → n → n ) (Cadena de k +1 n' s)
• f _{ω ²} ( n ) = f _{ω n} ( n ) > ( n → n → ... → n → n ) (Cadena de n +1 n' s)

La función Σ del castor ocupado es un ejemplo de una función que crece más rápido que cualquier función computable . Su valor, incluso para una entrada relativamente pequeña, es enorme. Los valores de Σ( n ) para n = 1, 2, 3, 4, 5 son 1, 4, 6, 13, 4098 ^{[ 20 ]} (secuencia A028444 en el OEIS ) . Σ(6) no se conoce, pero es al menos 10↑↑15.

Aunque todos los números mencionados anteriormente son muy grandes, siguen siendo finitos . Ciertos campos de las matemáticas definen los números infinitos y transfinitos . Por ejemplo, aleph-cero es la cardinalidad del conjunto infinito de los números naturales , y aleph-uno es el siguiente número cardinal más grande.${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$es la cardinalidad de los números reales . La proposición de que${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$Se la conoce como la hipótesis del continuo , que no se puede probar como verdadera o falsa a partir de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos .

• Aritmética de precisión arbitraria : cálculos en los que la precisión de los números solo está limitada por la memoria de la computadora. 
• Hipótesis de los grandes números de Dirac : hipótesis que relaciona la edad del universo con las constantes físicas. 
• Crecimiento exponencial : Crecimiento de cantidades a una tasa proporcional a la cantidad actual. 
• Historia de los grandes números
• Escala humana : concepto que toma a las personas como la principal medida del desarrollo. 
• Números indefinidos y ficticios
• Sistema de numeración indio : convención india para nombrar números grandes. 
• Infinito – Concepto matemático 
• Ley de los grandes números : los promedios de ensayos repetidos convergen al valor esperado. 
• Lista de software aritmético de precisión arbitraria
• Escalas largas y cortas : diferentes significados para los números. 
• Miríada – Nombre de orden de magnitud para 10.000 
• Nombres de números grandes
• Órdenes de magnitud : escala de números con una proporción fija. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redireccionamiento. 
• Potencia de 10 – Diez elevado a una potencia entera 
• Potencia de dos : Dos elevado a una potencia entera. 
• Tetración – Operación aritmética 

• Ciclo de conferencias "Números ridículamente enormes" de David Metzler