Área de un triángulo

En geometría , calcular el área de un triángulo es un problema elemental y muy común. La fórmula más conocida y sencilla para el área de un triángulo arbitrario es: $${\displaystyle {\text{área}}={\tfrac {1}{2}}\times {\text{base}}\times {\text{altura}},}$$ donde "base" significa la longitud de cualquier lado del triángulo, y "altura" significa la distancia más corta entre la línea de la base y el vértice correspondiente (esquina opuesta del triángulo).

Aunque sencilla, esta fórmula solo es útil si la altura se puede determinar fácilmente, lo cual no siempre ocurre. Por ejemplo, al agrimensor de un terreno triangular le puede resultar relativamente fácil medir la longitud de cada lado, pero relativamente difícil calcular su altura. En la práctica, se pueden utilizar diversos métodos, dependiendo de la información disponible sobre el triángulo. Otras fórmulas de uso frecuente para el área de un triángulo emplean trigonometría , longitudes de lados ( fórmula de Herón ), vectores, coordenadas , integrales de línea , el teorema de Pick u otras propiedades. ^{[ 1 ]}

El área de una figura plana (figura bidimensional) es una magnitud que describe su tamaño o extensión. Convencionalmente, el área se mide en unidades basadas en un cuadrado cuyo lado mide una unidad de longitud (por ejemplo, un metro cuadrado ). Al usar estas unidades, el área de un rectángulo se puede calcular multiplicando la longitud de dos lados adyacentes, a veces llamados base ( b ) y altura ( h) . Por ejemplo, un rectángulo de 2 metros de largo y 5 metros de alto tiene un área de 10 metros cuadrados.

Un triángulo rectángulo , es decir, aquel cuyos dos lados (llamados catetos ) son perpendiculares entre sí formando un ángulo recto , es la mitad de un rectángulo cuya base y altura están formadas por los dos lados perpendiculares, y que se divide por la diagonal. Por lo tanto, el área T de un triángulo rectángulo se puede calcular dividiendo por la mitad el área del rectángulo correspondiente; es decir, multiplicando las longitudes de los dos lados perpendiculares y dividiendo el resultado entre dos.${\displaystyle T=b\times {\tfrac {1}{2}}h.}$Si se toma cualquiera de los catetos del triángulo rectángulo como la base del triángulo, la altura correspondiente del triángulo es el otro cateto.

Cualquier otro triángulo, eligiendo un lado arbitrario como su base, es igualmente la mitad de un paralelogramo , nuevamente bisecado a lo largo de una diagonal, que luego puede cortarse en pedazos y reorganizarse en un rectángulo con la misma longitud de base y la misma altura; por lo tanto, el área del triángulo T puede calcularse utilizando la misma fórmula,${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}bh.}$En un triángulo común, la altura no coincide con ninguno de sus lados, sino que es un nuevo segmento de recta perpendicular a la base, con uno de sus extremos en el vértice ( el vértice opuesto) y el otro en la recta que contiene la base. La longitud de este segmento se denomina altura del triángulo y corresponde a la distancia más corta entre el vértice y la recta que contiene la base.

Una consecuencia de la fórmula del área de un triángulo es el análogo en el plano del teorema de Lexell sobre triángulos esféricos: todos los triángulos con un lado de la base fijo, un área fija y el vértice en el mismo lado de la línea de la base tienen su vértice en una línea específica paralela a la base. ^{[ 2 ]}

El área T de un triángulo se puede calcular mediante la aplicación de la trigonometría .

La forma de un triángulo está determinada de forma única por las longitudes de sus lados, por lo que sus propiedades métricas, incluida el área, pueden describirse en términos de esas longitudes. Según la fórmula de Herón , $${\displaystyle T={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$$

dónde${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$es el semiperímetro , o la mitad del perímetro del triángulo.

Otras tres formas equivalentes de escribir la fórmula de Herón son: $${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}.\end{aligned}}}$$

El área del triángulo △ ABC es la mitad del área de un paralelogramo : $${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\bigl \|}(\mathbf {b} -\mathbf {a} )\wedge (\mathbf {c} -\mathbf {a} ){\bigr \|}={\tfrac {1}{2}}{\bigl \|}\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} +\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} +\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} {\bigr \|},}$$

donde a , b y c son vectores a los vértices del triángulo desde cualquier punto de origen arbitrario, de modo que b – a y c – a son los vectores de traslación del vértice A a cada uno de los demás, y ∧ es el producto exterior . Si se toma el vértice A como origen, esto se simplifica a${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} \|}$.

El área relativa orientada de un paralelogramo en cualquier espacio afín , un tipo de bivector , se define como u ∧ v , donde u y v son vectores de traslación desde un vértice del paralelogramo a cada uno de los dos vértices adyacentes. En el espacio euclidiano , la magnitud de este bivector es un número escalar bien definido que representa el área del paralelogramo. (Para vectores en el espacio tridimensional, el producto exterior bivectorial tiene la misma magnitud que el producto vectorial , pero a diferencia de este último, que solo está definido en el espacio euclidiano tridimensional, el producto exterior está bien definido en un espacio afín de cualquier dimensión).

El área del triángulo △ ABC también se puede expresar en términos de productos escalares . Tomando el vértice A como origen y llamando vectores de traslación a los otros vértices b y c ,

$${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\mathbf {b} ^{2}\mathbf {c} ^{2}-(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )^{2}}},}$$

donde para cualquier vector euclidiano${\displaystyle \mathbf {v} ^{2}=\|\mathbf {v} \|^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }$[ ^{7 ]} Esta fórmula de área se puede derivar de la anterior utilizando la identidad vectorial elemental ^.${\displaystyle \mathbf {u} ^{2}\mathbf {v} ^{2}=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}+\|\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \|^{2}}$.

_{En el} espacio euclidiano bidimensional, para un vector _{b con} coordenadas ( xB , yB ) y un vector c con coordenadas ( xC , yC ₎ , la magnitud del producto exterior es $${\displaystyle \|\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} \|=|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.}$$

(Véase la siguiente sección.)

Si el vértice A está ubicado en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas cartesianas y las coordenadas de los otros dos vértices están dadas por B = ( x _B , y _B ) y C = ( x _C , y _C ) , entonces el área se puede calcular como 1/2 veces el valor absoluto del determinante .$${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right|={\tfrac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.}$$

Para tres vértices generales, la ecuación es: $${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\tfrac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{B}-x_{A}y_{C}+x_{B}y_{C}-x_{B}y_{A}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}{\big |},}$$

que se puede escribir como $${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\big |}(x_{A}-x_{C})(y_{B}-y_{A})-(x_{A}-x_{B})(y_{C}-y_{A}){\big |}.}$$

Si los puntos se etiquetan secuencialmente en sentido antihorario, las expresiones determinantes anteriores son positivas y se pueden omitir los signos de valor absoluto. ^{[ 8 ]} La fórmula anterior se conoce como la fórmula del cordón o la fórmula del agrimensor.

Si ubicamos los vértices en el plano complejo y los denotamos en secuencia en sentido antihorario como a = x _A + y _A i , b = x _B + y _B i , y c = x _C + y _C i , y denotamos sus conjugados complejos como a , b , y c , entonces la fórmula $${\displaystyle T={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}a&{\bar {a}}&1\\b&{\bar {b}}&1\\c&{\bar {c}}&1\end{vmatrix}}}$$

es equivalente a la fórmula de los cordones de los zapatos.

En tres dimensiones, el área de un triángulo general A = ( x _A , y _A , z _A ) , B = ( x _B , y _B , z _B ) y C = ( x _C , y _C , z _C ) es la suma pitagórica de las áreas de las proyecciones respectivas sobre los tres planos principales (es decir, x = 0 , y = 0 y z = 0 ): $${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}}}.}$$

El área dentro de cualquier curva cerrada, como un triángulo, viene dada por la integral de línea alrededor de la curva de la distancia algebraica o con signo de un punto de la curva a una línea recta L orientada arbitrariamente . Los puntos a la derecha de L , según su orientación, se consideran a distancia negativa de L , mientras que el peso para la integral se toma como la componente de la longitud de arco paralela a L en lugar de la longitud de arco misma.

Este método es muy adecuado para el cálculo del área de un polígono arbitrario . Tomando L como el eje x , la integral de línea entre vértices consecutivos ( x _i , y _i ) y ( x _{i +1} , y _{i +1} ) viene dada por la base por la altura media, es decir $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x_{i+1}-x_{i})(y_{i}+y_{i+1}).}$$ El signo del área indica la dirección del recorrido: un área negativa indica un recorrido en sentido contrario a las agujas del reloj. El área de un triángulo se calcula entonces de la misma manera que la de un polígono de tres lados.

Si bien el método de la integral de línea tiene en común con otros métodos basados ​​en coordenadas la elección arbitraria de un sistema de coordenadas, a diferencia de los demás, no hace una elección arbitraria del vértice del triángulo como origen ni del lado como base. Además, la elección del sistema de coordenadas definido por L compromete solo a dos grados de libertad en lugar de los tres habituales, ya que el peso es una distancia local (por ejemplo, x _{i +1} − x _i en el ejemplo anterior) , por lo que el método no requiere elegir un eje normal a L.

Cuando se trabaja en coordenadas polares no es necesario convertir a coordenadas cartesianas para usar la integración de línea, ya que la integral de línea entre vértices consecutivos ( r _i , θ _i ) y ( r _{i +1} , θ _{i +1} ) de un polígono viene dada directamente por $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,r_{i}r_{i+1}\sin(\theta _{i+1}-\theta _{i}).}$$ Esto es válido para todos los valores de θ , con una ligera disminución en la precisión numérica cuando | θ | es varios órdenes de magnitud mayor que π . Con esta formulación, el área negativa indica un recorrido en sentido horario, lo cual debe tenerse en cuenta al combinar coordenadas polares y cartesianas. Así como la elección del eje y ( x = 0 ) es irrelevante para la integración de línea en coordenadas cartesianas, también lo es la elección del rumbo cero ( θ = 0 ) en este caso.

Consulte el teorema de Pick para obtener una técnica que permite calcular el área de cualquier polígono reticular arbitrario (uno dibujado sobre una cuadrícula con puntos reticulares adyacentes vertical y horizontalmente a distancias iguales, y con vértices sobre puntos reticulares).

El teorema establece: $${\displaystyle T=I+{\tfrac {1}{2}}B-1}$$

donde I es el número de puntos de la red interna y B es el número de puntos de la red que se encuentran en el borde del polígono.

Existen numerosas otras fórmulas de área, como por ejemplo: $${\displaystyle T=rs,}$$

donde r es el radio interno y s es el semiperímetro (de hecho, esta fórmula es válida para todos los polígonos tangenciales ), y ^{[ 9 ] : Lema 2}

$${\displaystyle T=r_{a}(s-a)=r_{b}(s-b)=r_{c}(s-c)}$$

donde r _a , r _b , r _c son los radios de las excírculos tangentes a los lados a , b , c respectivamente.

También tenemos

$${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}D^{2}(\sin \alpha )(\sin \beta )(\sin \gamma )}$$

y ^{[ 10 ]}$${\displaystyle T={\frac {abc}{2D}}={\frac {abc}{4R}}}$$

para el diámetro circunferencial D ; y ^{[ 11 ]}$${\displaystyle T={\tfrac {1}{4}}(\tan \alpha )(b^{2}+c^{2}-a^{2})}$$

para ángulo α ≠ 90° .

El área también se puede expresar como ^{[ 12 ]}$${\displaystyle T={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}$$

En 1885, Baker ^{[ 13 ]} proporcionó una colección de más de cien fórmulas distintas para el área del triángulo. Estas incluyen: $${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{abch_{a}h_{b}h_{c}}},\\[2pt]&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {abh_{a}h_{b}}},\\[2pt]&={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})}},\\[2pt]&={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}\end{aligned}}}$$

para el radio de la circunferencia circunscrita (radio del círculo circunscrito) R y $${\displaystyle T={\frac {h_{a}h_{b}}{2\sin \gamma }}.}$$

El área T de cualquier triángulo con perímetro p satisface

$${\displaystyle T\leq {\tfrac {p^{2}}{12{\sqrt {3}}}},}$$

donde la igualdad se cumple si y solo si el triángulo es equilátero. ^{[ 14 ] [ 15 ] : 657}

Otros límites superiores para el área T se dan en ^{[ 16 ] : p.290}

$${\displaystyle 4{\sqrt {3}}T\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}}$$

y

$${\displaystyle 4{\sqrt {3}}T\leq {\frac {9abc}{a+b+c}},}$$

ambas con igualdad si y solo si el triángulo es equilátero.

En el año 300 a. C., el matemático griego Euclides demostró en su libro Elementos de Geometría que el área de un triángulo es la mitad de la de un paralelogramo con la misma base y altura . ^{[ 17 ]} Herón de Alejandría halló la fórmula conocida como fórmula de Herón para el área de un triángulo en función de sus lados, y una demostración se encuentra en su libro Métrica , escrito alrededor del año 60 d. C. Se ha sugerido que Arquímedes conocía la fórmula más de dos siglos antes, ^{[ 18 ]} y dado que Métrica es una recopilación del conocimiento matemático disponible en el mundo antiguo, es posible que la fórmula sea anterior a la referencia que se da en esa obra. ^{[ 19 ]}

En el año 499 d. C. , Aryabhata , un matemático y astrónomo de la época clásica de las matemáticas y la astronomía indias , expresó el área de un triángulo como la mitad de la base por la altura en el Aryabhatiya . ^{[ 20 ]}

Los chinos descubrieron, independientemente de los griegos, una fórmula equivalente a la de Herón. Fue publicada en 1247 en el Shushu Jiuzhang (« Tratado matemático en nueve secciones »), escrito por Qin Jiushao . ^{[ 21 ]}

Hay infinitas líneas que bisecan el área de un triángulo . ^{[ 22 ]} Tres de ellas son las medianas, que son las únicas bisectrices del área que pasan por el centroide. Otras tres bisectrices del área son paralelas a los lados del triángulo.

Cualquier recta que divida por la mitad tanto el área como el perímetro de un triángulo pasa por su incentro. Un triángulo puede tener una, dos o tres de estas rectas.

• Área de un círculo
• Área de un cuadrilátero
• Congruencia de triángulos