transformación afín

En geometría euclidiana , una transformación afín o afinidad (del latín affinis , "conectado con") es una transformación geométrica que conserva las líneas y el paralelismo , pero no necesariamente las distancias y los ángulos euclidianos .

En términos más generales, una transformación afín es un automorfismo de un espacio afín (los espacios euclidianos son espacios afines específicos); es decir, una función que mapea un espacio afín sobre sí mismo, preservando tanto la dimensión de cualquier subespacio afín (lo que significa que transforma puntos en puntos, líneas en líneas, planos en planos, etc.) como las proporciones de las longitudes de los segmentos de línea paralelos . Por consiguiente, los conjuntos de subespacios afines paralelos permanecen paralelos tras una transformación afín. Una transformación afín no necesariamente preserva los ángulos entre líneas ni las distancias entre puntos, aunque sí preserva las proporciones de las distancias entre puntos situados en una línea recta.

Si $X$ es el conjunto de puntos de un espacio afín, entonces toda transformación afín en $X$ puede representarse como la composición de una transformación lineal en $X$ y una traslación de $X.$ A diferencia de una transformación puramente lineal, una transformación afín no necesita conservar el origen del espacio afín. Por lo tanto, toda transformación lineal es afín, pero no toda transformación afín es lineal.

Algunos ejemplos de transformaciones afines incluyen la traslación, el escalado , la homotecia , la similitud , la reflexión , la rotación , la rotación hiperbólica , el mapeo de cizallamiento y las composiciones de estas en cualquier combinación y secuencia.

Si consideramos un espacio afín como el complemento de un hiperplano en el infinito de un espacio proyectivo , las transformaciones afines son las transformaciones proyectivas de ese espacio proyectivo que dejan invariante el hiperplano en el infinito , restringidas al complemento de ese hiperplano.

Una generalización de una transformación afín es una aplicación afín ^{[ 1 ]} (o homomorfismo afín o mapeo afín ) entre dos espacios afines (potencialmente diferentes) sobre el mismo cuerpo $k$ . Sean $(X, V, k)$ y $(Z, W, k)$ dos espacios afines con $X$ y $Z$ los conjuntos de puntos y $V$ y $W$ los respectivos espacios vectoriales asociados sobre el cuerpo $k$ . Una aplicación $f : X \to Z$ es una aplicación afín si existe una aplicación lineal $m f : V \to W$ tal que $m f (x - y) = f (x) - f (y)$ para todo $x, y$ en $X$ . ^{[ 2 ]}

Definición

Sea $X$ un espacio afín sobre un cuerpo $k$ , y $V$ su espacio vectorial asociado. Una transformación afín es una biyección $f$ de $X$ sobre sí mismo que es una aplicación afín ; esto significa que una aplicación lineal $g$ de $V$ a $V$ está bien definida por la ecuación $g(yx)=f(y)-f(x);$ Aquí, como es habitual, la resta de dos puntos denota el vector libre desde el segundo punto hasta el primero, y " bien definido " significa que $yx=y'-x'$ implica que $f(y)-f(x)=f(y')-f(x').$

Si la dimensión de $X$ es al menos dos, una transformación semiafín $f$ de $X$ es una biyección de $X$ sobre sí misma que satisface: ^{[ 3 ]}

Para cada subespacio afín $d$ -dimensional $S$ de $X$ , entonces f $($ $S$ $)$ $también$ es un subespacio afín $d$ -dimensional de $X.$
Si $S$ y $T$ son subespacios afines paralelos de $X$ , entonces $f (S)$ y $f (T)$ son paralelos.

Estas dos condiciones se satisfacen mediante transformaciones afines y expresan precisamente lo que significa la expresión de que " $f$ preserva el paralelismo".

Estas condiciones no son independientes, ya que la segunda se deriva de la primera. ^{[ 4 ]} Además, si el campo $k$ tiene al menos tres elementos, la primera condición se puede simplificar a: $f$ es una colineación , es decir, mapea líneas a líneas. ^{[ 5 ]}

Estructura

Por definición de un espacio afín, $V$ actúa sobre $X$ , de modo que, para cada par $(x,\mathbf {v} )$ En $X \times V$ hay asociado un punto $y$ en $X.$ Podemos denotar esta acción por ${\vec {v}}(x)=y$ Aquí utilizamos la convención de que ${\vec {v}}={\textbf {v}}$ son dos notaciones intercambiables para un elemento de $V.$ Al fijar un punto $c$ en $X$ , se puede definir una función $m c : X \to V$ mediante $m c (x) = cx \to$ . Para cualquier $c$ , esta función es inyectiva y, por lo tanto, tiene una función inversa $m c -1 : V \to X$ dada por $m_{c}^{-1}({\textbf {v}})={\vec {v}}(c)$ Estas funciones se pueden utilizar para convertir $X$ en un espacio vectorial (con respecto al punto $c$ ) definiendo: ^{[ 6 ]}

$x+y=m_{c}^{-1}\left(m_{c}(x)+m_{c}(y)\right),{\text{ for all }}x,y{\text{ in }}X,$ y
$rx=m_{c}^{-1}\left(rm_{c}(x)\right),{\text{ for all }}r{\text{ in }}k{\text{ and }}x{\text{ in }}X.$

Este espacio vectorial tiene origen $c$ y formalmente debe distinguirse del espacio afín $X$ , pero la práctica común consiste en denotarlo con el mismo símbolo y mencionar que se trata de un espacio vectorial una vez especificado su origen. Esta identificación permite considerar los puntos como vectores y viceversa.

Para cualquier transformación lineal $λ$ de $V$ , podemos definir la función $L (c, λ) : X \to X$ mediante $L(c,\lambda )(x)=m_{c}^{-1}\left(\lambda (m_{c}(x))\right)=c+\lambda ({\vec {cx}}).$

Entonces $L (c, λ)$ es una transformación afín de $X$ que deja el punto $c$ fijo. ^{[ 7 ]} Es una transformación lineal de $X$ , vista como un espacio vectorial con origen $c$ .

Sea $σ$ cualquier transformación afín de $X.$ Elija un punto $c$ en $X$ y considere la traslación de $X$ por el vector ${\mathbf {w}}={\overrightarrow {c\sigma (c)}}$ , denotada por $T w$ . Las traslaciones son transformaciones afines y la composición de transformaciones afines es una transformación afín. Para esta elección de $c$ , existe una única transformación lineal $λ$ de $V$ tal que ^{[ 8 ]} $\sigma (x)=T_{\mathbf {w}}\left(L(c,\lambda )(x)\right).$ Es decir, una transformación afín arbitraria de $X$ es la composición de una transformación lineal de $X$ (vista como un espacio vectorial) y una traslación de $X.$

Esta representación de las transformaciones afines se suele tomar como la definición de una transformación afín (con la elección del origen implícita). ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

Representación

Como se muestra arriba, una transformación afín es la composición de dos funciones: una traslación y una transformación lineal. El álgebra vectorial ordinaria utiliza la multiplicación de matrices para representar transformaciones lineales y la suma de vectores para representar traslaciones. Formalmente, en el caso de dimensión finita, si la transformación lineal se representa como una multiplicación por una matriz invertible $A$ y la traslación como la suma de un vector $\mathbf {b}$ , un mapa afín $f$ actuando sobre un vector $\mathbf {x}$ puede representarse como

$\mathbf {y} =f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} +\mathbf {b} .$

Matriz aumentada

Las transformaciones afines en el plano 2D se pueden realizar mediante transformaciones lineales en tres dimensiones. La traslación se realiza mediante cizallamiento a lo largo del eje z, y la rotación se realiza alrededor del eje z.

Utilizando una matriz aumentada y un vector aumentado, es posible representar tanto la traslación como el mapeo lineal mediante una única multiplicación de matrices . La técnica requiere que todos los vectores se aumenten con un "1" al final, y todas las matrices se aumenten con una fila adicional de ceros en la parte inferior, una columna adicional —el vector de traslación— a la derecha, y un "1" en la esquina inferior derecha. Si $A$ es una matriz,

${\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&A&&\mathbf {b} \\0&\cdots &0&1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}$

es equivalente a lo siguiente

$\mathbf {y} =A\mathbf {x} +\mathbf {b} .$

La matriz aumentada mencionada anteriormente se denomina matriz de transformación afín . En el caso general, cuando el último vector fila no está restringido a ser $\left[{\begin{array}{ccc|c}0&\cdots &0&1\end{array}}\right]$ , la matriz se convierte en una matriz de transformación proyectiva (ya que también se puede utilizar para realizar transformaciones proyectivas ).

Esta representación muestra el conjunto de todas las transformaciones afines invertibles como el producto semidirecto de $K^{n}$ y $\operatorname {GL} (n,K)$ . Este es un grupo bajo la operación de composición de funciones, llamado grupo afín .

La multiplicación ordinaria de matriz por vector siempre mapea el origen al origen y, por lo tanto, nunca podría representar una traslación, en la que el origen necesariamente debe mapearse a algún otro punto. Al agregar la coordenada adicional "1" a cada vector, se considera esencialmente que el espacio que se mapea es un subconjunto de un espacio con una dimensión adicional. En ese espacio, el espacio original ocupa el subconjunto en el que la coordenada adicional es 1. Por lo tanto, el origen del espacio original se puede encontrar en $(0,0,\dotsc ,0,1)$ Es posible entonces realizar una traslación dentro del espacio original mediante una transformación lineal del espacio de mayor dimensión (específicamente, una transformación de cizallamiento). Las coordenadas en el espacio de mayor dimensión son un ejemplo de coordenadas homogéneas . Si el espacio original es euclidiano , el espacio de mayor dimensión es un espacio proyectivo real .

La ventaja de usar coordenadas homogéneas radica en que se pueden combinar varias transformaciones afines en una sola multiplicando las matrices correspondientes. Esta propiedad se utiliza ampliamente en gráficos por computadora , visión artificial y robótica .

Ejemplo de matriz aumentada

Supongamos que tenemos tres puntos que definen un triángulo no degenerado en un plano, o cuatro puntos que definen un tetraedro no degenerado en el espacio tridimensional, o en general $n + 1$ puntos $x 1$ , ..., $x n +1$ que definen un simplex no degenerado en el espacio $n$ -dimensional. Supongamos que tenemos puntos de destino correspondientes $y 1$ , ..., $y n +1$ , donde estos nuevos puntos pueden estar ubicados en un espacio con cualquier número de dimensiones. (Además, los nuevos puntos no necesitan formar un simplex no degenerado, ni siquiera ser distintos entre sí). La única matriz aumentada $M$ que logra la transformación afín ${\begin{bmatrix}\mathbf {y} _{i}\\1\end{bmatrix}}=M{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{i}\\1\end{bmatrix}}$ para cada $i$ es $M={\begin{bmatrix}\mathbf {y} _{1}&\cdots &\mathbf {y} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}&\cdots &\mathbf {x} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}^{-1},$ utilizando la inversión de matrices .

Propiedades

Propiedades conservadas

Una transformación afín conserva:

Colinealidad entre puntos: tres o más puntos que se encuentran en la misma línea (llamados puntos colineales) siguen siendo colineales después de la transformación.
Paralelismo : dos o más líneas que son paralelas, continúan siendo paralelas después de la transformación.
Convexidad de conjuntos: un conjunto convexo sigue siendo convexo después de la transformación. Además, los extremos del conjunto original se corresponden con los extremos del conjunto transformado. ^{[ 12 ]}
relaciones de longitudes de segmentos de línea paralelos: para distintos segmentos paralelos definidos por puntos $p_{1},p_{2}$ y $p_{3},p_{4}$ , respectivamente, la relación de ${\overrightarrow {p_{1}p_{2}}}$ a ${\overrightarrow {p_{3}p_{4}}}$ es lo mismo que el de ${\overrightarrow {f(p_{1})f(p_{2})}}$ a ${\overrightarrow {f(p_{3})f(p_{4})}}$ .
baricentros de conjuntos ponderados de puntos.

Grupos

Como una transformación afín es invertible , la matriz cuadrada $A$ que aparece en su representación matricial es invertible . La representación matricial de la transformación inversa es, por lo tanto, $\left[{\begin{array}{ccc|c}&A^{-1}&&-A^{-1}{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}}\right].$

Las transformaciones afines invertibles (de un espacio afín sobre sí mismo) forman el grupo afín , que tiene el grupo lineal general de grado $n$ como subgrupo y es en sí mismo un subgrupo del grupo lineal general de grado $n+1$ .

Las transformaciones de similitud forman el subgrupo donde $A$ es un escalar multiplicado por una matriz ortogonal . Por ejemplo, si la transformación afín actúa sobre el plano y si el determinante de $A$ Si es 1 o −1, entonces la transformación es una aplicación equiareal . Tales transformaciones forman un subgrupo llamado grupo equiafín . ^{[ 13 ]} Una transformación que es a la vez equiafín y una semejanza es una isometría del plano tomada con distancia euclidiana .

Cada uno de estos grupos tiene un subgrupo de transformaciones afines positivas o que preservan la orientación : aquellas donde el determinante de $A$ es positivo. En el último caso, se trata en 3D del grupo de transformaciones rígidas ( rotaciones propias y traslaciones puras).

Si existe un punto fijo, podemos tomarlo como origen, y la transformación afín se reduce a una transformación lineal. Esto puede facilitar la clasificación y comprensión de la transformación. Por ejemplo, describir una transformación como una rotación de cierto ángulo con respecto a un eje determinado puede ofrecer una idea más clara de su comportamiento general que describirla como una combinación de traslación y rotación. Sin embargo, esto depende de la aplicación y el contexto.

mapas afines

Un mapa afín $f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ Entre dos espacios afines hay una aplicación sobre los puntos que actúa linealmente sobre los vectores (es decir, los vectores entre los puntos del espacio). En símbolos, $f$ determina una transformación lineal $\varphi$ de tal manera que, para cualquier par de puntos $P,Q\in {\mathcal {A}}$ :

${\overrightarrow {f(P)~f(Q)}}=\varphi ({\overrightarrow {PQ}})$ o $f(Q)-f(P)=\varphi (Q-P).$

Podemos interpretar esta definición de otras maneras, como se indica a continuación.

Si un origen $O\in {\mathcal {A}}$ es elegido, y $B$ denota su imagen $f(O)\in {\mathcal {B}}$ , entonces esto significa que para cualquier vector ${\vec {x}}$ :

$f\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (B+\varphi ({\vec {x}})).$

Si un origen $O'\in {\mathcal {B}}$ También se elige, esto se puede descomponer como una transformación afín. $g\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ que envía $O\mapsto O'$ , es decir

$g\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (O'+\varphi ({\vec {x}})),$ seguido de la traslación por un vector ${\vec {b}}={\overrightarrow {O'B}}$ .

La conclusión es que, intuitivamente, $f$ Consta de una traslación y una transformación lineal.

Definición alternativa

Dados dos espacios afines ${\mathcal {A}}$ y ${\mathcal {B}}$ , sobre el mismo campo, una función $f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ es un mapa afín si y solo si para cada familia $\{(P_{i},\lambda _{i})\}_{i\in I}$ de puntos ponderados en ${\mathcal {A}}$ de tal manera que $\sum _{i\in I}\lambda _{i}=1,$ tenemos ^{[ 14 ]} $f\left(\sum _{i\in I}\lambda _{i}P_{i}\right)=\sum _{i\in I}\lambda _{i}f(P_{i}).$ En otras palabras, $f$ conserva los baricentros .

Ejemplo

Dejar ${\mathcal {A}}$ sea el espacio euclidiano tridimensional , ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}$ un plano , y ambos deben estar equipados con un sistema de coordenadas cartesianas . Si $f\colon \,{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ es una proyección paralela o, más generalmente, es generada por una axonometría , entonces $f$ es afín y sobreyectiva . Por lo tanto, puede representarse por ${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\longmapsto {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+\,b$ con una matriz $A\in \mathbb {R} ^{2\times 3}$ de rango 2 y un vector columna $b\in \mathbb {R} ^{2}.$ En caso $b=(0,0)^{\mathsf {T}},$ Esto se trata con más detalle en la sección Cálculo de coordenadas en axonometría.

Historia

La palabra "afín" como término matemático se define en relación con las tangentes a las curvas en la Introductio in analysin infinitorum de Euler de 1748. ^[¹⁵^] Felix Klein atribuye el término "transformación afín" a Möbius y Gauss . ^[¹⁰^]

Transformación de imágenes

En sus aplicaciones al procesamiento de imágenes digitales , las transformaciones afines son análogas a imprimir sobre una lámina de goma y estirar los bordes de la lámina paralelamente al plano. Esta transformación reubica los píxeles, lo que requiere interpolación de intensidad para aproximar el valor de los píxeles movidos; la interpolación bicúbica es el estándar para las transformaciones de imágenes en aplicaciones de procesamiento de imágenes. Las transformaciones afines escalan, rotan, trasladan, reflejan y deforman las imágenes, como se muestra en los siguientes ejemplos: ^{[ 16 ]}

Las transformaciones afines son aplicables al proceso de registro, donde se alinean (registran) dos o más imágenes. Un ejemplo de registro de imágenes es la generación de imágenes panorámicas, que son el resultado de la unión de varias imágenes .

deformación afín

La transformación afín conserva las líneas paralelas. Sin embargo, las transformaciones de estiramiento y cizallamiento deforman las formas, como muestra el siguiente ejemplo:

Este es un ejemplo de deformación de imagen. Sin embargo, las transformaciones afines no facilitan la proyección sobre una superficie curva ni las distorsiones radiales .

En el avión

Toda transformación afín en un plano euclidiano es la composición de una traslación y una transformación afín que fija un punto; esta última puede ser

una homotecia ,
rotaciones alrededor del punto fijo,
un escalamiento , con factores de escala posiblemente negativos, en dos direcciones (no necesariamente perpendiculares); esto incluye reflexiones ,
un mapeo de cizallamiento
un mapeo de compresión .

Dados dos triángulos no degenerados ABC y A′B′C′ en un plano euclidiano, existe una única transformación afín T que mapea A en A′ , B en B′ y C en C′ . Tanto ABC como A′B′C′ definen un sistema de coordenadas afín y un sistema de coordenadas baricéntrico . Dado un punto P , el punto T (P) es aquel cuyas coordenadas en el segundo sistema coinciden con las de P en el primero.

Las transformaciones afines no respetan longitudes ni ángulos; multiplican las áreas por un factor constante.

área de A′B′C′ / área de ABC .

Una T dada puede ser directa (respetar la orientación) o indirecta (invertir la orientación), y esto se puede determinar comparando las orientaciones de los triángulos.

Ejemplos

Sobre las cifras reales

Las funciones $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=mx+c$ con $m$ y $c$ en $\mathbb {R}$ y $m\neq 0$ , son precisamente las transformaciones afines de la recta real .

En geometría plana

En $\mathbb {R} ^{2}$ La transformación que se muestra a la izquierda se realiza utilizando el mapa dado por:

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-100\\-100\end{bmatrix}}$

Al transformar los tres vértices del triángulo original (en rojo), se obtienen tres nuevos vértices que forman el nuevo triángulo (en azul). Esta transformación altera y traslada el triángulo original.

De hecho, todos los triángulos están relacionados entre sí mediante transformaciones afines. Esto también se cumple para todos los paralelogramos, pero no para todos los cuadriláteros.

Véase también

Proyección 3D
Geometría afín
Anamorfosis : aplicaciones artísticas de las transformaciones afines
Función doblada
Plano (geometría)
Homografía
polinomio multilineal

Notas

↑ Berger 1987 , pág. 38.
↑ Samuel 1988 , pág. 11.
↑ Snapper y Troyer 1989 , pág. 65.
↑ Snapper y Troyer 1989 , pág. 66.
↑ Snapper y Troyer 1989 , pág. 69.
↑ Snapper y Troyer 1989 , pág. 59.
↑ Snapper y Troyer 1989 , págs. 76, 87.
↑ Snapper y Troyer 1989 , pág. 86.
↑ Wan 1993 , págs. 19–20.
1 2 Klein 1948 , pág. 70.
^ Brannan, Esplen y Gray 1999 , pág. 53.
↑ Reinhard Schultz. "Transformaciones afines y convexidad" (PDF) . Consultado el 27 de febrero de 2017 .
↑ Oswald Veblen (1918) Geometría proyectiva , volumen 2, págs. 105–7.
↑ Schneider, Philip K.; Eberly, David H. (2003). Herramientas geométricas para gráficos por computadora . Morgan Kaufmann. pág. 98. ISBN 978-1-55860-594-7.
^ Euler, Leonhard (1748). Introductio in analysin infinitorum (en latín). vol. II. Libro II, secc. XVIII, art. 442
↑ González, Rafael (2008).'Procesamiento de imágenes digitales, 3.ª edición'Pearson Hall. ISBN 9780131687288.

Referencias

Berger, Marcel (1987), Geometría I , Berlín: Springer, ISBN 3-540-11658-3
Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999), Geometría , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6
Nomizu, Katsumi ; Sasaki, S. (1994), Geometría diferencial afín (nueva ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3
Klein, Felix (1948) [1939], Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado: Geometría , Dover
Samuel, Pierre (1988), Geometría proyectiva , Springer-Verlag, ISBN 0-387-96752-4
Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: la generalización de Cartan del programa de Erlangen de Klein . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
Snapper, Ernst; Troyer, Robert J. (1989) [1971], Geometría afín métrica , Dover, ISBN 978-0-486-66108-7
Wan, Zhe-xian (1993), Geometría de grupos clásicos sobre cuerpos finitos , Chartwell-Bratt, ISBN 0-86238-326-9

Enlaces externos

Contenido multimedia relacionado con la transformación afín en Wikimedia Commons.
"Transformación afín" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Operaciones geométricas: Transformación afín , R. Fisher, S. Perkins, A. Walker y E. Wolfart.
Weisstein, Eric W. "Transformación afín" . MundoMatemático .
Transformación afín de Bernard Vuilleumier, Proyecto de demostraciones de Wolfram .
Transformación afín con MATLAB

[FOOTNOTEBerger198738-1] Berger 1987 , pág. 38.

[FOOTNOTESamuel198811-2] Samuel 1988 , pág. 11.

[FOOTNOTESnapperTroyer198965-3] Snapper y Troyer 1989 , pág. 65.

[FOOTNOTESnapperTroyer198966-4] Snapper y Troyer 1989 , pág. 66.

[FOOTNOTESnapperTroyer198969-5] Snapper y Troyer 1989 , pág. 69.

[FOOTNOTESnapperTroyer198959-6] Snapper y Troyer 1989 , pág. 59.

[FOOTNOTESnapperTroyer198976,87-7] Snapper y Troyer 1989 , págs. 76, 87.

[FOOTNOTESnapperTroyer198986-8] Snapper y Troyer 1989 , pág. 86.

[FOOTNOTEWan199319–20-9] Wan 1993 , págs. 19–20.

[FOOTNOTEKlein194870-10] 1 2 Klein 1948 , pág. 70.

[FOOTNOTEBrannanEsplenGray199953-11] Brannan, Esplen y Gray 1999 , pág. 53.

[res-12] Reinhard Schultz. "Transformaciones afines y convexidad" (PDF) . Consultado el 27 de febrero de 2017 .

[13] Oswald Veblen (1918) Geometría proyectiva , volumen 2, págs. 105–7.

[14] Schneider, Philip K.; Eberly, David H. (2003). Herramientas geométricas para gráficos por computadora . Morgan Kaufmann. pág. 98. ISBN 978-1-55860-594-7.

[Euler-15] Euler, Leonhard (1748). Introductio in analysin infinitorum (en latín). vol. II. Libro II, secc. XVIII, art. 442

[16] González, Rafael (2008).'Procesamiento de imágenes digitales, 3.ª edición'Pearson Hall. ISBN 9780131687288.

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